2018版高中数学第三章不等式341基本不等式证明学案苏教版

3．4.1基本不等式的证明学习目标1.理解基本不等式的内容及证明

.2.

能娴熟运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一算术均匀数与几何均匀数思虑如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.怎样用a，b表示PO，PQ的长度？a＋b梳理一般地，关于正数a，b，2为a，b的________均匀数，ab为a，b的________平即ab≤a＋b均数．两个正数的几何均匀数不大于它们的算术均匀数，2.其几何意义如图中的PO≥PQ.知识点二基本不等式及其常有推论a＋b思虑怎样证明不等式ab≤(a>0，b>0)?2梳理ab≤a＋b(>0，>0)．2ab当对正数a，b给予不一样的值时，可得以下推论：＋b2a2＋2(1)ab≤(2)≤2(a，b∈R)；baa＋b≥2(a，b同号)；baba当ab>0时，a＋b≥2；当ab<0时，a＋b≤－2；a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．种类一常有推论的证明例1证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申研究证明不等式(a＋b)2≤a2＋b2(a，b∈R)．22反省与感悟

(1)本例证明的不等式建立的条件是

a，b∈R，与基本不等式不一样．本例使用的作差法与不等式性质是证明中常用的方法．追踪训练1已知a，b，c为随意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.种类二用基本不等式证明不等式例2已知x，y都是正数．x求证：(1)x＋y≥2；(2)(x＋)(x2＋y2)(x3＋y3)≥83y3.yx反省与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和相关定理，经过逐渐的逻辑推理，最后转变为所求问题，其特点是以“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”．注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号可否建立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不可以直接使用基本不等式的证明可从头组合，形成基本不等式模型，再使用．追踪训练2已知

a，b，c都是正实数，求证：

(a＋b)(

b＋c)·(c＋a)≥8abc.种类三用基本不等式比大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为，第二年的增加率为a，第三年的增加率为b，A这两年的均匀增加率为(，，均大于零)，则x与a＋b的大小关系是________．xabx2＋b反省与感悟基本不等式2≥ab一端为和，一端为积，使用基本不等式比大小要擅于利用这个桥梁化和为积或许化积为和．追踪训练3设a＞b＞1，P＝lga·lglga＋lgbb，Q＝2，＝lga＋b，则，，的大小关系是________．R2PQRx1．若对随意x>0，2≤a恒建立，则a的取值范围为________．x＋3x＋1a＋b2．若0<a<b，则a，b，ab，2的大小关系是________．3．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是________．4．设a>0，b>0，给出以下不等式：①a2＋1>a；②a＋1b＋1≥；ab4112③(a＋b)a＋b≥4；④a＋9>6a.此中恒建立的是________．(填序号)22a＋b1．两个不等式a＋b≥2ab与2≥ab都是带有等号的不等式，关于“当且仅当时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝ba＋b＝；另一方面：当a＋b时，2ab2＝时，也有a＝.abb在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等式变形配凑成适合的数、式，以便于利用基本不等式．答案精析问题导学知识点一ABa＋b思虑PO＝2＝2.易证2Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ＝AQ·QB，即PQ＝ab.梳理算术几何知识点二思虑∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号建立，a＋b≥2ab，ab≤当且仅当题型研究

a＋b，a＝b时，等号建立．例1证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申研究证明由例1，得a2＋b2≥2ab，2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，两边同除以a＋b2a2＋b2＝b时，取等号．4，即得()≤，当且仅当22a追踪训练1证明∵a2＋b2≥2；2＋c2≥2；c2＋a2≥2，abbbcca222∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当＝＝时，等号建立．abc例2证明(1)∵x，y都是正数，xyy>0，x>0，yxyx∴x＋y≥2x·y＝2，yx即x＋y≥2，当且仅当x＝y时，等号建立．∵x，y都是正数，∴x＋y≥2xy>0，x2＋y2≥2x2y2>0，x3＋y3≥2x3y3>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号建立．追踪训练2已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明∵a，b，c都是正实数，a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号建立．a＋b例3x≤2分析第二年的产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为(1＋)＋(1＋a)·＝(1＋a)(1＋)．AaAbAb若均匀增加率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，＞0，x＞0，b∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤＋a＋＋b2，22＋＋ba＋b＋∴1＋x≤2＝1＋2，∴x≤2.追踪训练3P＜Q＜R分析∵a＞b