2019版数学（文）教师用书：第十章 第二节 随机抽样 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二节随机抽样1．简单随机抽样(1)抽取方式：逐个不放回抽取；（2）特点：每个个体被抽到的概率相等；（3）常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1）在抽样时,将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．（1)先将总体的N个个体编号；（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f（N，n)（n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f（N，n）；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）;（4）按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k,再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（1）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．(）（2）从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．()（3）系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体．(）(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（)(5）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．（)(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．（）答案：(1)×（2)×(3）√（4）×(5)×（6)√2．(教材习题改编)老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5，10,15，20，25，30,35,40,45,50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样 B．分层抽样C．系统抽样 D．以上都不是解析:选C因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．3．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,则总体中每个个体被抽到的概率是________．解析:总体个数为N＝8，样本容量为M＝4,则每一个个体被抽到的概率为P＝eq\f（M,N)＝eq\f（4，8)＝eq\f（1,2).答案：eq\f(1,2)4．（教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：设应从高二年级抽取x名学生,则eq\f(x,50)＝eq\f(3，10)，解得x＝15。答案:155．已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．解析：每组袋数:d＝eq\f（3000，150）＝20，由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列．a61＝11＋60×20＝1211.答案：1211eq\a\vs4\al(考点一简单随机抽样）eq\a\vs4\al（基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考］简单随机抽样在高考中单独考查的频率较小，主要涉及随机抽样的特点及随机数法的应用。题型为选择题或填空题,难度较小.1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(）A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组,通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选D选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的;选项C不是简单随机抽样,因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．总体由编号为01,02,…，19，20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01解析：选D由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01。3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f（1，3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（）A。eq\f（1,4） B。eq\f(1,3)C。eq\f(5，14) D。eq\f(10，27)解析:选C根据题意,eq\f(9,n－1）＝eq\f(1,3),解得n＝28。故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq\f(10，28)＝eq\f（5，14)。［怎样快解·准解］1．简单随机抽样的特点（1）抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．2．抽签法与随机数法的适用情况（1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．（2）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点:一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．［易错提醒]利用随机数法抽取样本时，一定要注意“重复的号码”只能记一次，如第2题易误认为第5个个体编号为02而误选．eq\a\vs4\al(考点二系统抽样)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研）系统抽样在高考中单独考查的频率也较小，主要考查系统抽样的抽取方法.题型为选择题或填空题,难度较小。[典题领悟]1．从编号为001，002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481C．482 D．483解析:选C根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1＝7，a2＝32,故d＝25，所以7＋25(n－1）≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482。2．中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________．解析：把502名观众平均分成50组,由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众,这2名观众不参加座谈;再将剩下的500名观众编号为1,2，3，…，500，并均匀分成50段，每段含eq\f(500,50)＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.答案:210[解题师说］1．掌握“4特点”(1)适用于元素个数很多且均衡的总体．（2)每个个体被抽到的机会均相等．（3）总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样．(4）如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝eq\f（N，n).2．谨防“1易错”用系统抽样法抽取样本,当eq\f（N，n）不为整数时,取k＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（N，n）)），即先从总体中用简单随机抽样的方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．(如典题领悟第2题)［冲关演练］1．某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［481，720]的人数为()A．11 B．12C．13 D．14解析:选B由系统抽样定义可知，所分组距为eq\f(840，42)＝20,每组抽取一人，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481,720］的数目为eq\f(720－480,20）＝12。2．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（)A．5 B．7C．11 D．13解析：选B把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列,39在第3组，所以第1组抽到的数为39－32＝7.eq\a\vs4\al（考点三分层抽样)eq\a\vs4\al（重点保分型考点-—师生共研）分层抽样是每年高考的常考内容,题型既有选择题、填空题，有时也出现在解答题中,难度较小，属于低档题。［典题领悟］1．（2017·江苏高考）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400,300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解析：应从丙种型号的产品中抽取60×eq\f(300，200＋400＋300＋100）＝18(件)．答案：182．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况,现用分层抽样的方法抽取一个容量为1200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人,则高三年级抽取的人数为________．解析:因为高一年级抽取学生的比例为eq\f（240,1200）＝eq\f（1,5），所以eq\f(k,k＋5＋3）＝eq\f（1,5）,解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1200×eq\f（3，2＋5＋3）＝360。答案:3603．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组）（单位：人）.篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人,则a的值为________．解析:由题意知eq\f（12，45＋15)＝eq\f(30，45＋15＋30＋10＋a＋20),解得a＝30。答案:30[解题师说］1．牢记“2关系”进行分层抽样的相关计算时，常用到的2个关系(1)eq\f（样本容量n，总体的个数N)＝eq\f（该层抽取的个体数,该层的个体数)；（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．2．谨防“1失误”分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni＝n·eq\f（Ni,N)（i＝1,2，…，k）个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量）．［冲关演练］1．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝（）A．54 B．90C．45 D．126解析：选B依题意得eq\f（3,3＋5＋7）×n＝18,解得n＝90，即样本容量为90。2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为（）A．10 B．12C．18 D．24解析：选A根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为eq\f(90，180＋270＋90)×60＝10。普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜）A级—-基础小题练熟练快1．从2018名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2018名学生中剔除18名学生，剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f（50,2018) D．都相等，且为eq\f(1，40）解析:选C从N个个体中抽取M个个体,则每个个体被抽到的概率都等于eq\f（M，N），故每名学生入选的概率都相等，且为eq\f(50，2018)。2．(2018·长春一模)完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样,②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：选B因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响,而社区中各个家庭收入差别明显,所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,个体之间差别不大,且总体和样本容量较小,所以②用简单随机抽样法．3．从30个个体(编号为00～29）中抽取10个样本，现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表),如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为()9264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814288966286757823115890062004738155131818637094521666553255383270290557196217232071114138443594488A．76,63,17,00 B．16，00，02,30C．17，00，02,25 D．17，00，02,07解析：选D在随机数表中，将处于00～29的号码选出，满足要求的前4个号码为17，00，02，07。4．（2017·怀化二模）某校高三(1)班共有48人，学号依次为1，2,3,…，48,现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知学号为3，11，19，35,43的同学在样本中，则还有一个同学的学号应为（）A．27 B．26C．25 D．24解析:选A根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，则抽取的号码差相等，易知相邻两个学号之间的差为11－3＝8，所以在19与35之间还有27。5．某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400，300,300，200.为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为()A．120 B．40C．30 D．20解析：选B∵一年级学生共400人，抽取一个容量为200的样本,∴用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为eq\f（400，2000）×200＝40.6．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1,2,…,1000。适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1，400］的人做问卷A，编号落入区间[401,750］的人做问卷B，其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为（)A．12 B．13C．14 D．15解析:选A根据系统抽样的特点可知,所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝eq\f（1000，50)＝20的等差数列{an},∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12,令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f（253，5)，又∵n∈N＊,∴39≤n≤50,∴做问卷C的共有12人．7．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数40103020现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________．解析：因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为eq\f(10，100)×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为eq\f（20,100)×20＝4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6。答案:68．某市教育主管部门为了全面了解2018届高三学生的学习情况，决定对该市参加2018年高三第一次全国大联考统考（后称统考)的32所学校进行抽样调查，将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样的方法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小的编号是________．解析:根据系统抽样法，将总体分成8组,组距为eq\f(32,8）＝4，若抽到的最大编号为31,则最小的编号是31－4×7＝3.答案：39．一汽车厂生产A，B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆）：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．解析：由题意可得eq\f（50，100＋300＋150＋450＋z＋600）＝eq\f（10，100＋300）,解得z＝400.答案：40010．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________;由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50％＝50;该产品的平均使用寿命为1020×0。5＋980×0。2＋1030×0.3＝1015。答案：501015B级-—中档题目练通抓牢1．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b,c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(）A．800双 B．1000双C．1200双 D．1500双解析：选C因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1200双皮靴．2．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600。采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003。这600名学生分住在三个营区,从001到300在A营区,从301到495在B营区，从496到600在C营区,则三个营区被抽中的人数依次为（）A．26,16,8 B．25,17，8C．25，16,9 D．24，17，9解析：选B依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生，第k（k∈N＊）组抽中的号码是3＋12（k－1)．令3＋12(k－1)≤300,得k≤eq\f（103，4），因此A营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495,得eq\f（103，4)〈k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17，故C营区被抽中的人数为50－25－17＝8.3．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，3，…，10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(）A．63 B．64C．65 D．66解析：选A若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63。4．某企业三月中旬生产A,B，C三种产品共3000件,根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别ABC产品数量（件)1300样本容量(件）130由于不小心，