专题十一 几何、代数最值问题

222222专题十一几、代数最值问题类型利用称、线段公理求最小值k．临沂)图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)的图象与边长是x的正方形OABC的边BC分相交于MN两OMN的积为10.若点P在x轴上，则PM＋的小值是(C)A．2B．．226D．29kkkk解由已知得M(6)N(6)∴＝6＝6－∵OMN的积为×666kkk－××－×－×(6)＝10∴＝，∴M(6，，，作M关于x轴的626对称点M接NM交x轴NM的＝PMPN的小值AM＝＝BM＝，＝，∴＝BM′＋＝10＋＝226.．枣庄如图，直线＝x＋y轴别交于点A点B点CD分为线段AB、中点，点P为OA一动点PC＋PD值小时点P的坐标为A．(－3．(－，0)5C．－，0)D(－，0)解方法一作点D关x轴对称点D，接CD交x轴于点，时＋值小，如图所示．可求点，A(－6，0)

∵点C、分为线段AB、的中点，∴点C(－，，点D(02)．∵点′和关于轴称，∴的坐标为，－．设直线的解析式为＝kx＋b∵直线CD4过点－32)D′(02)，可求CD的析式为y－2.＝－x－中y＝0则033＝－x－2解得：x＝－，点P(－，0)．方法连接，作点关x轴的对称22D，接CD交x轴点，此时PC＋值小，如图2所．贵港)如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，＝90°ABC绕点C逆针旋转得到eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)′BMBC的中点P是′B的点，连接若＝2，BAC＝，则线段PM的最大值是(B)A．．3．2D．1解：如图连接PC在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∵A＝30°，＝，AB＝，根据旋转不变性可知B＝AB＝4，P＝，PCB＝2，CMBM1又≤＋CM，PM≤3，∴PM最大值为3(此时、C、M共)．．菏泽)图，矩形ABOC的点A的标为(－4，，是OB中点是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点的坐标是(5A．(0，)．(0，)C．(0D．(0，)33

解：作A关于轴的对称点A，连接AD交y轴，此时，△ADE的周长最小，∵四边形ABOC是矩形∴AC∥＝∵的坐标为－5)∴A′(45)(－4，D是的中点，∴D(－，，设直线DA的析式为y＝kx＋，可求直线DA的解5析式为y＝x＋，x＝时，y＝，∴E，)．3天)图所示方形ABCD的长为是边上一点且BE，对角线AC上一动点，连PB、，点P在AC上运时，周的最小值是__6__．解：连接DE于AC交点P′，连接BP，此时eq\o\ac(△,)′E的长是△PBE周的最小值，∵＝1，BC＝CD，＝，＝5，∴＋′E＝＝5，PBE周长的最小值是＋1＝6.．徐州)图，将边长为6的三角形纸片ABC按下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，如图，点O其交点．(1)探求AO与OD的量系，并说明理由；(2)如图，若P，分为BEBC上动．①当PN＋PD长度取得最小值时，求BP的度；②如图，若点Q在线段BO，BQ，则＋NPPD的小值．解＝理由△ABC是等边角形BAO∠＝∠OBD，∴AO＝OB，∵BD＝CD，∴AD⊥，∴＝90°，∴OB2OD∴OA＝2OD；(2)如图作D关的称点过D作D′N⊥于N于P则此时

2222222222222222＋的度取得最小，∵垂平分DD，∴BD＝BD，∵∠ABC60°eq\o\ac(△,∴)′BN3是等边三角形，BNBD，∵＝30°，∴＝，＝3；(3)如图，作Q关BC的称点Q，D于BE的对称点，连接Q′D，D′Q的长度即为QN＋＋PD最小值．在eq\o\ac(△,Rt)′BQ中，D′Q＝3＋1＝10.QNNP＋的小值＝10.类型利用数性质求最值7．济宁)已知函数y＝－(2m5)x＋m图象与x轴两个公共点．(1)求m的值范围，并写出当m取围内最整数时函数的解析式；(2)题(1)中求得的函数为，1①当≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n求值；②函数Cym(x－＋的象由函的象平移得到，其顶点落以原点为2圆心，半径为的圆内或圆上，设函数的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函1数C的解析式．2解：(1)∵函数图象与x轴两个交点，≠且[－－5)]－4m(m＞，解得：＜

且≠0.∵为合条件的最大整数，＝2.∴函数的解析式为y＝＋x.(2)抛物线的对称轴为x＝－＝.≤x≤－＜－＝＞0当≤x≤－1时2a44yx的大而减小x＝时－3n.∴2n＋n＝－3nn或n＝舍去)的值为－2.111(3)∵y＝2x＋x＝＋－，－，．如图所示848

22222222222222当点P在OM与O交点处时有最大值．设直线OM的析式为y＝，点M的坐标代入解得k∴的析式为y＝x.点的标为，x)．由两点间的距22离公式可知＝

x＋）

＝5解得x＝2或x＝－2(去．∴点的标(，．∴当点P与M距最大时函数C的析式为＝2(x－2＋1.8．(2017·毕)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(，，，，C(0－三点，点是线BC方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，△是以OC为边的等腰三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运到什么位置时，PBC面积最大，求出此时点标eq\o\ac(△,和)PBC的大积．解：(1)抛物线解析式为y＝x

－3x4；(2)作的直平分DP交OC于D交BC方抛物线于点，图，∴＝，时点即为满足条件的点，C(0－，∴D(0，－，∴P点纵坐标为，代入抛物线解析式可得

－173＋－－4－，解得x＝(小于，舍去或＝，存2317在满足条件的点其坐标为，；(3)∵点P在物线上，∴可设，3t4)，过作PEx轴于点E，交直线于点F，如图