《3年高考-2年模拟-1年原创》极品数学专题系列之三-数列（数学学案原创组）（教师版）

《3年高考・2年模拟-1年原创》极品数学专题系列

专题三数列(教师版)

(数学学案原创组)

【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布

数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得

它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密

的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有

极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、

解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2009

年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%,大多为一

道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n

项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答

题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.

【考点pk］名师考点透析

考点一、数列的概念及表示方法

【名师点睛】

(1)定义：按照•定顺序排列着的••列数.

(2)表示方法：列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.

(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系

可分为单调数列、摆动数列和常数列.

S.(n=1)

(4)a.与的关系：a,,=；

电-5,1(”22)

5.求数列的通项公式的主要方法有(1)由数列的前几项归纳出•个通项公式，关键是

善于观察.

(2)利用an与的关系,不要忘记验证ai能否与n22时an的式子统一;(3)山递推

公式求通项公式，常化归为等差等比数列,或用利用迭加a„-a„.,=f(n)＞迭乘an/a„-,=f(n),迭

代等方法.

6处理方法：.用函数的观点处理数列问题

【试题演练】

1.数列1,3,5,7的一个通项公式是。

【提示或答案】数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减1,所以通项公式为%=2〃-1.

1Q

2.已知数列｛%｝满足%=1,。，=」一+1(〃22),则%=一-一.

5

Q

【提示或答案12考察数列的表示方法，了解数列的递推式也是•种表示方法，并能由递

推式能写出数列的前几项.

3.已知数列｛。“｝的前〃项和为5„,且S“=3n2+n,则数列的通项公式%=.

【提示或答案】。“=6〃-2.提示:当“22时，勺=S“-S.T=6”—2,当〃=1

时，q=S1=4也适合,所以=6〃-2.

4.已知an=-/J?+25〃（〃eN+），贝U数列｛“”｝的最大项是=

【提示或答案】第12项或13项.提示：an是关于〃的二次函数.

考点二、等差数列的概念及性质

【名师点睛】

（1）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列.

（2）递推公式：an+l-an=d,an+i=an*q,q丰0,neN*.

n

（3）通项公式：an=+（n—1）J,an=a｛q~',neN*.

（4）性质①单调性：d20时为递增数列，dWO时为递减数列，4=0时为常数

列.②若"2+〃=p+q,则a“,+aa=%,+%（加，n,p,N'）.特别地，当加+”=2p

时，有am+an=2ap③an-am=（n-m）d（m,neN"）.④

Sk,S2k-Sk,S32-邑改,…成等差数列;

等差数列是个特殊的数列，对等差数列的概念、通项公式、性质、前n项和公式的考

察始终没有放松。一方面考查知识的掌握，另一方面考察灵活运用数列的有关知识分析问题、

解决问题的能力，对这部分的考察坚持小题考性质，大题考能力的思想，大题的难度以中档

题为主，估计这种考查方式在今后不会有大的变化.已知五个元素外，斯，〃，d,5“中的任

意三个，便可求出其余两个.证明数列｛为｝是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证

明斯一%-1（心2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2%=%-1+。肝1（心2）

【试题演练】

1已知｛4｝是等差数列，%+。2=4,%+%=28,则该数列前10项和S10等于（）

A.64B.100C.110D.120

24+d=4

【提示或答案】8.提示：设数列的公差为d,则<'得q=l,d=2.故

2q+131=28

]0x9

S10=IO/H--—d=100

2.等翻西!]｛%｝的前10项的和a。=100,前100项的和a。。=10,求前110项的和加心

解法一：设｛4“｝的首项为q,公差4,则

,11

10a,+-xl0x9J=100d=----

2解得：，50

.-.siin=110a.+ixll0xl09J=-110

109911012

100a,+|xl00x99t/=10a.=----

100

解法二：｛%｝为等差数列，故可设S“=An1+Bn,

1004+105=100

则《解得U0A+3=—l

100004+1005=10

・・.Su。=1IO?4+1108=110(11%+5)=-110

(a“+aioo)x9O

解法二：$10()—S10=-90+a]。。=—2

2

110(4]+4]10)_(4]]+〃100)X11。_|0

,・•0s110

22

【点评】解法一转化为两个基本量，再求其它问题是重要的方法，也是解决这类问题的通法

通解；解法二利用了前n项和公式的函数式特征.解法三较为灵活，运用了整体代换的思想

方法。

3设等差数列｛%｝的首项q及公差d都是整数，前〃项和为S”，(I)若a”=0,A4=98,

求数列的通项公式；(U)若q26,a,,>0,514<77,求所有可能的数列｛%｝的通项

公式.

解：(1)由儿=98得2q+13d=14,又知=%+10d=0,故解得d=-2.%=20.因

此｛%｝的通项公式是=22-2n,n=1,2,3,….

$$77,-2^+13^<11,2a,+13J<0①

(2)由・a”>0,得，q+10d>0,即<—2。1—204>0②

%>6.a}>6.-2^<-12③

由①+②得一7d<11,即d>-—.由①+③得13dW—1,即d<一一.于是

713

~—<d<一一.又deZ,故d=T.代入①②得10<4W12.又qeZ,故

71311

%=11或%=12.所以，所有可能的数列｛«„｝的通项公式是

an—12—〃和a”=13—=1,2,3….

/S“为数歹|」年的前〃项和，且满足4=1,",=1(〃22).证明数列｛」-｝成等

&bd-S：')S.

差数列，并求数列也,｝的通项公式.

解：由已知一次「=1(〃22),又S“=4+A+…+2，所以,2(S“-S"T)

即2(STi)=],所以」——L=L,又6s1,所以数列是首项为1,公

S.5„_,2

差为」的等差数列，由上可知—=—即sn=/1八所以当〃22时，

2S„2"(”+1)

b“=S“_S“_\=--

〃(n+1)

1n=1

因此或=2

n>2

n(n+1)

【点评】本题考察等差数列的证明，证明等差数列的基本方法是利用定义，证明=

常数(n22)；或利用等差中项，即证明2。“=4川+。,1(〃22)

5.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，已知%=12,Sl2>0,S13<0(I)求公差d的取

值范围；

(11)指出岳，邑，…，S|2,中哪一个值最大，并说明理由

\,12x11,.

12qH---------d>0,

2[12a+666?>0

13x1224

(1)解：根据题意，有《13%+-------d<0,整理得<13q+78d<0解得一一<d<-3.

27

(2)解法一：因为d<0,・,・4>。2>。3>…>。12>。13>….而

13(6+%3)

=13%<0，a<0.

13—27

又Si2=I21"+"i2)=6(q+%2)=6(4+。7)>°，>0.所以数列的前6项和$6最

大.

=+(12-1'4)〃.考察函数y=yx2+^12--1jjx,

解法二：•.•q=12-2d,.,.S“

vJ<0,--=x=--—H'J',y的取值有最大值.又•••--<d<-3,

2a2d2d7

所以6<3—U<!2.N+，所以当〃=6时S“最大，即数列的前6项和最大.

2d2+"

【点评】本题给出的两种解法，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.

考点三、等比数列的概念及性质

【名师点睛】

(1)定义：从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做

等比数列.

(2)递推公式：an+i-an=d,a„+1=an*q,q丰0,neN*.

n

(3)通项公式：an=q+(〃一l)d,an=axq~\〃£N'.

a,<0,\a,>0\a,<0,\a,>0

(4)性质①单调性：当《।或《।时，为递增数列；当《।，或《।

0<q<l[q>l|_4>1，[0<q<l

时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当g=l时为常数列.②若〃z+/i=p+4，则

1

n,p,q&N,)特另1」地若m+n=2p贝Uam*an=ap③

"=q"-m(jn,neN\q#0).④S«,S2k-Sk,S3.—S?……，当qW—1时为等比数歹U;

当q=-l时，若k为偶数,不是等比数列.若女为奇数是公比为-1的等比数列.

等比数列的定义、判断、通项公式和前“项和公式的探求，等比数列的性质的应用是历

年的必考内容，考察的形式类似于等差数列，考察题型既有基本题，也有与等差数列、函数、

方程、解析几何等知识有关的综合题。估计在2010年高考中，仍是重点.五个元素a1,a”

n,q,S“中知三，可求另两个.次数较高时可除或换元；证明数列｛斯｝是等比数列的两种基本

方法是：(1)利用定义，证明&(〃22)为常数;(2)利用等比中项,即证明•%+]

an-\

(〃22).运用等比数列求和公式时，需对g=l和进行讨论.

【试题演练】

1在等比数列｛4“｝中，。]=1,%0=3,则4a5a6%。8。9=()-

(A)81(B)27^27(C)G(D)243

【提示或答案】A.提示：在等比数列中，•.•1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,由等比

/\4

数列的性质可得。回0=a2a9=a3a8=。4a7=a5a6从而a2a3a4a5a6a7a49=(q%o)=81

2.等比数列｛4｝中，S“是其前〃项和，若S1O=10,S2O=30,求S3。.

%(i-

』-----<-=10

i-q

解法一：设公比为q,:5。=10,S20=30H20,qW1.于是，

%(>/)猛

---------=30

."q

0

两式作商]+qi0=3,/.<7'=2./.Si0=—^—"]=—_£)(]+qi°+/0)

l020

=510(l+7+^)=70S30=70.

解法二：•••$0,S?。-5。，邑0—520成等比数列，•••(S20-SH))2=S〃(S30-S20),又因为

510=10,520=30,530=70.

【点评】解法一将问题转化为求数列的基本量，利用方程思想思想求解，是通法通解，要注

意过程中蕴含的运算技巧，解法二运用等比数列的性质，大大简化了运算过程.

3.已知正项数列｛4｝，其前〃项和S“满足10S“+5%+6且6,a3,a”成等比数列，

求数列｛%｝的通项凡

解：,.T0S)=a；+5勺+6,①代〃=1得10%=a：+54+6,故仰=2或。尸3

又10S,T=<i+5a„.l+6(n>2)(D①一②得10%=@-。3)+6(。,-%),

即(6+%)(%-%-1)=0：%+。“-产°，=5(n>2)

当％=3时，％=13，《5=73”I，的，”15不成等比数列％。3;

当q=2时，a?=12,。|5=72,有ciy—ci^ci^,••—2,••a“—5/1—3

【点评】本题在解题过程中，以S“与凡的关系为解题的切入点，将S“与凡的递推关系转

化为。,与的递推关系，然后再来求解。很多问题通过判断或构造转化为特殊数列(等

比或等差数列)而得以求解。

n

4设数列｛4｝的前〃项和为5“.已知％=a,a,I+1=S„+3\neN*.(I)设a=Sn-3,

求数列｛2｝的通项公式；(II)若。,用2怎，〃eN*,求a的取值范围.

解：(I)依题意，Sn+i-Sn=an+i=Sn+3",即S“M=2S“+3”,由此得

+1

Sn+1-3"=2(Sn-3").

因此，所求通项公式为b“=S“-3"=(a—3)2"T,〃eN*.①

(II)由①知S“=3"+(a—3)2"T,〃eN*,于是，当〃22时，

),-12nl/,-2

an=Sn-S,-=3"+(a—3)x2^-3-(a-3)xT-=2x3-+(a-3)2,

a3怎=4x3"T+(a—3)2"-2=2)212(|)+a-3,

当〃?2时:an+l<^12+a-320=a2-9.

又“2=1+3>%.综上，所求的a的取值范围是［-9,+8).

5.已知数列｛册｝为等差数列，公差dWO,｛%｝的部分项组成下列数列：ak>,ak2,

aki,恰为等比数列，其中心=1,e=5,自=17,求舟+公+左3H---

解：设｛《｝的首项为a”；佝、a2ak｝成等比数列，(幻+44)2=句(a)+16J).

Cli...

L9n

得3=2d,q=—=3.\akn=a｝+(攵〃-l)d,又=〃】•3〃一，.\kn=2•3~—1.

%

i_

.•/1+%2+…+%"=2(1+3+…+3"i)~n=2X—...—n=3>n—n—\.

【点评】本题运用等差(比)数列的定义分别求得知.，然后列方程求得公.运用等差(比)

数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键，转出时要注意：是等差数列中的第kn

项，而是等比数列中的第"项.

考点四、求数列的通项

【名师点睛】

在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的

方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.2、公式法，若已知数列的前〃项和

与凡的关系，求数列｛%｝的通项a“可用公式勺°_求解。3、由

、S”-S“_]....〃之2

递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转

化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。4、待定系数

法(构造法)，求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观

察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)

来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中

的常数就是一种重要的转化方法。

【试题演练】

1、已知数列｛4｝的前〃项和S“满足S“=2%+(—.求数列｛凡｝的通项公式。

解：由弓=S|=2%-Inq=1当〃N2时，有*=S“—S,i=2(%—%_i)+2x(-1)",

,,_|n-2

«„=2%+2x(-l),%_1=2aL2+2x(-l),.,a2=2a,-2.

；4=2-4+2ix(—1)+2~x(-l)2+••+2x(—I)'-

=2'-'+(T"[H)N+(<)'i2+-+(1)]

=2~(T)"止产

=|[2(1-2+(-1/-'].

经验证勾=1也满足上式，所以％=([2"-2+(一1)"一口

点评：利用公式%=<”求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时

一定要合并.

2、已知数列｛〃〃｝满足为=,,—,求

2n~+n

1111

解：由条件知：*—，，1+〃-心+1厂〃〃+1

分别令〃=1,2,3,……,（〃—1），代入上式得（〃—1）个等式累加之,

即

（。2一。1）+（。3_。2）+（。4_〃3）+......+（。“一6-1）

=（1--）+（----）+（----）+....+（--------）

22334n-\n

1111,131

所以a”_Q[=1—va.=—,/.a=—+1—=----

n2n2n2n

点评：对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或

等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。递推公式为怎M=%+/（〃）,

转化为%+i=/（〃），利用累加法（逐差相加法）求解。递推公式为见用=/（"）《,，转

化为也=/（〃），利用累乘法（逐商相乘法）求解。递推式：an+l=+/（〃）只需构造数

%

列也,｝,消去了（〃）带来的差异.递推公式为%+|=p%+q（其中p,q均为常数，

（。4（2—1）。0）），转化为：a„+\-t=P（an-t）,其中，=一幺一，再利用换元法转化为等

1一2

fs......（〃=1）

比数列求解。递推公式为S“与明的关系式。（或S,,=/（4,）），利用凡=《I

[S“-S,I（〃22）

进行求解。

3、已知数列｛4｝前n项和S“=4一%-白.（1）求明+1与。“的关系；（2）求通项公式明.

解：（1）由S.=4—%—，得：S“M=4——击于是

S”+1-S"=（a“-%+]）+-^77）所以a“+i=%-%+i+=>all+｝=^an+~.

（2）两边同乘以得：2"+%用=2"*+2由/=S1=4—为一一二=%=1.于是数列

｛2"%｝是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2"%=2+2（〃—1）=2〃n%=号

4、已知数列｛〃〃｝满足q=1,且。“+]=3。〃+2,求明.

解：设a〃+]+，=3（。“，则。〃+]=3a〃+2/=>f=1,。“+[+1=3（a〃+l）n｛%+1｝是

以（q+1）为首项，以3为公比的等比数列

H-1

n+1=（a｝+1）-3〃一二2,3〃一=>%=2•3-1

点评：求递推式形如。角=pa〃+q（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法

构造新数列明+i+—幺一=p（a“+'一）来求得，也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也

p-l1-P

是近年高考考得很多的一种题型.

5、数列｛4“｝中，%=l,a223az2=2an+｝+a„,求数列［“｝的通项公式。

21

解：由%“+2=2%+|+%得限+§。“，设%+2一3,+1=以%+1一她J

比较一系数得k+//==2,-k/i=士1，解得k=1,力=一1一或女=一一1,力=1

3333

若取氏=1,力=一；，则有%+2-％=-1（«„+1-«„）

｛a„+1-an］是以一;为公比，以出一为=2-1=1为首项的等比数列二

由逐差法可得a“=(a„—an_})+—an_2)H----一。］)+%

点评：*+2=P—+qa„型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列也“一

设即+2一履"+1=h（a»+i-ka.）,比较系数得力+Z=p,-hk=q,可解得力,女。

考点五、求数列的和

数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现

了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点。估计在以后的高考中不会

有太大的改变。数列求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，

数列求和的基本方法：

1.基本公式法：（1）等差数列求和公式：S“=〃（q+4）=〃q+〃（；T）d（2）等比数列

n%,q-1

求和公式：—力⑶C：+C：+C：+…+C：=2"•

-\-q~\-q，（1

2.错位相消法：一般适应于数列｛。/“｝的前〃向求和，其中｛4｝成等差数列，｛2｝成等比

数列。

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项,

只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：（1）若｛4｝是公差为d的等差数列，则

1_1f11］

%+J'

11O______11_

(2/:-l)(2n+l)2Un-l2n+l)⑶Nn+k+Gk

(4)c：i=M「C；(5)小〃!=5+1)!—〃!.

5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

【试题演练】

1

-----+-----+…+---------

=n(n

1、1x22x34-1)=

解：设数列的通项为"，则。=---=-———

〃("+1)nn+1

+.....+

n〃+l

〃+1〃+1

【点评】本题用的是裂项相消，这是高考中经常考察的方法，即把一个数列的通项公式分成

两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.

2、.求数列1+1,—I-4,--+7,--4-10,.......,——+(3〃—2),.......的前〃项和

aaaan~

占)+口+

.-.Sn=(l+-+4+……+4+7+……+(3〃—2)]

解：acTa

当a=l时，S“=〃+(l+3〃2)〃=3.2+〃

22

1--

当时，

“1^+0132-^=^^+(3-1>

n

"112a"-a-'2

a

【点评】当数列的通项由两部分组成，每一部分都是易于求和的特殊数列，可以用拆项求和

的方法。注意在应用等比数列的求和公式时，要对公比分类讨论。

3、求和W=C：+4C：+7C；+10C；+…+(3〃+1)C：

解：：W=+4C：+7CJ+-+(3n-2)C；；-'+(3n+1)C：①，

=(3n+1)C；；+(3n-2)。：一+(3n-5)C；；-2+…+4C：+C：

W=(3〃+1)C：+(3n-2)C：+(3n-5)C；；~2+…+4C：+C：②，

①+②得

2W=(3n+2)(C：+C：+C；+…+C：)=(3〃+2)x2",J.W=(3〃+2)x2"-'.

【点评】选择数列求和的方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求

和方法，并作出相应的变换.题目中4=3〃+1,又C；•.而运用反序求和方法是

比较好的想法

4、“数列｛4｝的前〃项和为5“，％=1,《用=25"(〃eN*).(I)求数列｛%｝的通项对；

(II)求数列｛〃4｝的前〃项和

解：(1)an+｝=2S,„:.S,M=2Sn,.-.3±L=3;£=q=1数列｛SJ是首项为1,公比

s.，

为3的等比数列：S“=3"T("eN*)当n>2时，

1〃=1

a“=2S,i=23L2(〃22),」.a“={23：T

(2),/Tn=a｝+2a2+34++〃可，当〃=1时，7]=1；

当〃22时，7；=1+4・3°+6?++2”-3"2,37；=3+4-3'+6-32++2«3,'-',

-2-,n-1

-2Tn=-2+4+2(3)+32++3")-In-3"=-1+(1-2n)3

,又当〃=1时，上式也成立。

”,=；+(〃-”(〃€N*)

【点评】本题的求和主要考察了错位相减的方法，这种方法的实质是转化为等比数列求和，

这是高考命题的热点，在复习中务必引起充分的重视。

考点六、数列综合应用

【名师点睛】

1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、

增长率等问题也常归结为数列建模问题.

2.将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列；(2)分清

是求知还是求S,„特别要准确地确定项数n.

3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.

数列的综合问题一类是等差、等比数列的综合问题，另一类是与其他章节以及内容结合

的综合问题，因为数列、不等式、解析几何是新课标高考的重点内容，将其密切结合在一起

命制综合题是历年高考的热点和重点。数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及

以函数为背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题

者的首选。

【试题演练】

1、已知等比数列｛4｝的首项为q=；,公比q满足q〉0且qwl。又已知%,5%，9%成

等差数列。⑴求数列｛4｝的通项⑵令勿=地3=求证：对于任意〃eN*,都有

—..+-L_Y1

2他2她她+1

(1)日羊：:2.5。3=q+9。510。闯2=q+9%/1・9q"-log?+1=0

L1,

•/q>0且qW1'夕=§**'an=a\<t，~二3一”

i

a,>l1_1_1_1

(2)证明：Vbn=log3'=log33=n

b/〃+1〃(〃+l)n〃+l

1_11.11111,1

------1F...d=1------1---------F,••4=1

b{b2b2b3-----白瓦+1223nn+1--------〃+l

2她b2b3bnbn+x

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第(2)问，采

用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。

2、已知数列｛%｝的前〃项和为S”,且S,=2-2(〃=1,2,3,…),数列也｝中,瓦=1,

点P(%,%)在直线x—y+2=0上.(1)求数列｛2｝,也,｝的通项bnx(2)若

7；为数列也,｝的前〃项和，证明：当〃22时，2S”>T“+3〃.

(I)解:由已知S“=2%-2,S,,T=2%-2(〃22),又S"-5"T=%("22)所以，

%=2%-2a“t，

所以，巴」=2(,?z2),即数列｛“”｝是等比数列.因为q=S|,.[q=2〃]-2吗=2.an=2"

a„-i

因为点P(b”,b““)在直线x-y+2=0上，所以况-*+2=0,所以也“一悦=2,即数列｛bj是

等差数列.又，bFl,所以£=2〃-1

(II)证明：由已知S=亚22=2向-2,7=々1+2”_1)=/即证明不等式

"1-2"2

2n+2>n2+3n+4(n>2),

(1)当n=2时，2』6,n2+3n+4=14,不等成立.(2)假设当n=k时，不等式成立，即

2">/+31<+4成立,那么，当『1<+1时，2*">21+6&+8,

以下只须证明2后2+6k+8*(k+1)2+3伏+1)+4成立，即只须证明1<2+1<20成立，因为当k

22时，k'k》。成立，所以当n=k+l时，，不等式2"好>/+3〃+4成立综合(1)(2),原

不等式成立.

【点评】本题综合考察数列中已知前〃项和求通项，等差、等比数列的判断和证明，以及利

用数学归纳法证明相关问题的方法和步骤o

3、在数列|七|,也中，田=2,"=4,且4,bn,。向成等差数列，bn,an+x,2+1成等比

数列(〃eN*)(I)求°2,的，如及岳，岳，b4,由此猜测|凡|,也,|的通项公式，并证

明你的结论；

(II)证明：—1—+—1—+…+―1—<—.

6+2a2+h2an+bn12

解：(I)由条件得2b“=a“+a“+p用由此可得

4=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,Z?4=25.

猜测%=〃(〃+1),4=(〃+l)2.用数学归纳法证明：①当〃=1时，由上可得结论成立.

2

②假设当〃=&时、结论成立，即4=攵(左+1>bk=(A;+1),那么当片Z+1时，

2=%l=(k+2)2.所以当

ak+l=2bk-ak=2(k+1)-k(k+1)=(/:+1)(1+2),bk+l

b

k

”=k+l时，结论也成立.由①②，可知a“=〃(〃+l),对一切正整数都成立.

(II)---时，由(I)知a“+b=(〃+1)(2〃+1)>2(〃+1)〃.

612n

11111rli1、

故—+—+…+—<-+--+—+…+—

%+aa-,+b2an+bn6212x33x4“(n+1),

1Ifl1111I"(1Ifl115gL.

=—+-------1-------1---1---------=—+—----------<—+—=——综上，原不等式

62(2334nn+\)62(2n+lj6412

成立.

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运

用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

4、设数列｛4｝满足/=0,a“+I=ca：+l—c,ceN*,其中c为实数(I)证明：a„e[0,l]

对任意“eN*成立的充分必要条件是ce[0,1]；(H)设0<c<,，证明：

*1-(3c)"T,〃eN*;

12

(III)设0<c<一,证明：a；…>〃+1------N"

3l-3c

9

解：(1)必要性：：a,=0,：.a2=l-c，又Va2e[0,l],A0<l-c<l，BPCG[0,1]

充分性：设C£[0,l],对〃£N*用数学归纳法证明见£[0,1]当〃=1时，0G[0,1].

假设ake[0,l](k>1)则+i=ca；+1-c4c+1-c=1,且aM=+1-c>1-c=>0

・・・e[0,1],由数学归纳法知%G[0,1]对所有〃£N*成立

(2)设当〃=1时，4=0,结论成立当时，

3

<%=以3+1—c,1.1一%=c(l—a,-)(1+a,-+)

1,

•♦,0<C<一,由⑴知%,6[0,1],所以l+a“]+03<3且1一。〃20

1-4<3c

2

,•.l-a„<3c(l<(3C)(1-«„_2)<-<(3c)"T(l-a,)=(3。产

，，_|

an>l-(3c)(neN*)

1,2

(3)设0<c<—,当〃=1时，at=0>2-------,结论成立当"22时，由（2）知

31-3c

,,-1

an>l-(3c)>0

；.a：>(l-(3c)"-1)2=1-2(3c)'-'+(3C)2(,-1)>1—2(3C)”T

..a+…+a；=a：+…+a；>zz—I_2[3c+(3c)~+…+(3c)”1]

=〃+「2(I3C)")>“+]」

l-3cl-3c

点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意,

加强训练。

1,,

5、已知函数/（》）=5》3+犬2-2.（I）设｛册｝是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中

41=3.若点（<7,,”；+]—24“+]）（1161^*）在函数/=/'（犬）的图象上，求证：点（”,Sn）也在y=/'（x）

的图象上；（II）求函数段）在区间（«-1,«）内的极值.

（I）证明：因为/（乃=；/+/-2,所以/'Q）=f+2x,由点他”,片+「2%+1）（〃6火）在

函数产f（x）的图象上，又见>0（〃eN+）,所以Q_1-a,）Q+1-a“-2）=0,所以

Sn=3"+〃（；I）X2=〃2+2〃,又因为广（〃尸7+2”,所以S“=f\n）,故点（〃,S“）

也在函数y=/'（x）的图象上.

（II）解:/'（X）=x?+2x=x（x+2）,由/'（x）=0,得x=OJSX=-2.

当x变化时,/'（X）./（x）的变化情况如下表：

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+8)

f⑶+0-0+

Z极大值极小值/

注意至“(a—1)—4=1<2,从而

2

①当a—1<—2<a,即-2<a<—耐/(x)的极大值为/(—2)=，此时/0)无极小

值；

②当a—1<0<a,即0<a<1时/(x)的极小值为/(0)=-2，此时/(%)无极大值；

③当aW—2或—1WaW0或a>1时/(x)既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归

等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

6、甲、乙两大型超市，2009年的销售额均为p(2009年为第1年)，根据市场分析和预测,

甲超市前〃年的总销售额为-”+2),乙超市第〃年的销售额比前一年多击.(I)

求甲、乙两超市第〃年的销售额的表达式；(II)根据甲、乙两超市所在地的市场规律，

如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的20%,则该超市将被另一超市收购，试

判断哪一个超市将被收购，这个情况将在哪一年出现，试说明理由.

cPin1-n+2)

解：(I)设甲超市第〃年的年销售量为anSn=-------------

此2时，〃—巡产一…丁小(几-l)P

(〃一1)P(n>2)

又〃=1时，a=P./.a=

]n[P(〃=1)

p

设乙超市第〃年的年销售量为与，・・・bn-bn_{=—

bz-b'W以上各式相加得:

-bn_2=_blt_2-b2=

b=P(l+-+-v+--+-i-)=/>(2?—)

,,c,111、

b-b.=P(—l-7H---------)"2222"T2"T

”12222〃T

(H)显然幻<