初升高数学衔接

2018初高衔接-数学

回顾初中-衔接高中-精准定位-配套练习

目录

初升高数学衔接班（上：初中部分）

第1讲：数与式的运算3页

第2讲：因式分解11页

第3讲：一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题、简单的二元

二次方程组19

页

第4讲：不等式36页

第5讲：分式方程和无理方程的解法43页

初升高数学衔接班（下：高中部分）

第6讲：第1章集合的含义及其表示49页

第7讲：第1章子集55页

第8讲：第1章全集、补集60页

第9T0讲：第1章交集、并集（1/2）65

页

第11T4讲：第2章函数的概念和图像（1/2/3/4）75

页

第15-16讲：第2章函数的表示方法（1/2）97

页

第17T8讲：第2章函数的单调性（1/2）109

页

第19-20讲：第2章函数的奇偶性（1/2）121

页

第21讲：第3章分数指数第135页

第22-24讲：第3章指数函数（1/2/3）143

页

第25-26讲：第3章对数（1/2）159

页第27-29讲：第3章对数函数（1/2/3）

173页

初升高数学衔接班（上）

第一讲数与式的运算

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数

和代数式简称为数与式.代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式.它们具有实数

的属性，可以进行运算.在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全

平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便.由于在高中学习中还会遇到更复

杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、

立方和、立方差公式.在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中

数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补

充.基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容.

一、乘法公式

【公式1】(a+/?+c)2=/+/+*+2ab+2bc+2ca

证明：(a+〃+c)2=[(Q+力)+c/=(Q+6)2+2(a+h)c+c2

=a2+2ah+b1+2ac-\-2bc+c2a2+h2+c2+2ah+2bc+2ca

/.等式成立

【例1】计算：(X2-V2X+-)2

3

解：原式=[r+(—J^X)4--]2

3

=(/)2+(-VIr)2+(g)2+2/(一扬x+2%2x1+2x|x(-V2x)

=——2同—逆x+工

339

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降寨或升早排列.

【公式2](«+Z?)(a2-ab+b2)=ay+/(立方和公式)

证明：(a+b)(a~-ab+b')=a'-a2b+ab~+a2b—ab~+/=a'+b'

说明：请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：(4-0)(/+。力+/)

解：原式=[。+(-3][。2-。(一加+(—份2]=。3+(_03=/一匕3

我们得到：

【公式3](a-份(/+"+/)=/_/(立方差公式)

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式.

【例3】计算：

,111,11,

(1)(4+/n)(16-4m+m")(2)(—m〃)(——m~H---mn+—n~)

5225104

(3)(a+2)(a—2)(a"+4。~+16)(4)(x~+2xy+y-)(x~—xy+y-)~

解：(1)原式=4、+〃7*=64+

(2)原式=('相)3_

521258

(3)原式=(/-4)(a4+4«2+42)=(«2)3-43=«6

22222

(4)原式=(X+y)2(x2-xy+y)=[(X+-y)(%-Xy+J)]

=(/+川2=/+2x3y3+y6

说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式

的结构.

(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、

4、…、10的立方数，是非常有好处的.

【例4】已知％2-3X=1=0,求JT'+二的值.

X

1

解：9-3x=1=0xwOx+—=3

x

,1,111

原式二(x+-)(x2-1+—)=(x+-)[(x+-)29-3]=3(32?-3)=18

XXXX

说明：本题若先从方程/一3%=1=0中解出X的值后，再代入代数式求值，则计算较烦

琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算.请注意整体

代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.

【例5】已知Q+Z?+C=O,求0(！+1)+伙工+工)+。(4+工)的值.

hccaab

解：:a+b+c=0,/.Q+/?=—c,b+c=—a,c+a=—b

h-b+c,a+ca+b

/.原式-----+b------+c------

beacab

Q(-a)+b(-b)+c(-c)Q-+/7**+c~①

heacababc

•/a3+/=(。+/?)[(〃+/?)2-3ab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc

QI,

:.a3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式=一一-=-3

abc

说明：注意字母的整体代换技巧的应用.

引申：同学可以探求并证明：

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-co)

二、根式

式子G(aNO)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(历2=。320)(2)必=|a|

(3)4ab=4a-4b(a>0,b>0)(4)g=苧(。>0,/?20)

【例6】化简下列各式：

(1)J(6-2)2+J(百—1)2(2){(17)2+J(2—x)2(X>1)

解：(1)原式=|百—2|+|旧—1|=2—6+G—1=1

(x-1)-b(x-2)=2x-3(x>2)

(2)原式=|x-l|+|x-2|=

(x-l)-(x-2)=l(l<x<2)

说明：请注意性质J/=|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字

母的取值分类讨论.

【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）:

⑴3

2+乖)

3(2-我=与我=6一36

解：（1）原式=

(2+73)(2-73)22-3

zox百4a+b\lab+ab

(2)原式i——=

Vabab

(3)原式二2]-^——x2+\j2x22x=\[lx-x\[x+2\[lx=3>/2x-x\[x

V2X2

说明：（1）二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被

开方数不含能开得尽方的因数或因式.

（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式.化简时，先将它分解

3

因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式（如，~广）或被开方

2+V3

数有分母（如后）.这时可将其化为塔形式（如也可化为关），转化为“分母中有根

式”的情况.化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行

化简.（如」广化为一31心）,其中2+6与2-0叫做互为有理化因式）.

2+V3（2+V3）（2-V3）

【例8】计算:

(1)+y[b+1)(1—\fci+—(\[ci+yfb)''(2)

解：(1)原式=(1+厂—(a+2A/ab+。)=—2a—2ylab+2,x[h+1

\/a1

（2）原式:---------1---------=------1------

\[a(y/a-y[b)\/a(\fa+\[b)\[a-\[b\[a+\[b

(4a+\[b)+(\fa-4b)_2\[a

(\[a+-\/b)a-b

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式

二次根式的运算.

【例9】设x=2邙,丁=三@,求V+y3的值.

2-V3'2+V3

解：x=2/d=(2：百)=7+4百,丫=7-46=x+y=14,xy=l

2-V322-3

原式=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=14(142-3)=2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根

据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量.

三、分式

AA

当分式c■的分子、分母中至少有一个是分式时，△就叫做繁分式，繁分式的化简常用

BB

以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质.

【例10]化简一7一

x——

x

XXXX_x(x+l)_x+l

解法一:

1-X(1-X)-XXx2+X-XX2X

--------XH------------------X-----------------------------

X—1(X+1)(X—1)X+lx+1

X

XXX_x(x+\)_x+\

解法一：原式=

(1-X)•Xx(l-x)xx-Xx

x+——

x2-1x+T

(X

X

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解

法二则是利用分式的基本性质4=牝”进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法.

BBxm

【例in化简士兰匕2+_^.一三二L

%2-279x-x26+2x

解.原式=—1+3X+9_+6x三!_=」6x-]

(x-3)(W+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x-3)

2(x+3)—12—(x—l)(x—3)—(x—3)~3—x

2(x+3)(x-3)-2(x+3)(x-3)-2(x+3)

说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分

解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式.

练习

A组

1.二次根式J/=-a成立的条件是（）

A.>0B.a<0C.a<0D.。是任意实数

2.若x<3,则，9一6二+%2一|%—6|的值是（）

A.-3B.3C.-9D.9

3.计算：

(1)(x-3y-4z)2(2)(2a+1-A)?-(a-b)(a+2b)

(4)(a-4。)(工a2+4b2+ab)

(3)(«+b)(a2-ab+b2}-(a+b)2

4

4.化简（下列a的取值范围均使根式有意义）:

⑴4-^

⑶

a\[b-b\[a⑷正十^?TF

5.化简:

⑴距+10电一2吨

B组

1.若工一1=2,则3»孙-3），的值为（）：

Xyx-xy-y

3355

A.—B.——C.——D.一

5533

2.计算

⑵心一1）

(1)(A/^I+^J~b—-4b-Vc)

1___122

求代数式”+孙+，的值.

3.设x=y/3-2，y~y/3+2

犬+y

4.当3a2+。。-2/=0(〃/0,。¥0),求巴十6的值.

baah

5.设x、y为实数，且兀y=3,求x的值.

111

6.已知。=—x+20,b——x+19,c=—x+21,求代数式c9i~+h9~+c0~—cih—he—etc

202020

的值.

Js-1

7.设工=----，求f+Y+21-1的值.

2

8.展开(1一2)4

9.计算(x—l)(x—2)(x—3)(x—4)

10.计算(x+y+z)(—x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)

11.化简或计算：

⑴(V18-4,Li).e

2

⑵2.—•>/2-J(2-6)+—z=---

3V5+2

x&+Xy[yx+y/xy+y

⑶

孙一丁x4x-y4y

+b-4ab)(a+b

⑷(6

>[a-\-y[b4ab-\-b\[ab-a

第一讲习题答案

A组

1.C2.A

3.(1)x2+9y2+16z2-6xy-Sxz+24yz⑵

3a2-5ah+3b2+4a-2h+\

(3)-3a1b-3ab2(4)-a3-\6b3

4

4.-2a^—G2(6+而一也_i

a-b2

5.mVm2y[xy

B组

__1o

1.D2.uc~b2\/cic,3y/^2+2>/33.------5/3

6

4.-3,25.±2A/36.37.3-75

8.X4-8X3+24X2-32X+16

9.X4-10X3+35X2-50X+24

10.—x4—y4—z4+2x2y2+2x2z2+2y2z2

一3座，在正向八

3y

第二讲因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形.在分式运

算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能.

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完

全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(«+b)(a2-ab+b2)=+Z?3(立方和公式)

(n-b)(a2+ab+b2)=a3-b3(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

/+H=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-h3-(a-b)(a2+ab+b2)

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的

差(和).

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解.

[例1]用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

(1)8+?(2)0.125-27/?

分析：⑴中，8=23,电)中0125=0.53,27。3=(36)3.

解：(1)8+丁=2,+V=Q+X)(4—2x+/)

(2)0.125-27b3=0.53-(3b)3=(0.5-3㈤[OS+0.5x3b+(3b)2]

=(0.5-30)(0.25+1.5"财)

说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用寨的运算法则，如

8。为3=(2,力)3,这里逆用了法则3与"="归，；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，

一定要看准因式中各项的符号.

【例2】分解因式：

(1)3a%-818"(2)/—ab('

分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现。6—庐，

可看着是(/)2-(尸)2或(/)3_(〃)3.

解：⑴3a3b-8仍4=3b(a3-27b3)=3b(a-3h)(a2+3ab+9b2).

(2)a1-ab6=a(a6-b6)=+6)(/-$)

=a(a+b\cr-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)

=a(a+b\a-b)(a2+ab+b1)(a2-ab+b2)

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于

四项以上的多项式，如+〃而++〃〃既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，

可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的

关键在于如何分组.

1.分组后能提取公因式

【例3】把+分解因式.

分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降早排列，然

后从两组分别提出公因式2a与一力，这时另一个因式正好都是x-5y,这样可以继续提取

公因式.

解：2ax-10ay+5by-bx-2a(x-5y)-b(x-5y)-(x-5y)(2a-b)

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的

方法.本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试.

【例4】把4伙12)—(4―b2)cd分解因式.

分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因

式.

解：ah(^c~-d~)一(6(~-h~)cd=ahc~-abd~—crcd+h~cd

=(abc2-a2cd)+(b2cd-abd2)

=ac(Jbc-ad)+bd(be-ad)=(be-ad)(ac+bd)

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了

加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中

所起的作用.

2.分组后能直接运用公式

【例5】把/一y2+Gc+ay分解因式.

分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，

其中一个因式是x+y；把第三、四项作为另一组，在提出公因式。后，另一个因式也是x+y.

解：X2-y2+ax+ay=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)

【例6】把2^+4孙+2/—8z2分解因式.

分析：先将系数2提出后，得到丁+2孙+y2-4z2,其中前三项作为一组，它是一个

完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式.

解：+4.+2)2-8z?=2(/+2孙+V-4Z2)

=2Kx+y)2-(2z>]=2(x+y+2z)(x+y-2z)

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或

提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多

项式就可以分组分解法来分解因式.

三、十字相乘法

1.X?+(〃+q)x+pg型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数

之和.

x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)

因此，x2+(/?+q)x+pq-(x+p)(x+q)

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.

【例7】把下列各式因式分解：

(1)f-7x+6(2)+13尤+36

解：⑴6=(-l)x(-6),(-l)+(-6)=-7

/.x2-7x+6=[x+(-l)J[x+(-6)]=(x-l)(x-6).

(2)36=4x9,4+9=13

x?+13》+36=(x+4)(x+9)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项

系数的符号相同.

【例8】把下列各式因式分解：

⑴%2+5x—24⑵%2—2.x—15

解：(1)—24=(—3)x8,(—3)+8=5

/.x2+5x-24=[x+(-3)](x+8)=(x-3)(x+8)

(2)*.*—15—(—5)x3,(―5)+3=—2

x~—2x—15——[x+(—5)](x+3)——(x-5)(x+3)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的

因数与一次项系数的符号相同.

【例9】把下列各式因式分解：

(1)x~+xy—6y"(2)(x?+x)〜—8(x?+x)+12

分析：(1)把/+不，-6y2看成x的二次三项式，这时常数项是-6V，一次项系数是

把—6尸分解成3y与一2y的积，而3y+(—2y)=y,正好是一次项系数.

(2)由换元思想，只要把V+x整体看作一个字母。，可不必写出，只当作分解

二次三项式—8a+12.

解：⑴x2+xy-6y2=x2+-62=(x+3y)(x-2y)

(2)(x)+x)~—8(x?+x)+12=(x?+x—6)(x?+x—2)

=(x+3)(x—2)(x+2)(x-1)

2.一般二次三项式以2+板+c型的因式分解

大家知道，(4%+。1)(。2尤+，2)=+(a\C2+«2Cl)-r+ClC2•

2

反过来,就得到：a]a2x+(ayc2+a2ct)x+c,c2-(atx+c,)(a2x+c2)

我们发现，二次项系数a分解成qa,,常数项c分解成qQ，把4,4,J，Q写成''X。，

a2c2

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到。《2+。2《，如果它正好等于公2+法+。的一次项

2

系数人，那么ar+bx+c就可以分解成(。/+4)(。2》+。2)，其中q,C1位于上一行，a2,c2

位于下一行.

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确

定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.

【例10］把下列各式因式分解：

(1)\2x2-5x-2(2)5x2+6xy-8j2

3-2

解：(1)12--5X—2=(3X-2)(4X+1)《X1

I2y

(2)5x2+6xy-8/=(x+2j)(5x-4y)5X7),

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是1时较困难，具体分解

时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑“，看

是否符合一次项系数，否则用加法“凑“，先“凑"绝对值，然后调整，添加正、负号.

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11］分解因式f+6x—16

解：x2+6x-16=x2+2x%x3+32-32-16=(x+3)2-52

=(x+3+5)(%+3-5)=(x+8)(%-2)

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平

方式，然后用平方差公式分解.当然，本题还有其它方法，请大家试验.

2.拆、添项法

【例12］分解因式d-3x2+4

分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行.细查式中无一

次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，

可考虑通过添项或拆项解决.

解：x，—3x~+4=(X)+1)—(3%2—3)

=(x+l)(x2-x+1)-3(x+l)(x-1)=(x+l)f(x2-x+1)-3(x-1)］

=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x-2)2

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，

造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将-3炉拆成/-4丁，将多项式分成

2

两组(J?+*2)和-4X+4.

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分

解；

(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

练习

A组

1.把下列各式分解因式:

(1)a3+27⑵83(3)-27X3+8

/、1313

⑷-”R⑸8x3/--(6)?

-125216-27

2.把下列各式分解因式:

⑴+x4⑵x"+3-x"y3

(3)a2(m+n)3-a2b3(4)9(彳2一2x)3+y2

3.把下列各式分解因式:

(1)%2-3x+2(2)x2+37尤+36(3)f+1a-26

(4)X2-6X-27(5)m2-Amn-5n2(6)(a—b)*+1l(a—Z?)+28

4.把下列各式分解因式:

43n+2n+,122

(1)ax,-l()ax+16ar(2)a+a'b-()a'b⑶(x-2x)-9

(4)X4-7X2-18(5)6尤2—7x—3(6)8x2+26xy-15>,2

(8)(6x2-7x)2-25

5.把下列各式分解因式:

(1)3ax-3ay+xy-y2⑵8x3+4x2-2x-1(3)5x2-15x+2xy-6j

(4)4a2-20仍+25"36(5)4xy+\-4x2-y2(6)

04b+a3b2-crb1-ab4

(7)x6-y6-2x3+1(8)x2(x+1)-y(xy+x)

B组

1.把下列各式分解因式：

(1)ab(c2-d2)+cd(a2-h2)(2)x2-4/nx+Smn-4/?2

(3)/+64(4)X3-1U2+31X-21(5)x3-4xy2-2x2y+Sy3

2

2.已知a+Z?=—,a〃=2,求代数式++。加的值.

3

3.证明：当〃为大于2的整数时，/—5/+4〃能被120整除.

4.已知a+/?+c=0,求证：a3+a2c+b2c-ahc+h3=0.

第二讲因式分解答案

A组

1.(。+3)(a2一3。+9),(2-根)(4+2m+nV),(2一3x)(4+6x+9x2),

222

一《(2p+q)(4p2-2%+夕2),(2移一3(4》2>2+1xy+J-),-L(xy+2c)(xy-2xy>c+4c)

645525216

2.x(x+y)(y2-AY+x2),xn(x-y)(x2+xy+y2),

a2(m+n—b)[(m+n)2+b(jn+〃)+/],y2(x-1)2(x4-4x3+3x2+2x+l)

3.(x-2)(尤-l),(x+36)(%+1),(^+13)(x-2),(x-9)(x+3)

(x—9)(x+3),(m-5〃)。%+〃),(〃一)+4)(。-b+7)

4.ax3(x-2)(x一8),an{a+3b)(a-2b),(x-3)(x+1)(^2-2x+3),(x-3)(x+3)(x2+2)

(2x-3)(3%+1),(2%-y)(4x+15y),(7Q+7b+2)(a+Z?-1),(2%+1)(3%-5)(6/-7x+5)

5.(x-y)(3a+y),(2x+1)2(2x-1),(x-3)(5九+2y),(2a-5b-6)(2。-5。+6)

2333

(l-2x+y)(l+2x—y),ab(a+/?)(tz-b\(x-1-y)(x-1+y，),x(x-y)(x+y+1).

B组

1.(be+ad)(ac-bd),(x—4m+2〃)(x—2n),(x2-4x+8)(x2+4x+8),

(x-l)(x_3)(x_7),(x-2y产(x+2y).

28

2.—

3

3._5n3+4n=(〃-2)(〃-l)n(n+1)(〃+2)

4./+ci~c+b~c—cihc+b'=(a——cih+h~)(Q+Z?+C)

第三讲一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方

程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有

着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程62+云+。=0(。/0),用配方法将其变形为:

/b、?b2-4ac

(x+—y=----------

2a4a~

⑴当店一4ac>o时,右端是正数.因此，方程有两个不相等的实数根:

-b±y/b2-4ac

x=------------------

2a

⑵当。2—4QC=0时,右端是零.因此，方程有两个相等的实数根：X=~~

l22a

⑶当从-4ac<0时，右端是负数.因此，方程没有实数根.

由于可以用〃一4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把4“c

叫做一元二次方程at2+桁+c=0(aN0)的根的判别式，表示为：△=/-4ac

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

(1)2x2-3%+l=()(2)4y2+9=12y(3)5(x2+3)-6x=0

解：(1)A=(-3)2-4x2xl=l>0,二原方程有两个不相等的实数根.

(2)原方程可化为：4y2—12y+9=0

•.•△=(-12)2-4x4x9=0,原方程有两个相等的实数根.

(3)原方程可化为：5x2-6x+15=0

vA=(-6)2-4x5x15=-264<0,原方程没有实数根.

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.

【例2】已知关于x的一元二次方程3f-2x+左=0,根据下列条件，分别求出人的

范围：

(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根；(4)方程无实数根.

解：△=(—2了一4x3x女=4—12人

(1)4-12%>0=2」；4一12女=0=>左=，

⑵

33

(3)4-12^>0=>Z:>-；4-12^<0=>^<-.

33

【例3】已知实数x、y满足V+y2一孙+2x—y+i=o,试求X、y的值.

解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：

x2-(y-2)x+y2-y+1=0

由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：

A=[-(y-2)]2-4(y2-y+l)=-3y2N0ny=0,

代入原方程得：k+2%+1=0=%=-1.

综上知：x=—1,y=0

二、一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程办2+云+。=0(。/0)的两个根为：

-b+yjb2-4ac-b-ylb2-4ac

-b+\b~-4ac+一Jb2-4ac_h

所以：x+x=

t22a2aa

122

-b+yjb-4ac-b-ylb-4ac(-b)—-4ac『4QC_c

x•x=-------------------------------=---------------------

}22

2a(2a)4a2a

定理：如果一元二次方程以2+0x+c=O(。W0)的两个根为玉，九2，那么:

b

+/=--?Xj%2=一

说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此

定理称为“韦达定理”.上述定理成立的前提是△2().

【例4】若石,々是方程f+2x—2007=0的两个根，试求下列各式的值:

2211

⑴xj+x,~；(2)---1---；(3)(X1—5)(X2—5)；(4)|X]—x2|.

\x2

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算.这

里，可以利用韦达定理来解答.

解：由题意，根据根与系数的关系得：%+々=-2,%々=一20。7

22

(1)£+92=(内+%2)-2xtx2=(-2)-2(-2007)=4018

,.11x.+x—22

(2)1------------9-=------------

x,x2西马-20072007

(3)(王一5)(々-5)=玉々-5(玉+/)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

(4)|5-%1=-电)2=+々)2=((-2)2-4(-2007)=2^2008

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:

222X|+%222

X,+X2=（X,+X,）-2X.X,,---1--~,（X1-X,）=（X1+x2）—4%1%2,

中2

222

|X]-x2|=J（X[+X2）-4x,x2,X,X2+X|X2=X1X2（X|+x2）,

3

V+x2=（X1+龙2）3-3玉々（％+Z）等等.韦达定理体现了整体思想.

【例5】已知关于X的方程/—伏+1)X+_L%2+I=O,根据下列条件，分别求出女的

4

值.

(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根玉,々满足|=々.

分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是王=9〉0,二是一%=々，

所以要分类讨论.

解：(D,••方程两实根的积为5

A=[-(^+l)]2-4(^2+l)>0

<4^k>-,k=+4

X}X2+1=5

所以，当左=4时，方程两实根的积为5.

(2