北师大版九年级下册试卷合集【1-3章单元试卷含期中期末试卷】

北师大版九年级下册试卷合集

【1-3章单元试卷，含期中期末试卷】

单元测试卷（一）

一、选择题

1.计算：cos245o+sin?45°=（）

A.1B.1C.1D.返

242

2.在RtZXABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）

A,都扩大两倍B,都缩小两倍C.不变D.都扩大四倍

3.如图，在Rtz^ABC中，4C=Rt4,a、b、c分别是乙A,乙B,乙C的对边，

下列结论正确的是（）

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

4.如图，在AABC中，乙BAC=90。，AB=AC,点D为边AC的中点，DE_LBC

于点E,连接BD,则tan乙DBC的值为（）

A.1B.V2-1C.2-MD.1

34

5.如图，在网格中，小正方形的边长均为L点A,B,C都在格点上，贝IJ乙ABC

的正切值是（）

A.2B.2返C.D.1

552

6.已知在Rt^ABC中，乙C=90°,sinA=%,则tanB的值为（）

5

AtBfcfDt

7.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了10m,此时小球

距离地面的高度为（）

A.5mB.2娓mC.4^5mD.—m

3

.如图，在菱形中，则乙的值

8ABCDDE_LAB,cosA=l,BE=2,tanDBE（）

5

A.1B.2C.立D.在

225

9.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（）

A.5B.V37C.7D.V38

10.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度

AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30。，则飞机A与指挥台B

的距离为（）

A.1200mB.120072mC.120073mD.2400m

二、填空题

11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从

一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米.

12.如图，有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则

4A的度数约为（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）.

13.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30。，再往塔的方

向前进50m至B处，测得仰角为60°,那么塔高约为m.（小兰身高忽略

不计,取标1.732）

14.等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于.

15.如图，已知RtAABC中，斜边BC上的高AD=4,cosB=&,贝1JAC=

16.如图，^ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=

17.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几

何图形,已知BC=BD=15cm,乙CBD=40。，则点B到CD的距离为cm（参

考数据sin20°-0.342,cos20°«0.940,sin40°«0.643,cos40°«0.766,结果精

确到0.1cm,可用科学计算器）.

18.如图，在四边形ABCD中，4A=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,则

AB=

三、解答题

19.计算下列各题:

（1）V2（2cos45°-sin60°）+场；

4

（2）（-2）°-3tan300+IV3-2|.

20.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大

树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：

（1）在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

⑵在点A和大树之间选择一点B（A,B,D在同一直线上）,测得由点B看大树

顶端C的仰角恰好为45°；

⑶量出A,B两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：

sin35°«0.57,cos35°«0.82,tan35°«0.70）

21.每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面

1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，

轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8

米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：

sin9°=0.1564,cos9°=0.9877,tan9°=0.1584）

1.2米

8米

22.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑

物顶部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测

得建筑物顶部的仰角是45。.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的

高度.（取遂=1.732,结果精确到1m）

23.已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45。，沿着坡度为30。的斜

角前进400米处到B处（即乙BAC=30°,AB=400米），测得D的仰角为60°,

求山的高度CD.

24.一段路基的横断面是直角梯形，如图1,已知原来坡面的坡角a的正弦值为

0.6,现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达

到如右下图2的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少？

图1图2

25.如图，已知R2ABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，过点A作

AE1CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.

(1)求sinB的值；

(2)如果CD=遥，求BE的值.

26.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船

c的求救信号.已知A、B两船相距100(V3+3)海里，船C在船A的北偏东60°

方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D,测得船C正好在观测

点D的南偏东75。方向上.

(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保

留根号).

(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁若巡逻船A沿直线AC去营救船C,

在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：我=1.41,加=1.73)

V

参考答案与试题解析

1.计算:cos245°+sinz45°=()

A.1B.1C.LD.返

242

【考点】T5:特殊角的三角函数值.

【专题】选择题

【分析】首先根据cosg°=sin45°=返,分别求出cc^S。、$斤45。的值是多少;

然后把它们求和，求出8/45。+a吊45。的值是多少即可.

【解答】解：；cos45°=sin45°=返,

2

•••cos2450+sin245°

=1.

故选B.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关

键是要明确：（1）30。、45。、60。角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方

加余弦的平方等于1.

2.在RtZXABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（）

A,都扩大两倍B,都缩小两倍C.不变D.都扩大四倍

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】选择题

【分析】根据三边对应成比例，两三角形相似，可知扩大后的三角形与原三角形

相似，再根据相似三角形对应角相等解答.

【解答】解：・各边的长度都扩大两倍，

，扩大后的三角形与RtAABC相似，

锐角A的各三角函数值都不变.

故选C.

【点评】本题考查了锐角三角形函数的定义，理清锐角的三角函数值与角度有关,

与三角形中所对应的边的长度无关是解题的关键.

3.如图，在RtZ\ABC中，4C=Rt乙，a、b、c分别是4A,ZB,4c的对边,

下列结论正确的是（）

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.tanB=—

b

【考点】T1:锐角三角函数的定义.

【专题】选择题

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可.

【解答】解：A、在Rt^ABC中，4C=90。，

sinA=—,csinA=a,正确；

B、在RtAABC中，乙C=90°,

cosB=—,本项错误；

c

C、在RtAABC中，4c=90°,

tanA=—,btanA=a,本项错误；

b

Ds在RtAABC中,4c=90°,

tanB=2本项错误，

a

故选A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义.解答此题关键是正确理解和运用锐角

三角函数的定义.

4.如图，在4ABC中，乙BAC=90。，AB=AC,点D为边AC的中点，DE_LBC

于点E,连接BD,则tanNDBC的值为（）

A.1B.V2-1C.2-V3D.1

34

【考点】T7:解直角三角形；KW：等腰直角三角形.

【专题】选择题

【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=V2AC,DE=EC=1DC,然

2

后通过解直角△DBE来求tanZDBC的值.

【解答】解：•••在AABC中，乙BAC=90。,AB=AC,

•••z!ABC=4C=45°,BC=V^C.

又,••点D为边AC的中点，

，AD=DC口AC.

2

vDElBC于点E,

•••乙CDE=zlC=45°,

.••DE=EC=^DC=^AC.

24

42

-T-AC

••.tan乙DBCX=——-=工.

BEMAC乎AC3

故选A.

D

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质.通过解直角

三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值.

5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上，贝IJ乙ABC

23

【考点】T1：锐角三角函数的定义；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理.

【专题】选择题

【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案.

【解答】解：如图：

由勾股定理，得

AC=A/2,AB=2A/2,BC=M10,

・•.△ABC为直角三角形,

二•tan乙B=^■二工

AB2

故选D.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数.

6.已知在RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=W,则tanB的值为()

5

A.1B.AC.HD.1

3544

【考点】T1：锐角三角函数的定义；T4：互余两角三角函数的关系.

【专题】选择题

【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函

数关系式求解.

【解答】解：解法1:利用三角函数的定义及勾股定理求解.

•.•在RtaABC中,4c=90°,

.■.sinA=—,12118=卜和a'+bJc?.

ca

■.'sinA=—,设a=3x,则c=5x,结合a'+bJc?得b=4x.

5

•'•tanB=—.

a3x3

解法2:利用同角、互为余角的三角函数关系式求解.

”:A、B互为余角，

cosB=sin(90°-B)=sinA=—.

5

又,.,sin2B+cos2B=l,

•''sinB=Vl-cos2B=4'

4_

tanB=5^.

cosBA3

5

故选A.

【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的

方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值.

7.如图，一个小球由地面沿着坡度i=l：2的坡面向上前进了10m,此时小球

距离地面的高度为（）

"r77^/97777777777777777^

A.5mB.2匹mC.4^5mD.—m

3

【考点】T9:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】选择题

【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长.

【解答】解：••・AB=10米，tanA=N_=L.

AC2

设BC=x,AC=2x,

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,BP100=X2+4X2,解得x=2泥,

，AC=4娓，BC=2逐米.

故选B.

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中

整理出直角三角形是解答本题的关键.

.如图，在菱形中，则乙的值

8ABCDDE_LAB,cosA=l,BE=2,tanDBE（）

5

A.1B.2C.在D.金

225

【考点】T7:解直角三角形；L8：菱形的性质.

【专题】选择题

【分析】在直角三角形ADE中，cosA=34望也，求得AD,AE,再求得

5ADAD

DE,即可得到tan乙DBE=@^.

BE

【解答】解：设菱形ABCD边长为t.

•••BE=2,

，AE=t-2.

cosA=—,

5

.AE3

AD飞

•-,t-2_,—3—.

t5

•'.t=5.

••.AE=5-2=3.

DE=VAD2-AE2=752-32=4-

•,.tan乙DBE=里里=2.

BE2

故选B.

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的

关系.

9.直角三角形两直角边和为7,面积为6,则斜边长为（

A.5B.V37C.7D.V38

【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ:勾股定理.

【专题】选择题

【分析】可设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-x,由面积为6作为

相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长.

【解答】解：设直角三角形一直角边为x,则另一直角边为7-x,

根据题意得4（7-x）=6,

2

解得x=3或x=4,

所以斜边长为在不=5•

故选A.

【点评】可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长

再根据勾股定理求斜边的长.熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键.

10.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度

AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30。，则飞机A与指挥台B

的距离为（）

A.1200mB.1200V2mC.120073mD.2400m

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】选择题

【分析】首先根据图示，可得4ABe=乙a=30。，然后在ABC中，用AC的

长度除以sin30。，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可.

【解答】解：＞ABC=4a=30°,

即飞机A与指挥台B的距离为2400m.

故选D.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解

答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题

加以解决.

11.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从

一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，间小鸟至少飞行10米.

【考点】KU：勾股定理的应用.

【专题】填空题

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,

所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出.

【解答】解：如图，设大树高为AB=12m,

小树高为CD=6m,

过C点作CEJ_AB于E,则四边形EBDC是矩形,

连接AC,

「.EB=6m,EC=8m,AE=AB-EB=12-6=6(m),

在RtAAEC中，

AC=.^g2=10(m).

故小鸟至少飞行10m.

故答案为：10.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决

实际问题的能力.

12.如图，有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则

NA的度数约为27.8。(用科学计算器计算，结果精确到0.1。).

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】填空题

【分析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.

【解答】解：；tan乙A=坨=2A=0.5283,

AC5.3

•••乙A=27.8。，

故答案为：27.8°.

【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与

水平宽度的比值，难度不大.

13.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°,再往塔的方

向前进50m至B处，测得仰角为60°,那么塔高约为43.3m.（小兰身高忽

略不计，取我=1.732）

【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】填空题

【分析】从题意可知AB=BD=50m,至B处，测得仰角为60°,sin60°=^.可

BD

求出塔高.

【解答】解:.••乙DAB=30°,乙DBC=60°,

BD=AB=50m.

••.DC=BD・sin60o=50x2Zl=43.3.

2

故答案为：43.3.

【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的

联系，从而求解.

14.等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于15。或75。..

【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理.

【专题】填空题

【分析】此题分两种情况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即

可得出乙ABD=60。，可得顶角度数.同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数.

【解答】解；如图1,4ABC中，AB=AC=2,BD为腰上的高，且BD=1,

顶角为锐角，

•.■AD2=AB2-BD2,

•••AD2=4-1=3,

.•-AD=V3.

•••乙ABD=60°,

顶角为30。，底角为75。；

如图2,ZXABC中，AB=AC=2,BD为腰上的高，且BD=1,

顶角为钝角

同理可得，底角为15。.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是

利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析.

15.如图，已知RtAABC中，斜边BC上的高AD=4,cosB=-l,贝ljAC=5

5

【考点】T7:解直角三角形.

【专题】填空题

【分析】根据题中所给的条件，在直角三角形中解题.根据角的正弦值与三角形

边的关系，可求出AC.

【解答】解：••・在R2ABC中,cosB=l,

5

.".sinB=—,tanB=&^=m.

5cosB4

♦.・在RtAABD中AD=4,

sinB飞_-3,

T

在RtAABC中，

：tanB二传匕

AB

;.AC=ax型=5.

43

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的

关系.

16.如图，AABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=返

—5'

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】填空题

【分析】在直角4ABD中利用勾股定理求得AD的长，然后利用正弦的定义求解.

【解答】解：在直角4ABD中，BD=1,AB=2,

贝UAD-VAB2+BD2-V22+12-^1

贝（JsinA=—.

ADV55

故答案是：近..

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为

对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

17.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几

何图形，已知BC=BD=15cm,4CBD=40。，则点B至ijCD的距离为14.1cm

（参考数据sin20°=0.342,cos20°«0.940,sin40°«0.643,cos40°«0.766,结

果精确到0.1cm,可用科学计算器）.

图1图2

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【专题】填空题

【分析】作BELCD于E,根据等腰三角形的性质和乙CBD=40。，求出乙CBE的

度数，根据余弦的定义求出BE的长.

【解答】解：如图2,作BE_LCD于E,

•：BC=BD,乙CBD=40°,

•••ZCBE=20°,

在Rt^CBE中，cosZCBE=H,

BC

BE=BC・cos乙CBE

=15x0.940

=14.lcm.

故答案为：14.1.

图1图2

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的概念是解题的

关键，作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的重要环节.

18.如图，在四边形ABCD中，4A=60°,4B=ND=90°,BC=6,CD=9,贝1JAB=

8V3—.

【考点】KQ：勾股定理；K0：含30度角的直角三角形.

【专题】填空题

【分析】过点D作DELAB于点E,CFLDE于F,可得四边形BCFE为矩形，根

据乙A=60°,可得出乙ADE=30°,根据乙D=90°,可求得乙CDE=60°,乙DCF=30°,

在4CDF中，根据CD=9,分别求出CF,DF的长度，然后在4ADE中，求出AE

的长度，继而可求出AB的长度.

【解答】解：过点D作DELAB于点E,CFJ_DE于F,

则有四边形BCFE为矩形，BC=EF,BE=CF,

乙A=60°,

•••乙ADE=30。，

乙D=90°,

AACDE=60°,乙DCF=30°,

在4CDF中，

•••CD=9,

；.CF=LCD=2,CF=^CD=^/1,

2222

•••EF=BC=6,

.,.DE=EF+DF=6+2=2

22

贝IJAE=>^L=鬼I,

V32_

；.AB=AE+BE=2^+^S=8加.

22

故答案为：873.

A

E卜・■—

n7

BC

【点评】本题考查了勾股定理的知识以及含30度角的直角三角形的性质，注意

掌握在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半，难度一般.

19.计算下列各题：

（1）72（2cos45°-sin60°）+国;

4

（2）（-2）°-3tan30°+IV3-2|.

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数鬲；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】解答题

【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值化简，合并同类二次根式化简得到结

果；

⑵原式第一项利用零指数鬲法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值化简，

最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果.

【解答】解：（1源式=圾、（2x返一区）+岖=2-返+返=2；

_22422

⑵原式=1-3x®+2-73=3-2A/3.

3

【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数鬲，特殊角的

三角函数值，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大

树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：

⑴在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；

⑵在点A和大树之间选择一点B（A,B,D在同一直线上），测得由点B看大树

顶端C的仰角恰好为45。；

⑶量出A,B两点间的距离为4.5米.

请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据：

sin35°«0.57,cos35°«0.82,tan35°«0.70）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】首先分析图形：本题涉及到两个直角三角形4DBC、AADC,应利用其

公共边CD构造等量关系，借助AB=AD-DB=4.5构造方程关系式，进而可求出

答案.

【解答】解：设CD=x米；

•••4DBC=45°,

r.DB=CD=x,AD=x+4.5；

在RtaACD中，tan4A=里，

AD

-■•tan35°=―-—；

x+4.5

解得：x-10.5；

所以大树的高为10.5米.

解法2:在RtAACD中，tan4A=生，,AD=—包—；

ADtan35

在RtABCD中，tan乙CBD=型，，BD=_®;

BDtan45

而AD-BD=4.5,

即_CD=451

tan35tan45

解得：CD=10.5；

所以大树的高为10.5米.

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角

形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.

21.每年的5月15日是”世界助残日”，我区时代超市门前的台阶共高出地面

1.2米，为帮助残疾人，便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，

轮椅行走斜坡的坡角不得超过9°,已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8

米（斜坡不能修在人行道上），问此商场能否把台阶换成斜坡？（参考数据：

sin9°=0.1564,cos9°=0.9877,tan9°=0.1584）

_1.2米

眯

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解答题

【分析】先求得拆除台阶换成斜坡后的坡角，与9。比较，再判断是否能把楼梯

换成斜坡.

【解答】解：由于台阶共高出地面1.2米，商场门前的人行道距门前垂直距离为

8米,

则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tana=1.2=0.15<tan9°,

8

因此，此商场能把台阶换成斜坡.

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.

22.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑

物顶部的仰角是30。，然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测

得建筑物顶部的仰角是45。.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的

高度.(取«=1.732,结果精确到1m)

【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】根据CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m,再利用解直角

得出x的值，即可得出CD的长.

【解答】解：设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m.

在RtZXAEC中，tan乙CAE建,

AE

即tan30°=-^-

x+100

V3

X——,

x+1003

3x=F(x+100),

解得x=50+50b=136.6,

••.CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1=138(m).

答：该建筑物的高度约为138m.

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据taMCAE嘴得出x的值

是解决问题的关键.

23.已知：如图，在山脚的A处测得山顶D的仰角为45。，沿着坡度为30。的斜

角前进400米处到B处（即乙BAC=30°,AB=400米）,测得D的仰角为60°,

求山的高度CD.

【考点】TA:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解答题

【分析】在RQAFB中，根据AB=400米，乙BAF=30。，求出BF、AF的长度，

然后证明四边形BFCE是矩形，设BE=x米，在RtZXBDE中，用x表示出DE的长

度，然后根据AC=DC,代入求出x的值，继而可求得山高.

【解答】解：过B作BDAC于F,

在RtAAFB中,

..・AB=400米，4BAF=30°,

BF=1AB=1X400=200（米），

22

AF=AB«COS30°=200V3（米），

•-•BF±AC,BE±DC,

四边形BFCE是矩形，

EC=BF=200米，

设BE=x米，则FC=x米，

在RtADBE中,

•••乙DBE=60°,

DE=tan60°*BE=V3x（米），

•••△DAC=45°,乙C=90°,

•••乙ADC=45。，

，AC=DC,

••,AC=AF+FC=（200V3+X）米，

DC=DE+EC=（Vsx+200）米，

解得：x=200,

••.DC=DE+EC=200«+200（米）.

答：山的高度BC约为（20073+200）米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角

三角形，利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般.

24.一段路基的横断面是直角梯形，如图1,已知原来坡面的坡角c（的正弦值为

0.6,现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达

到如右下图2的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少？

图1图2

【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解答题

【分析】由已知可求EC=40m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的

前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形ABCD面积二梯形ABGD面积，可

再求出ECi=80(m),即可求出改建后的坡度1=8正:EC】=20:80=1:4.

【解答】解:由图可知：BE1DC,BE=30m,sina=0.6,

在RtABEC在

•rsina二世，

BC

...BC=BE=30=50(m),

sinCl0.6

在RTABEC中EC2=BC2-BE2,BE=30m,

由勾股定理得，EC=40m.

在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变

小，

贝IJ梯形ABCD面积二梯形ABC。面积，

••.lx(20+60)x30=lx20(20+20+ECJ

22

解得EG=80(m),

r.改建后的坡度i=BiE：ECi=20:80=1：4.

【点评】此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题.分

析梯形ABCD面积二梯形ABCQ面积，是解题的关键；还要熟悉坡度公式.

25.如图，已知RtZXABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，过点A作

AE1CD,AE分另ij与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.

⑴求sinB的值；

⑵如果CD二泥，求BE的值.

【考点】T7：解直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线.

【专题】解答题

【分析】⑴根据乙ACB=90。，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD,则乙B二

乙BCD,再由AELCD,可证明乙B=4CAH,由AH=2CH,可得出CH：AC=1：

V5,即可得出sinB的值;

(2)根据sinB的值，可得出AC：AB=1：娓,再由AB=2遥，得AC=2,贝1JCE=1,

从而得出BE.

【解答】解：⑴•.2ACB=90°,CD是斜边AB上的中线，

••.CD=BDt

，乙B=4BCD,

••■AE1CD,

•••乙CAH+乙ACH=90°,

又乙ACB=90°

(BCD+乙ACH=90°

二乙B=4BCD=4CAH,即4B=4CAH,

•••AH=2CH,

二由勾股定理得AC=J^CH,

.'.CH：AC=1：V5,

.-.sinB^2ZE;

5

⑵：sinB=豆，

5

•••AC：AB=1：V5,

，AC=2.

•••乙CAH=4B,

，sin乙CAH=sinB=义屋

5遍

设CE=x(x>0),贝UAE=&x,则X?+22=(旄X)2

.o*CE=x=l,AC=2,

在Rt^ABC中，AC2+BC2=AB2,

・「AB=2CD=2泥，

BC=4,

，BE=BC-CE=3.

【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的

应用，难度不大.

26.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船

c的求救信号.已知A、B两船相距100(«+3)海里，船C在船A的北偏东60°

方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D,测得船C正好在观测

点D的南偏东75。方向上.

(1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号，请保

留根号).

(2)已知距观测点D处200海里范围内有暗礁若巡逻船A沿直线AC去营救船C,

在去营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据：亚之1.41,V3-1.73)

【考点】TB:解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】解答题

【分析】(1)作CE_LAB于点E,贝"ABC=45°,乙BAC=60°,设AE=x海里，在

RtAAEC中，CE=AE«tan60°,在RtABCE中，BE=CE=«x,由AE+BE=x+@=100

(3+T)求出x的值,再根据AC=2x得出AC的值,在4ACD中，由乙DAC=60。,

乙ADC=75°得出乙ACD=45°过点D作DFLAC于点F,设AF=y，则DF=CF=^y,

根据AC=y+小=200虫求出y的直故可得出AD的长，进而得出结论；

(2)根据(1)中的结论得出DF的长，再与200相比较即可.

【解答】解：(1)作CE_LAB于点E,贝乙ABC=45°,乙BAC=60。，设AE=x海里，

•.,在RtaAEC中，CE=AE・tan60°=B,

在RtaBCE中，BE=CE=Q,

；.AE+BE=x+后=100(3+V3),解得x=100«,

AC=2X=200A/3.

在AACD中，

ADAC=60°,(ADC=75°,

•••乙ACD=45°.

过点D作DF_LAC于点F,设AF=y,则DF=CF=扬，

••-AC=y+Vsy=20073,解得y=100(3-5)，

，AD=2y=200(3-73).

答:A与C之间的距离AC为200遥海里,A与D之间的距离AD为200(3-遂)

海里；

(2)1,由(1)可知，DF=«AF=b*100(3-V3)*219.

­.-219>200,

巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去营救的途中无触暗礁危险.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题,根据题意作出辅助线,

构造出直角三角形是解答此题的关键.

单元测试（一）

一、选择题

1.二次函数y=ax?+bx+c（aXO）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A.a>0B.当-l<x<3时，y>0

C.c<0D.当xMl时，y随x的增大而增大

2.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.a<0,b<0,c>0,b2-4ac>0B.a>0,b<0,c>0,bz-4ac<0

C.a<0,b>0,c<0,b2-4ac>0D.a<0,b>0,c>0,b?-4ac>0

3.已知二次函数y=ax?+bx+c（aXO）的图象经过点（刈，0）、（2,0）,且-2

<xx<-1,与y轴正半轴的交点在（0.2）的下方，则下列结论：①abc<0；

②b?>4ac；③2a+b+1<0；④2a+c>0,则其中正确结论的序号是（）

A.B.（2X3）C.D.（WW

4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a关0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是

（）

A.a>0

B.3是方程ax2+bx+c=O的一个根

C.a+b+c=O

D.当x<l时，y随x的增大而减小

5在反比例函数y=卫中,当x>0时,y随x的增大而增大，则二次函数y=mx2+mx

x

的图象大致是图中的（）

A.a<0B.bz-4ac<0

C.当-l<x<3时，y>0D.-且=i

2a

7.已知二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象如图所示，则下列五个结论中:①

a+b+c<0；②a-b+c>0；③2a-b<0；④abc<0；⑤4a+2b+c>0,错误的个数

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，二次函数丫=2/+5*+（:的图象与y轴正半轴相交，其顶点的坐标为（工

2

1）,下歹［I结论：①c>0；②b2-4ac>0;③a+b=O;④4ac-b?>4a,其中错误的

是（）

A.①B.②C.③D.④

9.如图，已知二次函数的图象与x轴的两个交点分别为（-1,0）,（3,0）,对

于下列结论：①2a+b=0；②abc<0;③a+b+c>0；④当x>1时，y随x的增大

而减小；其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.二次函数y=ax?+bx+c（aX0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.-^-<Q

2a

11.如图是二次函数y=ax?+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-1,且过点(-

3,0).下列说法：

①abc<0；

②2a-b=0；

③4a+2b+c<0；

④若是抛物线上两点，则,沙.

(-5,yj,(1,y2)

12若二次函数y=ax2+bx+c（aW0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A.a>0B.c>0C.ac>0D.be<0

13.函数y=x?+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：

①b?-4c>0；②b+c+l=0；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+(b-1)x+c<0.

其中正确的个数为（）

y

14.抛物线丫=2*2+6*+（:的顶点为D（-1,2）,与x轴的一个交点A在点（-3,

0）和（-2,0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

0b2-4ac<0；②a+b+c<0；③c-a=2；④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实

数根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

15.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示.下列结论：

①abc>0；②2a-b<0；③4a-2b+c<0；④(a+c)2<b2

A.1B.2C.3D.4

16.已知a、h、k为三数，且二次函数y=a(x-h)?+k在坐标平面上的图形通

过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,0<h<10,则h之值可能为下列何者？()

A.1B.3C.5D.7

二、填空题

17.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：

①ab>0；

②方程2的根为

ax+bx+c=0Xi=-1,X2=3；

③a+b+c>0；

④当x>l时，随x值的增大而增大.

其中正确的说法有.

18.抛物线y=ax2+bx+c(a#0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点，则a+c=.

19.如图，P是抛物线y=-X2+X+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和v

轴弓I垂线，垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为.

20.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过

A~A~

弟

_________象限.

三、解答题

21.如图，抛物线y=a(x-1),+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点

C作CD〃x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(-1,0)

⑴求该抛物线的解析式；

⑵求梯形COBD的面积.

22.如图，抛物线y=x?-