初二八年级数学题目汇总

16.1二次根式

知识梳理

1.理解二次根式的概念；理解及有意义的条件；会根据二次根式有意义的条件求被开

方数中字母的取值范围；

2.理解二次根式的基本性质；知道等式成立的条件；会利用二次根式的性质化简二次根

式：

3.经历归纳等式=时的过程；体会数学知识之间的联系及其表达形式的转换.

二.例题精讲

例题1.设x是实数，则当x满足什么条件时，下列各式有意义？

(1)V77T；⑵、仁二(3)正工

V3x-lx

解析：在实数范围内正有意义的条件是。20,所以在含有一个字母的二次根式中，

求这个字母的取值范围一般是根据被开放数是非负数列出不等式或不等式组求解.

解答：(1)不论X是什么实数都有X20,则f+1〉。，

所以当X是任意实数时，+1有意义;

-211

(2)由-----20以及3x—1H0,可知3x—l与一2同号，得x<—,所以当x<一时,

3x-l33

-----有意义;

3x-l

1-3x>011

(3)由《得—且xHO,所以当xW—且XH0时,

说明：本题主要是依据二次根式々有意义的条件，即a20.但需注意，讨论二次根式

的被开方数中字母的取值范围时，不要误解为被开方数只能取正值，而忽略了零也是可

以取的值.在求字母取值范围时，一般先列出不等式或不等式组，在求解.如果被开方数

的分母中含有字母，不要忘了分母不能为零这个条件.

例题2.化简：(1)V25X2(X>o)；(2)J(3.14-万尸；(3)y/x2-10x+25(x>5).

解析：应用行=同进行计算或化简时要注意G的取值范围.

解答：(1)VW=|4x|,•.•%>0,/.|4x|=4x;即原式=|4x|=4x.

(2)J(3.14—万>=[3.14—舛,3.14<%,.•.|3.14—1|=-(3.14—3)=.一3.14；

即原式=[3.14-/=%一3.14.

(3)x~-1Ox+25=—5)'=|x—5|x>5,.'.|x—5|=x-5.即原式

=yj(x-5)2=|x-5|=x-5

说明：为了避免错误一般先把厢化为同，然后根据。的正负去掉绝对值，这样做可

以避免计算V7时发生符号上的差错.但它们的结果都是非负数.

例题3.化简：(1)J-27/；(2)J—(^>0)；(3)—----(%>1).

V16xxVx2-2x+l

解析：当被开放数含有平方因数或分母时要化简.

解答：(1)V-27a3=V-32a2-3a=-3a4-3a；

,c、X-l/x5x-\IX4Xx-\X2.、

(3)——J-......=——J-------=---------Vx(x>1).

xvx2-2x+1x\(x-1)-xx-1

说明：化二次根式为最简二次根式要满足两个条件：

(1)被开放数中各因式的指数都为1；

(2)被开放数的因数是整数，因式是整式，即根号内不含分母.

三.达标训练

1.填空题

(1).代数式J2x-1中x的取值范围是.

(2).代数式中x的取值范围是

X

(3).计算：7(-67=；(一2&)2二当x<0时,V?=

|\,府,-5，茄中最简根式为

(4).在一Jo.5,-Jab，,

2

2.选择题

(5).下列各式中一定是二次根式的是()

D.sfa(a>0).

B.

)

(7).先化简再求值：+其中x=1.69.

四.拓展提高

(8).将下列二次根式化成最简二次根式:

b4

⑴.一a(2).

a

五.点击中考

(9).(2009贺州)下列根式不是最简二次根式的是)

A.;B.V6；c.Vs；D.V10.

(10).(2005长沙)小明的作业本上有以下四题:

①Jl6a4=4a2；②45axJlOa=5y[2a；

③北—=4a；—42a=Va.

a

做错的题是-——()

A.①;B.②；C.③；D.

16.2⑴最简二次根式

知识梳理

1.能概括最简二次根式，会判别最简二次根式；

2.将非最简二次根式化为最简二次根式，通过化简二次根式，体会研究二次根式的方法.

二.例题精解

例题1.判断下列二次根式是不是最简二次根式：

+10x+25.

解析：判断是否最简二次根式，看被开方数是否符合两个条件：

(1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数不含分母.

解答：(1)745=79x5=375；(2)-4是最简二次根式;

(3).I-；(4)yJx2+10x+25=J(x+5)2=x+5.

V18V18x26、

例题2.把下列二次根式化为最简二次根式：

(1),4"[(a>0)；(2).(a>0)；(3)(x2—y2)(x—y)(x>y>0).

\5a

解析：这三题化简的关键看被方数是否存在平方的因数，是否含有分母.

(1)质=可标=6屈；⑵偿=甯=等(。>())；

(3)7(X2-y2)(x-y)=J(x_y)2(x+y)=卜一计“+p(x>^>0).

说明：例(1)(2)中的条件(“>0),均是间接得到被开方数中另一个字母的条件，是隐

含条件，在讲解中要给学生讲明.

三.达标训练

1.填空题

(1).当x取10,20,30,40中的时，y/x是最简二次根式.

(4).化简：(加一〃)J----(m>n)=.

\m-n

2.选择题

(5).下列根式中，不属于最简二次根式的是-------------------------()

A.yj3ci；B.yj2x+y2.C.-y/5x；D.V9.

3.化简：

22

(6)yl45xy(x<0);(7)a^(b<0)；

(8)

1争x>0).

四.拓展提导)：

将下列二次根式化成最简二次根式

I4+1(10)y/-a3b(a<b).

五.点击中考

(11),先化简，再求值：

x2-4x+4/八、廿a二

---------------x(x+2),其中x=j5.

2x-4

16.2⑵同类二次根式

知识梳理

1.理解同类二次根式的意义；

2.掌握同类二次根式的合并.

二.例题精解

例1.下列二次根式中，哪些是同类二次根式:

解析：判别同类二次根式，先把它化成最简二次根式后，再看被开方数是否相同.

解答：.——.-----=—>/2；V32=Jl6x2=45/2；

V8V8x24

=5^xy-y2=5y4xy；\/x^y=.孙=x弧.

所以J5,JJJ芨是同类二次根式；5历?与"豆是同类二次根式.

例2.合并同类二次根式：

(1)1V3-3V5+V12+V2O；(2)y/ah+niy[ab-nyfab.

解析：合并同类二次根式前，先判别是否最简二次根式，再判别是否同类二次根式.

解答：(1)原式=；6-3后+2百+2石=(；+2)6+(-3+2)指=[百-石;

(2)原式+n)\[ab.

三.达标训练

1.填空题

(1).在一左,回，我，后，麻中为同类二次根式的是.

(2).若最简二次根式V6x-5与j7+3x是同类根式，则x=.

(3).若最简二次根式Ja+2b与折是同类二次根式,则。=；b=.

⑷.计算：6亚+2亚=；2G-6=

(5).计算：—+y/x=；2y[ab——\[ab=.

3---------2---------

2.选择题

⑹.在＜2》血?,阮」42,点病中，是同类二次根式的有-------()

V2V10

A.一组；B.二组；C.三组；D.四组.

(7).下列各式中，与而石是同类二次根式的是----------------------()

A._+b)~；B.-，2伍+b)；C.-----+b)，；D..---------.

a3a+bNa+b

3.简答题

(8).计算：4&一V3+^-+—V2；(9).ifW：—Vx--Vx--VxVx；

322484

(10).计算：g+2.

四.拓展提高

(11).当a取什么最小正整数时，J5a+3与G是同类二次根式.

(12).已知J3nl+(和'"划薪是同类二次根式,求加，〃的值.

五.点击中考

(13).(2007上海)在下列二次根式根式中,与正是同类二次根式的是--(---)

A.q2a；B.,3。-；C.必；D.Va7

16.3(1)二次根式的加减法

知识梳理

1.类比整式加减运算，归纳二次根式的加减过程；

2.在掌握最简二次根式和同类二次根式基础上进行二次根式加减.

二.例题精解

例1.计算：(1)2加一半；(2)4后-(回+2后)一3A.

解析：二次根式的加减法类似于整式加减法，整式加减法归结为合并同类项，二次根式

的加减法归结为合并同类二次根式.

解答：(1)原式=2x371—：啦=6五一:血=(6-：)夜=，夜；

(2)原式二嗜-(29+6肉—囱=—用.

说明：计算时，注意先把它化简成最简二次根式，在例2时，先把小数化成分数，再化

成最简二次根式，而在去括号时，注意符号改变.

例2.计算：⑴.3年+1岳；(2)3商一1历+V4+犷.

432\y

解析：把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

a1

解答：(1)原式=—x4>JxH—x3>fx=3Vx+y/~X-45/x;

43

(2)原式=3y/^-+2y6.

2y'

说明：在化简时，注意被开方数中的分母放到根号外，仍是分母.

三.达标训练

1.填空题

(1).计算：30+a=,2V400-V1000=,-V18+—=.

——34~

(2).计算：V50+V18+V8=,V48-V27-V12=.

2.选择题

(6).A+2G-6的计算结果是

A.y/3；B.1；C.573；D.65/3-J75.

(7).J万+J石减去30+2G所得的差是()

A.负数;B.大于1的数;C.I；D.小于1的数.

3.简答题

(8).V75+2j5--3Vi08-8j-；(9).X^J——y[^x.—gy/9x—2y.

33

(10).解不等式：3aL有Y

四.拓展提高

(11).己知：a=拒-瓜b=5+也,求4%+。/的值.

(12).已知x+y=Jj2010+j2009,x—y=Jj2010-J2009，求孙.

五.点击中考

(13).(2009.山西)计算g一6=

(14).(2009.湖北)计算：&+J；-2

16.3(2)二次根式的乘除

知识梳理

在让学生掌握乘除运算法则的基础上，正确表达运算过程.

4a»4b-Vab(a0,b20)；^^=$(aN0,bNO)

例题精解

例1.计算：⑴』加x5血；(2)Sj-X-y/2;

164

—\jab~+2yla2b.

5

解析：利用二次根式乘法法则和除法法则计算.

解答：(1)原式LX5V^=*X4=10；(2)M^=8xix-V2=-V2；

22442

(3)原式=(1-—V2；(4)原式=，＞＜」.,加+a,b--4ab-

2,333525a

说明：在计算时，被开方数能开尽方的，先把它开出来，在做除法时特别注意把系数相

除，系数为1时，别遣漏.

例2.计算：(1)布+石；(2)“_寺+

解析：第2题中在计算时，把(x-y)看成一个整体.

解答：(1)原式=J15+3XG=石＞底

⑵原式二…三乒=*=〒….

说明：在例1时，学生注意不能先算6x6,导致错误，应先左后右，而例2中(x-y)

是多项式，计算时看成一个整体且注意条件.

三.达标训练

1.填空题

(l).x/3xV6=(2)-V12xV48=_

⑶;痣义3五=

_;(4)Ja%x」2abs=

22

(5)j26-10=;(6).(。-2>

(7).V24-5-V2=；(8)VO^4H-7O7=

(9).g闻+；行=1

_;(io).-

a

'9

a喈2X.；(叫］X

2.选择题

(13).下列运算中，正确的是------------------------------------------(:

(/).(。+而了=/+(岳y=/+2。；(5).(373+V2)(3V3-V2)=9-2=7；

(。).-12v7+4月=-38.

(C).(>/^-Ja+1)(V^+a+1)=-1

3.简答题

/、1(15).4\/^+(-5小1?；

(14).-X

3

(16).(V6-1)(72+V3)；

(18).-7^-(

b23Va

..,1d1—2。+yjci~—2。+1,,..

(19).已知。=-，求----------------彳-------的值.

y/3Q—1Cl"—Cl

四.拓展提高

(20).化筒复合二次根式：二次根式中套叠着二次根式的式子叫做复合二次根式，配方

法是化简复合二次根式的重要方法.

如:,7-2c

原式=J12_2xlx(由2

=-^(1—V6)-=|1Vd|—V6-1.

727+1072

原式=行+2x5x6(五)2

=7(5+V2)2=7(5+V2)2=5+VI

请按照上面的方法化简下列各式：

(1).75-276;(2).79+475.

五.点击中考

(21).(2005上海).计算：(72+1)(72-1);

(22).(2008南通).计算：(3V18+|V50-4^1)-732.

16.3(3)分母有理化

知识梳理

1.理解有理化因式的概念，掌握二次根式加减乘除及混合运算.

2.两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这

两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.

3.2J3的有理化因式为五；Ja-2的有理化因式为Ja—2；

a4x+b-Jy的有理化因式为a&+b-Jy.

二.例题精讲

例L把下列各式分母有理化：

)，二」―

(1)一」「；⑵4.：加(3

V2—V3

五+百及+百=一6一6

解答：(1)原式=(向2_(扬27"

(V2-V3)(V2+V3)

(2)原式二1一眄6(472-710)_126-3M

(472+710)(472-710)22―n

(a-b)(&+4b)=("份(&+〃)=&+%

原式=

(y/a—>Jb)(yJa+4b)a-h

或原式=+

\JU—yJb

说明：形如。4±b6的有理化因式往往选取。正不bQ,利用平方差公式

(a4x+b-y/y)(a4x-b-Jy)-cTx-b'y.

41

例2.计算：+^_.

V5V5-1

原式考+常乐1

解答:+-.

542〜04

说明:解此类问题可以先通分，也可以先进行分母有理化，然后在计算.因此在解题时

要根据实际情况选用方法.

三.达标训练

1.填空题

⑴..(2).y[Z+b的有理化因式是.

V3-1

(3).&+%的有理化因式是.(4).V3-V2的倒数是.

13-2上

⑸.分母有理化---7==______________；------7==_________-

1+V23+2V3

(6).-3—+V18-4J-=.(7).方程(4一J7)x=9的解是__________.

V2-1V2

(8).(V3-l)x>2的解是.

3.简答题

(9)(4A/48-3V27)-V3；(10)(而-4岳)x(一两;

、146(12)(V3+3V2)2；

（11）五一后工；

2c+3亚m+n/、

(15)(16)—f=——-j=(in/7)；

2y[a—3y[hNn17rl

也x-y/~5y=V3

(17)V5(x—y/~5)=V3(x+V3)；(18)<

V5x-y[3y=V5

四.拓展题

(19)x、y分别为8—JTT的整数部分和小数部分，求29一/的值.

,._,VTo_3.Vw+3-Vub/j1土

(20)已知ci=]—，b=-7=,求[——：的值.

710+3Vio—3L+:+11

16.3（4）混合运算

知识梳理

1.理解分母有理化的意义；

2.掌握对分母仅是一个二次根式的代数式的分母有理化;

3.掌握二次根式的加减乘除混合运算.

二.例题精解

例1.计算：(1).(2)。一；(3)中

VCI-Vh—2Ctyjh-hyjCl

解析：熟悉有理化因式并熟练运用因式分解.常见的有理化因式有人与八;

(y/a-&)与(日+y[b).

解答：(1)原式，(pM]叵厂=&+&

或者a-b_(Ja)2-(-Jb)2_r-[7

坡11-尸尸'一尸~r=-Vci+7b.

yja-y/hyja-yjh

石+2

（2）原式==V3+2；

(V3-2)(>/3+2)

场诋2_函)2](-Ja+y/b)(-Ja—yjh)

⑶原式=—yfa+y[b.

y/ab(-Ja—y/b)Vo_yfb

说明：例1（1）可以用分母有理化，也可以把a-b化成（、5）2-（、历了再因式分解约分,

例1（3）也是利用同样的方法，特别注意利用公式4=（、5）2伍＞0）.

例2.计算：（1）（而——丝=）+叵心；（2）解方程：2不X-6G=36X.

a-}-yjaba-b

/、,a^Jah+abah、\[ab-b

解答：⑴原式=(------产--------尸)+

a+y/aha+y/aha-b

a4abab-ab+8)(6-a\[ab\[a+\[b_

--------/=---x

a+daby/b(\[a-\/b)五(五+而XU="；

⑵2底-6百=3氐，3氐-2氐=-6百，x=--V15

说明：在做例2⑴时，特别注意尽量先化简，同时会把。+旅化成(后产+奴,

能提出公因式J石，在例2(2)解方程过程中，注意二次根式的分母有理化的应用.

三.达标训练

1.填空题

,但24a—h

⑶.N计算：行正=——万=——'不存=

22

、tg、m-n3x—3Ja+1+Jt—1

(4).计算中心：[-----

\m+nyjx—1Ja+1—Ja=1

⑸・计算:空留a+b-2y[ab

y/~Q-y[b

2.选择题

(6).后一1的有理化因式是-----------------------------------------()

(A)#;(5).1-V5；(Q.1+V5；(D)#-1.

(7).下列各式中，不是互为有理化因式的是一一()

(A)—-1与Ja—1；(B).y/5~与->/5—V2；

(C).Va一6与一yfci+4b；(D)aG+b6与aG-by[y.

(8).下列各式中，分母有理化错误的是--------------------------------(

1

(A).-r-F=V3-V2；

V3+V2

----=y1~5-2.

<5+2

3.简答题

(9).计算：V3-V2X—^-(724+712).

3-V2

1236

(10).计算:

5-V13V13-V104+V10

(11).当x=0'时，求代数式+的值.

y/x+1<X

(12).解不等式：VTi(y-1)>2s/3(y+1)-373.

(13).已知：x=_」7=_/_广,求(x+2)(y+2)的值.

V5+V3V5-V3

四.拓展提高

(14).比较店+后与后+疗的大小.

五.点击中考

X+1/1+工2

(15).(2009.辽宁)先化简，再求值:——.(1一一；一)，其中x=V2+1.

x2x

二次根式章节训练

选择题（每题2分，共12分）

1.已知：x=—j=-,y=2+A/3,那么x与y的关系是....................（）

A/3—2

A.x=y；B.x=-y；C.x——；D.x----.

yy

2.J/，+Y_a）等于...............................................（）

A.0；B.2。；C.—2a；D.-2.

3.下列二次根式中最简二次根式为.................................（）

A.y]9x；B.J，；C.yj3c12b；D.Xx?—3.

4.下列说法中正确的是...............................................（）

A.最简根式一定是同类根式；B.任何两个根式都可以化为同类二次根式；

C.Jd+V不是最简二次根式；D.任何根式都可以化为最简根式.

5.下列式子中一定成立的是...........................................（）

A.^224-32=2+3=5；B.Nab=y[a-y[b；

C.J(-5)(-6)=y/~5xV6；D.J(-2)(-3)=J-2xJ-3.

6.下列各取值范围内的数能使有意义的是..................（）

A.x>1；B.x>8；C.x<8；D.x<1.

二.填空题（每题2分，共24分）

7.当x时二次根式用受有意义.8.后一1的倒数是

9.化简：|,（3aV2^）2=.

2

10.分母有理化：』=___________1_1.(VX+77)(VX-77)=

3V5

12.V50—Vs—

13.比较大小：4后_35,-3A/2_-2V3.

14.后-2后的有理化因式为.

15.当x_______时，二次根式阜=有意义.

V5-x

16.最简二次根式，2加一1与J34—3〃？是同类二次根式,则m=

17.当x的取值范围是______—时，二次根式J3—2x在实数范围内有意义.

18.如果(百一2)x<l,则X_____________・

三.计算题(每小题5分，共40分)

19.(1)2VO5+V18--—；(2)3A/18X—yfi-5-2,y/~6;

6

J(4)

(3)V3+V12-3V18+7V2海-2aB8品

八,、3V2+V3⑵闺-(-4

20.(1)—----；

2V3+V2258

2

(3)(Vx+y[y)2—(y/-x—Jy)；(4)(64-2V3(3y/2—1).

四.解答题（每小题8分，共24分）

21.计算：.（4一6）+（&+后）一.+/?-新）wb）.

22.化简：x+Vx~—4x+4.(x<2).

2x+y[xy+3y

己知x-2j^-l5y=0,求

23.的值(x>0fy>0).

x+^xy-y

24.己知4-血的整数部分为a,小数部分为b.

（1）求a,b的值；（2）计算：aT+bT的值.

ylX2—4+4—X2+1

25.已知实数满足》=二一”,求2x—3y的值.

x-2

26.已知实数a满足|2010-a|+Ja-2011=a,求代数式。—201（）2的值

V2+Vs

27.化简:

V10+V14+V15+V21

17.1一元二次方程的概念

知识梳理

1.一元二次方程的概念：

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：

任何一个关于x的一元二次方程都可以化成a?+hx+c=O(a,b,c是常数，aH0)的

形式，这种形式叫做一元二次方程的一般式.其中a/,bx,c分别叫做二次项、一次

项和常数项，。力叫做二次项系数和一次项系数.

二.例题精讲

例题1.下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？

2

(1)2x~+3~=9；(2)(x—30)(x+3)=x~—x；(3)----2=0

X2

(4)3x-2y—2；(5)3x?+2y+2=2y.

解析：判别一个方程是不是一元二次方程，首先要看它是不是整式方程，如果是整式方

程，那么可把方程进行整理，若得到的方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是

2次，则原方程就是一个二次方程.本题中(2)整理后得到的方程式不是一元二次方程;

(5)整理后得到的方程式是一元二次方程.

解答：只有(1)和(5)是一元二次方程，其他的都不是一元二次方程.

例2.将下列关于x的一元二次方程化成一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系

数及常数项.

(1)6x?=3x+2；(2)x?—a(3x—2a+b)—b~=0.

解析：一元二次方程的一般形式是：等号左边是关于未知数的降塞排列，右边是0,方

程(2)中的a,6均为常数.

解答：(1)移项，得6万2-3%一2=0,二次项系数是6,一次项系数是-3,常数项是-2.

(2)去括号，合并同类项，得*—3ax+2a2—ab—/=0,二次项系数是1,一

次项系数是一3a,常数项是2a2一外―

三.达标训练

1.填空题

(1).一元二次方程的一般形式是..

(2).在下列方程中：3X2=2X,2x-3xy=5yJ。，ax、3x+l=0(a是常数)，=4,是一元

二次方程的是一.

2

(3).当机时,方程(加2-1)X一(〃?+i)x+3=0是关于x的一元二次方程.

(4).把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数：

①.2X2+1=5X;

一一般式：_______________

二次项为,一次项系数为,常数项.

②.2x(x+l)=3x-3

一般式：

二次项为,一次项系数为,常数项.

2.选择

(5).一元二次方程(x+3»+2(x+3)+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()

A.1,2,4；B.1,2,10；C.1,8,19；D.以上都不是.

四.拓展提高

(6).如何构造一个一元二次方程，使它的两个根分别是5,-8?

(7).写出一个一元二次方程，使这个方程的一个根是-1,它的二次项系数是3.

五.点击中考

(8).(2007,兰州)下列方程中是一元二次方程的是-------------------()

A.2x+l=0；B.y2+x=l；C.x3+l=0；D.—+x2=1.

x

(9).(2007,武汉)如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是一-()

A.2；B.-2；C.4；D.-4.

17.2(1)一元二次方程的解法一一开平方法

一.知识梳理

如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数的常数，那

么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合(x+h)2=k(k20)的形式求解.

(1)直接开平方法的依据是平方根的定义及其性质，直接开平方法使用于解：①形如

x2=k(k20)的方程；②形如(x+h)2=k(k20)的一元二次方程.根据平方根的定义可知，

x+h是k的平方根，当k20时，x+h=±4,x=-h±6,当k〈0时方程没有实数根.

(2)对于一般形式下的一元二次方程就不能直接应用开平方法求解.

二.例题精讲

例1.用直接开平法求下列方程：(1h2-9=0；(2)4(X-2)2-36=0

解析：用直接开平方法解方程，可先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边

是非负数的常数形式，在根据平方根的定义求解.

解答：⑴移项,得娱9,开平方，得*=±3,所以xi=3,xz=-3.

(2)移项,得4(x-2)J36,(x-2)J9,得X-2=±3,所以XI=5,X2=-1.

三达标训练

1.填空题

⑴.若方程(X-1)2+6=0有解，则b的取值范围是.

2.选择题

(2).要使一元二次方程ax?+b=0有实数根的条件是-------------------()

A.a0,6>0；B.。。0,6<0；

C.且。、b异号或b=0；D.a0,b<0.

(3).下列方程能用开平方法解的是-----------------------------------()

A.(x+3)~+4=0；B.x~+l=O；

C.=8；D.(x++3=0.

(4).方程、2+c=0的根是--()

A.无解;B.0；C.±J—c；D.±C7或无解.

3.用开平方法解下列方程

(5)4x2-16=0；(6)25y2—64=0；

(7)(1+X)2-16=0；(8)5(X-3)2=0；

(9)(4X-3)2=9；(10)16(x+2)=81.

四.点击中考

（11）.（2007,无锡）一元二次方程（xT）J2的解是

17.2(2)一元二次方程的解法——因式分解法

知识梳理

1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解.

2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这连个因式中至少有一个等

于零，将一元二次方程分解成A-B=0,则A=0或B=0.

3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：

(1)将方程右边化为零：

(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；

(3)令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

(4)分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解.

二.例题精讲

例1.用因式分解法解下列方程：

(1)(x-3)(x-5)=0；(2)13x=x、36；(3)8x(x+5)-3(x+5)=0；(4)9(x+l)-(2x+l)=0.

解答：(l)x-3=0或x+5=0,得x=3或x=-5；

(2)X2-13X+36=0,(X-4)(X-9)=0,即x-4=0或x-9=0,得x=4或x=9；

(3)方程左边提取公因式(x+5),得(x+5)(8x+3)=0,即x+5=0,8x+3=0,得x=-5或x=-3/8；

(4)方程左边利用平方差公式分解因式，得

[3(x+1)]2-(2X+1)2=0,[3(x+l)+(2x+l)[3(x+1)-(2x+l)]=0,

即3(x+l)+(2x+l)=0或3(x+D-(2x+l)=0,

分别解这两个一元一次方程，得x=-4/5或x=-2.

三达标训练

1.用因式分解法解下列方程：

(Dx(xT)=0；(2)x-3x+2=0；

(3)x+2x-48=0；⑷x(x-4)-5(x-4)=0；

⑸4(X-1)2-9(X-2)2=0；(6)2X2-3X-5=0.

四.拓展提演)

(7).如果(x'+y>)(x2+yJ-l)-12=0,求x'+y'的值.

(8).aABC的三边a、b、c的长度是r-7*+6=0的解，求aABC的周长.

17.2（3）一元二次方程的解法——配方法

知识梳理

1.“配方”的意义.

2.配方法解方程的步骤.

二.例题精讲

例L方程f+8x=0可用因式分解法，那么能用开平方法解方程吗？

解析：观察方程的左边/+8x,它与（x+4）2的展开式相差一个常数16,如果在方程

两边同时加上16,那么方程f+8x=（）可化成（X+4）2=16,再利用开平方法，得

x+4=4或x+4=-4,所以原方程根为弟=0,%2=—8.

解答：/+8X+16=0+16,（X+4）2=16,X+4=±4,所以X=0或X=—8.

/.原方程的根为=0,X2=-8.

说明：配方法解一元二次方程狈2+bx+c=0（。H0）的一般步骤：

（1）先把二次项系数化为1;方程两边同除以二次项系数；

（2）移项：把常数项移到方程右边；

（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x+〃?）2=〃的形式;

（4）当〃）0时，用直接开平方的方法解变形后的方程.

例2.用配方法解下列方程：（1）X2-4X=1；（2）3f-6x-8=0.

解析：方程（1）的右边为常数，左边是二次项和一次项，且二次项系数为1,如果左边

添上“一次项系数一半的平方”这一项，当然方程的右边必须同时添上这一项，这是应

用等式的性质，保持方程的同解性，这样左边就是含X的完会平方式，此时右边只要是

非负常数，这样的“二项式”就用开平方法来解.方程（2）中，先把常数项右移，再

把二次项系数化为1,就可按解（1）的步骤方法来解.

解答：（1）在原方程两边同时加上4,得X2-4X+4=5,

由（*-2）2=5得x-2=后或％_2=_石，

解得x=2+yf5或2-75,

所以原方程的根是，%,=2+75,x2=2-75.

Q

(2)把常数项右移，两边同时除以3,得X2-2X=-,

3

Q11

由/-2x+l=?+l得(x-l)2=w，

两边开平方得x—1=画或x-l=-叵

33

所以原方程的根是

三.达标训练

1.填空

(1).x-+lx+()=()2；

⑵.--3x+