【素材】《平行四边形》拔高训练(人教版)

四边形拔高训练题一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．12．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．13．如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；（3）若AB=，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．15．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．16．如图所示，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．（1）如图（1），求证：△AGE≌△EHF；（2）点E在运动的过程中（图（1）、图（2）），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由．17．如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G．（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE．18．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．（1）求证：△ABF≌△CAE；（2）HD平分∠AHC吗？为什么？19．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．20．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．22．如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．（1）求证：∠EBD=∠ECD；（2）设EB，EC交AD于F，G两点，若AF=2FG，探究线段CG与DG之间的数量关系并证明．23．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．24．如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．①连接DF，求证：∠ADF=90°；②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．25．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．（1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由．26．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．27．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC⊥CF；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，请探究线段CF，BC，CD之间的关系；（3）如图3，在（1）的条件下，若BC=2，CF交DE于点P，连接AP，求△ACP的面积的最大值．28．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．29．正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为，求△AEF的面积；（3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．30．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．31．已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．32．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．33．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．34．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．35．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．36．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．37．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．38．已知点E是边长为2的正方形ABCD的AB边的延长线上一点，P为边AB上的一个动点（不与A、B重合），直线PF⊥PD，∠EBC的平分线与PF交于点Q．（1）如图1，当P为AB的中点时，求PD的长，并比较PD与PQ长的大小；（2）如图2，在点P运动过程中，PD与PQ长的大小关系会发生变化吗？为什么？（3）设PB=x，△BPQ和△PAD的面积分别是S1、S2，又y=，试求y与x之间的函数关系式，并判断y随PB的变化而怎样变化？39．如图，在正方形ABCD中．（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？

2018年01月10日626****8110的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB，（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．【解答】解：（1）如图①AH=AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1=6，x2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？【分析】（1）依照题意补全图形即可；（2）连接CE，只要证明△ABE≌△CBE即可．（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=2，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示．（2）证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠ABE=∠CBE．∴点B，E在AC的垂直平分线上，（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=2，∴S梯形DFCN=（DF+CN）•CF=（+2）×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【分析】（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．【分析】（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF=45°，从而得到∠GAF=∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF=45°，然求出CQ=CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∵BP=BQ，∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，∴∠BPQ=45°，∵CE为正方形外角的平分线，∴∠APQ=∠QCE=135°，∵AQ⊥QE，∴∠CQE+∠AQB=90°，又∵∠PAQ+∠AQB=90°，∴∠PAQ=∠CQE，在△APQ和△QCE中，，∴△APQ≌△QCE（ASA）；（2）解：∵△APQ≌△QCE，∴AQ=EQ，∵AQ⊥QE，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠QAE=45°；（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，∵∠QAE=45°，∴∠GAF=45°，∴∠GAF=∠QAF，在△AQF和△AGF中，，∴△AQF≌△AGF（SAS），∴QF=GF，∵QF∥CE，∴∠CQF=45°，∴△CQF是等腰直角三角形，∴CQ=CF，∵BQ=x，∴CQ=CF=2﹣x，∴DF=2﹣（2﹣x）=x，∴QF=GF=2x，在Rt△CQF中，CQ2+CF2=QF2，即（2﹣x）2+（2﹣x）2=（2x）2，解得x=2﹣2，∴△AGF的面积=×2（2﹣2）×2=4﹣4，即△AQF的面积为4﹣4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．【分析】（1）如图1，根据等腰三角形的三线合一得CF⊥AE，则∠AFC=90°，证明△AEB≌△CMB，可得BE=BM；（2）如图2，作辅助线构建三角形全等，先证明△AMF≌△EBF，得FM=BF，AM=BE，再证明△DMB是等腰三角形，由三线合一得：DF平分∠BDM，根据∠FDB=30°得△BDM是等边三角形；由此△ACE为等边三角形，△OHD为直角三角形，设未知数：OH=x，根据S四边形GBOH=S△DGB﹣S△OHD，列方程得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵AC=EC，F是AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵四边形ABCD是矩形，AD=DC，∴矩形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠AFC=∠ABC，∵∠AMF=∠BMC，∴∠EAB=∠MCB，∵∠ABE=∠ABC=90°，∴△AEB≌△CMB，∴BE=BM；（2）如图2，连接BF并延长交直线AD于M，∵F是AE的中点，∴AF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，∴∠M=∠FBE，∵∠AFM=∠EFB，∴△AMF≌△EBF，∴FM=BF，AM=BE，∵AD=BC，∴AD+AM=BC+BE，即DM=CE，∵AC=CE，∴EC=DM=AC=BD，∴△DMB是等腰三角形，∵F是BM的中点，∴DF平分∠BDM，∵∠BDF=30°，∴∠BDM=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠M=60°，在Rt△BCD中，∠BDC=90°﹣60°=30°，∴∠DBC=60°，∵OB=OC，∴∠DBC=∠OCB=60°，∴△ACE为等边三角形，在△OHD中，∠HOD=∠BOC=60°，∴∠OHD=90°，设OH=x，则OD=2x，BD=4x，BC=2x，∴DH=x，AH=x，DC=AB=2x，Rt△ABC中，∠ACE=60°，∴∠BAC=30°，∴cos30°=，AG==，∴BG=AB﹣AG=2x﹣=，∴S四边形GBOH=S△DGB﹣S△OHD，=BG•AD﹣OH•DH，=••2x﹣•x•x=，解得：x2=9，x=±3，∴BC=2x=6，BG=×3=4，由勾股定理得：CG===2．【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，又考查了等边三角形和30°的直角三角形的性质，设未知数，表示边的长度，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半得出其它边长，与三角函数和勾股定理相结合，分别表示出△DGB和△OHD各边的长，为列方程作铺垫，从而使问题得以解决．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．【分析】（1）猜想：CE=DF，连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，根据等边三角形的性质，利用ASA即可判定△AEC≌△AFD，因为全等三角形的对应边相等，所以CE=DF．（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似可得△ACE≌△ADF（AAS），从而不难求得结论．【解答】解：（1）猜想：CE=DF．（1分）如图①，连接AC，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°﹣∠CAF，∴△AEC≌△AFD（ASA）．（4分）∴CE=DF．（1分）（2）结论CE=DF仍然成立．（1分）如图②，连接AC∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，∴∠ACE=∠ADF=120°．∵∠CAE=∠DAF=60°﹣∠DAE，∴△ACE≌△ADF（AAS）．（2分）∴CE=DF．（1分）【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得证．（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．【解答】证明：（1）连接DG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF，∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，∵△ABE≌△EHF，∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，∴AG、QD平行且相等，又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，∴四边形DQEF是平行四边形．∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．【点评】考查全等三角形的判定及平行四边形的判定，难度较大．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．【分析】（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可．两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可．我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等．（2）要求E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，我们先看若两角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB，因此∠AEF=∠AGF，三角形GFA和AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE时，∠AEF=∠CEB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°．∵BG⊥CE，∴∠BOC=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠2．在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，∴△GAB≌△EBC（ASA）．∴AG=BE．（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE；由（1）知，AG=BE，∴AG=AE；∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°；又∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）；∴∠AGF=∠AEF；由（1）知，△GAB≌△EBC；∴∠AGF=∠CEB；∴∠AEF=∠CEB．【点评】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“边角边”证明△ADP和△CDP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①根据四边形的内角和定理求出∠DAP+∠DNP=180°，再根据邻补角的定义可得∠DNP+∠PNC=180°，从而得到∠DAP=∠PNC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAP=∠DCP，然后求出∠DCP=∠PNC，再根据等角对等边可得PN=CP，然后根据等腰直角三角形的定义解答；②同理求出AP=CP，∠DAP=∠DCP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP=∠N，然后求出∠N=∠DCP，根据等角对等边可得PN=CP，从而得解；（3）过点P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，根据矩形的对边相等可得BE=CF，再根据线段中点的定义和等腰三角形三线合一的性质求出CF，然后根据△BEP是等腰直角三角形解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP=CP；（2）①△APN是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∵PN⊥AP，∴∠APN=90°，∴∠DAP+∠DNP=180°，∵∠PNC+∠DNP=180°，∴∠PNC=∠DAP，∵△ADP≌△CDP，∴∠DCP=∠DAP，∴∠PNC=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；②①中得结论仍然成立．理由如下：同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，∵AP⊥PN，AD⊥DN，∴∠DAP=∠N，∴∠N=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，∴BE=CF，∵PN=PC，PF⊥CD，∴CF=NF=CN，∵N是CD的中点，∴CN=CD=，∴BE=CF=CN=×=，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴PE=BE=，∴BP===．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）根据四边形的内角和定理和邻补角的定义求出相等的角．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，根据同角的余角相等求出∠BPC=∠MEP，然后利用“角角边”证明△BPC和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=ME，BC=MP，然后求出AM=BP，从而得到AM=ME，判断出∠MAE=45°，从而得到∠MAE=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行求出AE∥BD，再根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）①分点P在线段AB上时，利用“角角边”证明△EGF和△CGD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG，再根据等腰直角三角形的性质解答即可；②点P在射线BA上时，同理可求．【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，∵PE⊥CP，∴∠EPM+∠BPC=∠EPM，∵EM⊥AB，∴∠EPM+∠MEP=90°，∴∠BPC=∠MEP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，AB∥CD，∴∠ABC=∠M=90°，在△BPC和△MEP中，，∴△BPC≌△MEP（AAS），∴BP=ME，BC=MP，∴AB=MP，∴AM=BP，∴AM=ME，∵∠M=90°，∴∠MAE=45°，∴∠MAE=∠ABD，∴AE∥BD，∵EF∥CD，∴AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB；（2）解：分两种情况：①BF+2DG=CD．理由如下：如图1，∵EF∥CD，∴∠FEG=∠GCD，在△EGF和△CGD中，，∴△EGF≌△CGD（AAS），∴FG=DG，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∴BF+2DG=CD；②如图2，点P在射线BA上时，BF﹣2DG=CD，与①同理可证．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形和平行四边形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．12．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．【分析】过点C作CH⊥BE于H，根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCH，根据正方形的性质可得AB=BC，再利用“角角边”证明△ABE和△CBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BH，BE=CH，再求出四边形EFCH是矩形，根据矩形的对边相等可得CF=EH，EF=CH，然后根据两个图形分别列出三条线段之间的关系即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥BE于H，∵∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°，∠BCH+∠CBE=90°，∴∠ABE=∠BCH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（AAS），∴AE=BH，BE=CH，又∵BE⊥MN，CF⊥MN，∴四边形EFCH是矩形，∴CF=EH，EF=CH，图（2）中，AF+CF=AE+EF+HE=BH+CH+HE=BE+BE=2BE，即AF+CF=2BE；图（3）中，AF﹣CF=AE+EF﹣CF=BH+CH﹣EH=BE+BE=2BE，即AF﹣CF=2BE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造成全等三角形和矩形是解题的关键，也是本题的难点．13．如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．【分析】（1）过点C作CH⊥FP于点H，然后求出∠CHP=∠CHG=90°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得FC=FP，再根据等边对等角可得∠FPC=∠FCP，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DPC=∠FCP，从而得到∠FPC=∠DPC，再利用“角角边”证明△CPH和△CPD全等，根据全等三角形对应边相等可得CH=CD，再求出CH=BC，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）连接PN，根据（1）得到△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，根据全等三角形对应角相等可得∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，然后求出∠GCP=∠DCB=45°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得NC=NP，然后判断出△NCP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PC=CN，连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，根据同角的余角相等求出∠PND=∠CNK，表示出∠NPD=∠NCK=135°﹣∠PCD，然后利用“角边角”证明△NPD和△NCK全等，根据全等三角形对应边相等可得NK=ND，然后求出∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，再利用“边角边”证明△NAD和△NCD全等，根据全等三角形对应边相等可得NC=NA，从而得证．【解答】（1）证明：如图1，过点C作CH⊥FP于点H，∴∠CHP=∠CHG=90°，∵FE⊥平分PC，∴FC=FP，∴∠FPC=∠FCP，∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠DPC=∠FCP，∴∠FPC=∠DPC，在△CPH和△CPD中，，∴△CPH≌△CPD（AAS），∴CH=CD，∵BC=CD，∴CH=BC，又∵AB⊥BC，CH⊥CP，∴GC平分∠PGB；（2）解：如图2，连接PN，由（1）知△CPH≌△CPD，Rt△CGH≌Rt△CGB，∴∠BCG=∠HCG，∠DCP=∠HCP，∴∠GCP=∠DCB=45°，∵FE⊥平分PC，∴NC=NP，∴△NCP是等腰直角三角形，∴PC=CN，PN=CN，连接DN，作NK⊥DN交DC的延长线于点K，则∠PND+∠CND=∠CNK+∠CND=90°，∴∠PND=∠CNK，∵∠NPD=45°+（90°﹣∠PCD）=135°﹣∠PCD，∠NCK=180°﹣45°﹣∠PCD=135°﹣∠PCD，∴∠NPD=∠NCK，在△NPD和△NCK中，，∴△NPD≌△NCK（ASA），∴NK=ND，∴∠NDK=∠NKD=∠NDA=45°，在△NAD和△NCD中，，∴△NAD≌△NCD（SAS），∴NC=NA，∴PC=AN．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线，综合性较强，难度较大，关键在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；（3）若AB=，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．【分析】（1）根据正方形的性质可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，然后利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CDP=∠CBP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，从而得到∠CDP=∠E，再根据三角形的内角和定理可得∠DPE=∠DCE=90°，然后根据等腰直角三角形的定义证明即可；（3）根据等腰直角三角形的性质列式表示出△DPE面积，然后判断出点P与点A或C重合时，面积最大，点P与正方形的中心重合是面积最小，然后求解即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：∵△BCP≌△DCP，∴∠CDP=∠CBP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠CDP=∠E，∴∠DPE=∠DCE=90°，∴△DPE为等腰直角三角形；（3）解：∵△DPE为等腰直角三角形，∴△DPE面积=DP2，∴点P与点A或C重合时，面积最大，点P与正方形的中心重合是面积最小，∵AB=2，∴△DPE面积的最大值=×（2）2=4，最小值=×（×2）2=2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，等腰直角三角形的判断与性质，难点在于（3）判断出△DPE的面积最大和最小时点P的位置．15．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．【分析】（1）由正方形ABCD的边长为4，在Rt△ABF中，由AB=2FB，即可求得BF的长，然后由勾股定理求得AF的长，又由AG=AD，即可求得FG的长；（2）先在BC上截取BM=AE，然后证得△AGE≌△BAM，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得∠FAM=∠AMB，进而得出AE+BF=AF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴∠ABF=90°，AB=AD=4，∵在Rt△ABF中，AB=2FB，∴FB=×4=2，∴AF==2，∵AG=AD=4，∴FG=AF﹣AG=2﹣4；（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，∵AG=AD，AB=AD，∴AG=AB，∵AE⊥AF，∴∠EAG=∠ABM=90°，在△AGE和△BAM中，，∴△AGE≌△BAM（SAS），∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，∵AG=AD，∴∠AGD=∠ADG，∴∠BAM=∠ADG，∵∠BAD=90°，∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，∴∠FAB=∠EAD，∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，∴∠FAM=∠AMB，∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．【点评】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．16．如图所示，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．（1）如图（1），求证：△AGE≌△EHF；（2）点E在运动的过程中（图（1）、图（2）），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC，求证△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE，可得∠EFH=∠AEG，然后即可求证△AGE≌△EHF．（2）分两种情况进行讨论：（i）当点E运动到BD的中点时，利用四边形AFHG是矩形，可得S四边形AFHG=（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFHG是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF，同理，图（2），△AGE≌△EHF可得，S四边形AFHG=（FH+AG）•GH=，然后即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC，∴四边形AGHD和四边形GHCB都是矩形，△GEB和△HDE都是等腰直角三角形．∴∠AGE=∠EHF=90°，GH=BC=AB，EG=BG∴GH﹣EG=AB﹣BG即EH=AG∴∠EFH+∠FEH=90°又∵EF⊥AE，∴∠AEG+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠AEG∴△AGE≌△EHF（2）四边形AFHG的面积没有发生变化．（i）当点E运动到BD的中点时，四边形AFHG是矩形，S四边形AFHG=（ii）当点E不在BD的中点时，点E在运动（与点B、D不重合）的过程中，四边形AFHG是直角梯形．由（1）知，△AGE≌△EHF同理，图（2），△AGE≌△EHF∴FH=EG=BG．∴FH+AG=BG+AG=AB=1这时，S四边形AFHG=（FH+AG）•GH=综合（i）、（ii）可知四边形AFHG的面积没有发生改变，都是．【点评】此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题．17．如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G．（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，BK⊥BE，根据同角的余角相等，易证得∠FBH=∠CBG，又由BF=BC，利用等边对等角，可得∠BFH=∠BCG，然后利用三角形外角的性质，即可证得∠BHG=∠BGH，即可得BH=BG；（2）首先在BF上截取BN=BH，连接NH，AN交FC于O，易证得△BHF≌△BNA，然后可证得∠ENA=∠AHF，利用同角的余角相等，可证得∠EAN=∠ENA，即可得EN=AE，继而可证得BE=BG+AE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即∠ABK+∠CBG=90°，∵BK⊥BE，∴∠ABK+∠FBH=90°，∴∠FBH=∠CBG，∵BF=BC，∴∠BFH=∠BCG，∵∠BHG=∠BFH+∠FBH，∠BGH=∠BCG+∠CBG，∴∠BHG=∠BGH，∴BH=BG；（2）在BF上截取BN=BH，连接NH，AN交FC于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BF=BC，∴BF=BA，在△BHF和△BNA中，，∴△BHF≌△BNA（SAS），∴∠BFH=∠BAN，在△FON和△AOH，∠BFH=∠BAN，∠FON=∠AOH（对顶角相等），∴∠ENA=∠AHF，∵∠AHF=∠BHC=90°﹣∠HCB，∵∠BFH=∠BAN=∠HCB，∴∠ENA=∠AHF=90°﹣∠BAN，∵∠EAN=90°﹣∠BAN，∴∠EAN=∠ENA，∴NE=AE，∴BE=BN+NE=BH+AE=BG+AE．【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．18．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．（1）求证：△ABF≌△CAE；（2）HD平分∠AHC吗？为什么？【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠B=∠CAB=60°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CAE全等即可；（2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ACE，然后求出∠AHC=120°，再根据四边形的内角和定理求出∠HAD+∠HCD=180°，根据平角的定义求出∠HAD+∠KAD=180°，从而得到∠HCD=∠KAD，然后利用“角角边”证明△ADK和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DK=DG，然后利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=BC．∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；（2）答：HD平分∠AHC．理由如下：过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE，∵∠ACE+∠FCE=60°，∴∠BAF+∠FCE=60°，∴∠AHC=∠AFC+∠HCF=∠B+∠BAF+∠BCE=120°，∵∠ADC=60°，∴∠HAD+∠HCD=180°，∵∠HAD+∠KAD=180°，∴∠HCD=∠KAD，在△ADK和△CDG中，，∴△ADK≌△CDG（AAS），∴DK=DG，∵DG⊥CH，DK⊥FA，∴HD平分∠AHC．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．19．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．【分析】（1）要证明CH=EF+EG，首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CE⊥NH于N，可得矩形EFHN，很明显只需证明EG=CN，最后根据AAS可求证△EGC≌△CNE得出结论．（2）过C点作CO⊥EF于O，可得矩形HCOF，因为HC=FO，所以只需证明EO=EG，最后根据AAS可求证△COE≌△CGE得出猜想．（3）连接AC，过E作EG作EH⊥AC于H，交BD于O，可得矩形FOHE，很明显只需证明EG=CH，最后根据AAS可求证△CHE≌△EGC得出猜想．（4）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CE⊥PF于E，可得矩形GCEF，而且AAS可求证△CEP≌△CNP，故CG=PF﹣PN．【解答】（1）证明：过E点作EN⊥CH于N．∵EF⊥BD，CH⊥BD，∴四边形EFHN是矩形．∴EF=NH，FH∥EN．∴∠DBC=∠NEC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且互相平分∴∠DBC=∠ACB∴∠NEC=∠ACB∵EG⊥AC，EN⊥CH，∴∠EGC=∠CNE=90°，又∵EC=CE，∴△EGC≌△CNE．∴EG=CN∴CH=CN+NH=EG+EF；（2）解：猜想CH=EF﹣EG；（3）解：EF+EG=BD；（4）解：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图①，有CG=PF﹣PN．【点评】此题主要考查矩形的性质和判定，解答此题的关键是作出辅助线，构造矩形和三角形全等来进行证明．20．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．【分析】（1）利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；（2）过F作FH⊥MN于H，根据正方形及直角三角形的性质可求出△ABE≌△EHF，根据三角形全等可求出BE=HF，AB=EH，通过等量代换可得CH=FH，利用等腰直角三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，即∠1=∠2，∴△ADG≌△ABE；（3分）（2）解：∠FCN=45°，（4分）理由如下：过F作FH⊥MN于H，则∠EHF=90°，∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∠ABE=∠AEF=90°，∴∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5，又∵∠ABE=∠EHF=90°，∴△ABE≌△EHF，（6分）∴BE=HF，AB=EH，∴BC=EH，∴HC=BE，∴在Rt△CHF中，CH=FH，∴∠FCN=∠CFH=45°．（8分）【点评】此题比较复杂，涉及到正方形的性质及全等三角形的判定定理、直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，利用直角三角形及全等三角形的性质解答．21．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）设AE=x，表示出BE，再根据菱形的四条边都相等可得DE=BE，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程求解即可；（3）过点E作AC的对称点E′，连接BE′，根据轴对称确定最短路线问题，BE′与AC的交点即为所求的点P，PB+PE=BE′，利用勾股定理列式求出AC，再根据∠BAC的正弦求出EE′，过点E′作E′H⊥AB于H，解直角三角形求出EH、E′H，然后求出BH，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∴BE∥DF，又∵BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）设AE=x时四边形DEBF是菱形，则BE=4﹣x，∵四边形DEBF是菱形，∴DE=BE=4﹣x，在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，即22+x2=（4﹣x）2，解得x=，故，AE=时，四边形DEBF是菱形；（3）如图，过点E作AC的对称点E′，连接BE′，BE′与AC的交点即为所求的点P，此时，PB+PE=BE′，由勾股定理得，AC==2，EE′=2•AE•sin∠BAC=2××=，过点E′作E′H⊥AB于H，则EH=EE′sin∠AEE′=×=，E′H=×=，∴BH=BE+EH=4﹣﹣=，在Rt△BE′H中，BE′==．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，轴对称确定最短路线问题，解直角三角形，难点在于（3）确定出点P的位置并作辅助线构造出直角三角形．22．如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．（1）求证：∠EBD=∠ECD；（2）设EB，EC交AD于F，G两点，若AF=2FG，探究线段CG与DG之间的数量关系并证明．【分析】（1）过点C作CM⊥BE于M，作CN⊥DE交ED的延长线于N，可得四边形CNEM是矩形，根据同角的余角相等求出∠BCM=∠DCN，再根据正方形的性质可得BC=CD，然后求出△BCM和△DCN全等，根据全等三角形对应边相等可得CM=CN，从而得到矩形CNEM是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠CEM=45°，再求出∠BDC=45°，设BD、CE交于点O，根据三角形的内角和定理列式整理即可得到∠EBD=∠ECD；（2）过点B作BP⊥CE于P，BP的延长线交CD于点Q，连接FQ，根据∠BEP=45°求出∠EBP=45°，延长DC到点Q，使CR=AF，根据正方形的性质可得AB=BC，然后利用“边角边”证明△ABF和△CBR全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=BR，全等三角形对应角相等可得∠ABF=∠CBR，然后求出∠QBR=∠QBF=45°，再求出利用“边角边”证明△FBQ和△RBQ全等，根据全等三角形对应边相等可得FQ=QR，再利用“角边角”证明△BCQ和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=CQ，然后设FG=x，DG=CQ=a，表示出AF=CR=2x，AD=3x+a，再表示出FQ、FD、DQ，在Rt△DQF中，利用勾股定理列式求解得到a=3x，从而求出CD=2a，在Rt△CDG中，利用勾股定理列式求出CG=a，从而得解．【解答】（1）证明：如图，过点C作CM⊥BE于M，作CN⊥DE交ED的延长线于N，∵BE⊥ED，∴四边形CNEM是矩形，∴∠DCN+∠DCM=∠MCN=90°，又∵∠BCM+∠DCM=∠BCD=90°，∴∠BCM=∠DCN，正方形ABCD中，BC=CD，在△BCM和△DCN中，，∴△BCM≌△DCN（AAS），∴CM=CN，∴矩形CNEM是正方形，∴∠CEM=45°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC=45°，设BD、CE交于点O，在△BEO中，∠EBO+∠EOB+∠BEO=180°，在△CDO中，∠COD+∠ODC+∠OCD=180°，∵∠BOE=∠COD，∴∠EBO=∠OCD，即：∠EBD=∠ECD；（2）解：CG=DG．理由如下：如图，过点B作BP⊥CE于P，BP的延长线交CD于点Q，连接FQ，∵∠BEP=45°，∴∠EBP=90°﹣45°=45°，延长DC到点Q，使CR=AF，在正方形ABCD中，AB=BC，在△ABF和△CBR中，，∴△ABF≌△CBR（SAS），∴BF=BR，∠ABF=∠CBR，∴∠QBR=∠QBC+∠CBR=∠QBC+∠ABF=90°﹣∠EBP=45°，∴∠QBR=∠QBF=45°，在△FBQ和△RBQ中，，∴△FBQ≌△RBQ（SAS），∴FQ=QR，∵BP⊥CE，∴∠CBQ+∠BCP=90°，又∵∠BCP+∠DCG=∠BCD=90°，∴∠CBQ=∠DCG，在△BCQ和△CDG中，，∴△BCQ≌△CDG（ASA），∴DG=CQ，设FG=x，DG=CQ=a，则AF=CR=2FG=2x，AD=AF+FG+DG=2x+x+a=3x+a，FQ=QR=CQ+CR=DG+AF=a+2x，FD=FG+DG=x+a，DQ=CD﹣CQ=AD﹣DG=3x+a﹣a=3x，在Rt△DQF中，FQ2=FD2+DQ2，即（a+2x）2=（x+a）2+（3x）2，解得a=3x，∴CD=AD=3x+a=2a，在Rt△CDG中，CG===a，∴CG=DG．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，难点在于作辅助线后需要多次证明三角形全等．23．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．【分析】（1）根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C（2，2）；（2）可通过构建全等三角形来求解．在OD上取OH=OM，通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN．（3）本题也是通过构建全等三角形来求解的．在BO延长线上取OA=CF，通过三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF这两对全等三角形来得出FM和OM，CF的关系，从而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否与∠NME相等．【解答】解：（1）∵四边形BCDO是正方形，∴CD=BC=OD=OB，∵D（0，2），∴C（2，2）；（2）在OD上取OH=OM，连接HM，∵OD=OB，OH=OM，∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，∴∠DHM=180﹣45=135°，∵NB平分∠CBE，∴∠NBE=45°，∴∠NBM=180﹣45=135°，∴∠DHM=∠NBM，∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NMB=90°，∵∠HDM+∠DMO=90°，∴∠HDM=∠NMB，在△DHM和△MBN中，，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM=MN；（3）MN平分∠FMB成立．证明如下：延长BO到A使OA=CF，在△DOA与△DCF中，∴△DOA≌△DCF，∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，∵DM=MN，∠DMN=90°，∴∠MDF=45°，∴∠ADM=∠CDF+∠ODM=45°，∴∠ADM=∠PDM，在△ADM与△FDM中，，∴△DMA≌△DMF，∴FM=MA=OM+CF（不为定值），∠DFM=∠DAM=∠DFC，过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，∵∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，∴∠NMB=∠MDH，∠MDO+∠CDF=45°，∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定等知识点，根据全等三角形得出角或边相等是解题的关键．24．如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．①连接DF，求证：∠ADF=90°；②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．【分析】（1）根据三角形全等的判定定理，可以证得△AOB≌△ADF，进而得出结论．（2）过E作CD的垂线，得出所构成的三角形为等边三角形，继而得出所求角的度数为45°．（3）由正方形AOCD的面积，可以而出边长，又有OB的长，根据勾股定理，得出正方形ABEF的边长，继而求出面积，在边OC上运动，则可得出x的取值范围．【解答】（1）证明：∵正方形AOCD，∴OA=AD，∠OAD=90°，∵正方形ABEF，∴AB=AF，∠BAF=90°，∴∠OAB=