2019版数学（文）高分计划一轮高分讲义：第1章集合与常用逻辑用语 1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词［知识梳理］1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2）概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q"，记作p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”,记作綈p.（3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真(4)命题的否定与否命题的区别①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”,而否命题为“若綈p，则綈q”．②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假,而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题4．复合命题的否定（1）“綈p”的否定是“p";（2）“p∨q”的否定是“（綈p）∧（綈q）”;（3)“p∧q"的否定是“(綈p）∨（綈q）”．[诊断自测]1．概念思辨（1)若p∧q为真，则p∨q必为真；反之,若p∨q为真，则p∧q必为真．（）（2）全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．（)(3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词．（）(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反．（)答案(1)×(2）×(3)√（4)√2．教材衍化（1）（选修A1－1P26T2)命题“∀x〉0，都有x2－x＋3≤0”的否定是()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3〉0C．∀x>0，都有x2－x＋3〉0D．∀x≤0，都有x2－x＋3〉0答案B解析命题“∀x〉0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x〉0,使得x2－x＋3〉0.故选B.(2)(选修A1－1P28T1)已知命题p:∃x∈R,x－2>lgx，命题q:∀x∈R，x2>0，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q）是真命题D．命题p∨（綈q）是假命题答案C解析由于x＝10时,x－2＝8，lgx＝lg10＝1，故命题p为真命题，令x＝0,则x2＝0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p∧（綈q）是真命题,命题p∨(綈q）是真命题．故选C.3．小题热身(1）(2015·浙江高考)命题“∀n∈N＊，f（n）∈N＊且f(n)≤n”的否定形式是(）A．∀n∈N*,f（n)∉N*且f（n）>nB．∀n∈N*，f（n)∉N＊或f（n）>nC．∃n0∈N＊，f（n0)∉N＊且f(n0）>n0D．∃n0∈N＊，f（n0)∉N＊或f(n0）〉n0答案D解析“f(n）∈N*且f（n）≤n”的否定为“f(n）∉N＊或f（n）>n”，全称命题的否定为特称命题．故选D.(2）(2015·山东高考)若“∀x∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案1解析若0≤x≤eq\f（π，4）,则0≤tanx≤1，∵“∀x∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（π,4））），tanx≤m"是真命题，∴m≥1.∴实数m的最小值为1.题型1含有逻辑联结词的命题的真假eq\o（\s\do1(典例1))(2018·江西七校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x，x<0，,m－x2,x≥0,)）给出下列两个命题:命题p：∃m∈(－∞，0),方程f（x）＝0有解，命题q：若m＝eq\f(1，9)，则f［f（－1)］＝0，那么，下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p）∧qC．p∧（綈q) D．（綈p）∧（綈q）利用复合命题的真假判断方法逐项验证．答案B解析因为3x>0，当m〈0时,m－x2〈0,所以命题p为假命题；当m＝eq\f（1,9)时，因为f(－1)＝3－1＝eq\f(1，3）,所以f[f（－1)］＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3）))＝eq\f（1,9)－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，3)）)2＝0,所以命题q为真命题,逐项检验可知,只有（綈p）∧q为真命题．故选B。eq\o(\s\do1(典例2))(2017·武汉模拟)若存在正常数a，b，使得∀x∈R有f（x＋a)≤f(x）＋b恒成立，则称f(x)为“限增函数"．给出下列三个函数：①f（x)＝x2＋x＋1；②f（x)＝eq\r（|x｜）；③f（x)＝sinx2，其中是“限增函数"的是()A．①②③ B．②③C．①③ D．③注意放缩法的应用．答案B解析对于①，f（x＋a)≤f(x)＋b可化为（x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，即2ax≤－a2－a＋b,即x≤eq\f(－a2－a＋b,2a）对一切x∈R均成立，因函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a，b，故f（x）＝x2＋x＋1不是“限增函数”；对于②，若f(x）＝eq\r(｜x｜）是“限增函数",则f（x＋a）≤f(x)＋b可化为：eq\r（|x＋a|)≤eq\r(|x|）＋b，∴|x＋a|≤|x|＋b2＋2beq\r（｜x|)恒成立，又｜x＋a｜≤|x|＋a,∴|x｜＋a≤｜x｜＋b2＋2beq\r（|x|)，∴eq\r（｜x|）≥eq\f（a－b2,2b），显然当a〈b2时，上述式子恒成立，∴f（x）＝eq\r(|x｜)是“限增函数”；对于③，∵－1≤f(x）＝sinx2≤1，∴f（x＋a)－f(x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数,使f（x＋a)≤f（x）＋b恒成立，故f(x)＝sinx2是“限增函数”．故选B.方法技巧1．判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1）判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或"“且"“非”的含义的理解,应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤eq\x(\a\al(确定含有逻辑,联结词的命题，的构成形式）)⇒eq\x（\a\al（判断其中简单,命题的真假））⇒eq\x(\a\al（根据真值表判断,含有逻辑联结词，的命题的真假））2．含逻辑联结词命题真假的等价关系(1）p∨q真⇔p,q至少一个真⇔（綈p）∧（綈q)假．（2)p∨q假⇔p，q均假⇔（綈p)∧（綈q)真．(3）p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p）∨(綈q）假．(4）p∧q假⇔p，q至少一个假⇔（綈p）∨(綈q）真．（5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．见典例1.冲关针对训练1．(2018·天星二联)已知命题p：若a＝0。30。3，b＝1。20.3，c＝log1.20。3，则a<c<b；命题q：“x2－x－6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p）∧q D．（綈p）∧(綈q)答案C解析因为0<a＝0.30.3〈0。30＝1,b＝1。20.3>1.20＝1,c＝log1.20.3<log1。21＝0，所以c〈a〈b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2－x－6〉0可得x<－2或x>3,故“x2－x－6〉0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故（綈p）∧q为真命题．故选2．（2018·山西八校联考）已知命题p：存在n∈R,使得f（x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞）上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是(）A．p∧q B．（綈p）∧qC．p∧（綈q） D．（綈p）∧（綈q）答案C解析当n＝1时，f（x)＝x3为幂函数，且在(0,＋∞)上单调递增,故p是真命题，则綈p是假命题；“∃x∈R,x2＋2〉3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，（綈p）∧q，(綈p）∧(綈q)均为假命题，p∧（綈q)为真命题．故选C。题型2全称命题与特称命题角度1全称命题、特称命题的真假判断eq\o（\s\do1（典例)）(2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是()A．∃α，β∈R,使sin(α＋β)＝sinα＋sinβB．∀φ∈R,函数f（x)＝sin（2x＋φ)都不是偶函数C．∃x0∈R，使xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2，0）＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数）D．∀a>0，函数f（x)＝ln2x＋lnx－a有零点本题用赋值法、分离常数法．答案B解析取α＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A正确；取φ＝eq\f(π,2)时,函数f（x）＝sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,2）)）＝cos2x是偶函数，B错误；对于三次函数f（x)＝x3＋ax2＋bx＋c,当x→－∞时，y→－∞,当x→＋∞时,y→＋∞，又f(x)在R上为连续函数，故∃x0∈R，使xeq\o\al(3，0)＋axeq\o\al(2，0）＋bx0＋c＝0，C正确；当f（x）＝0时，ln2x＋lnx－a＝0，则有a＝ln2x＋lnx＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1，2）））2－eq\f（1，4)≥－eq\f（1,4)，所以∀a>0,函数f(x）＝ln2x＋lnx－a有零点，D正确．故选B.角度2全称命题、特称命题的否定eq\o（\s\do1(典例）)（2018·厦门模拟)已知命题p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)）），sinx<x，则（）A．p是真命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2)）），sinx≥xB．p是真命题，綈p:∃x0∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2)）），sinx0≥x0C．p是假命题，綈p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)）），sinx≥xD．p是假命题，綈p:∃x0∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2）)），sinx0≥x0用构造函数法，求导法．答案B解析令f(x)＝sinx－x，则f′（x）＝cosx－1〈0，函数f(x）在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2)))递减，f（x）max〈f(0)＝0,故sinx〈x，命题p是真命题,由命题的否定的定义，要否定命题的结论,同时改变量词知綈p：∃x0∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f（π,2)））,sinx0≥x0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1．全(特)称命题的真假判断．①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p（x0）不成立即可．②要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0,使p(x0）成立即可,否则这一特称命题就是假命题．见角度1典例．2．全（特）称命题的否定．全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．见角度2典例．冲关针对训练1．（2018·晋中模拟)已知f（x）＝ex－x，g(x)＝lnx＋x＋1，命题p：∀x∈R，f(x)〉0，命题q：∃x0∈（0，＋∞），使得g（x0)＝0，则下列说法正确的是（）A．p是真命题，綈p：∃x0∈R，f(x0）〈0B．p是假命题，綈p：∃x0∈R,f(x0)≤0C．q是真命题，綈q：∀x∈（0，＋∞)，g（x）≠0D．q是假命题，綈q：∀x∈（0，＋∞），g(x)≠0答案C解析f′(x）＝ex－1，由f′（x)>0得x〉0,由f′(x)<0得x〈0，即当x＝0时,函数f（x)取得极小值，同时也是最小值f（0)＝e0－0＝1－0＝1〉0,所以∀x∈R，f(x)>0成立,即p是真命题．g（x）＝lnx＋x＋1在(0，＋∞)上为增函数，当x→0时,g(x）〈0，g（1）＝0＋1＋1＝2〉0，则∃x0∈（0,＋∞),使得g(x0）＝0成立,即命题q是真命题．则綈p：∃x0∈R，f（x0）≤0，綈q:∀x∈（0，＋∞),g（x)≠0,综上只有C成立．故选C.2．(2017·安徽皖江名校联考)命题p:存在x∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)）)，使sinx＋cosx>eq\r(2）;命题q：“∃x0∈(0,＋∞）,lnx0＝x0－1”的否定是“∀x∈（0，＋∞),lnx≠x－1"，则四个命题：（綈p）∨（綈q),p∧q，（綈p）∧q,p∨(綈q）中,正确命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析因为sinx＋cosx＝eq\r（2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,4)））≤eq\r（2）,所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题．则(綈p)∨(綈q）为真命题，p∧q为假命题，（綈p）∧q为真命题，p∨(綈q）为假命题．∴四个命题中正确的有2个命题．故选B。题型3由命题的真假求参数的取值范围eq\o(\s\do1(典例1）)已知命题P:函数y＝loga（1－2x）在定义域上单调递增；命题Q：不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对任意实数x恒成立．若P∨Q是假命题，则实数a的取值范围是________．注意分情况讨论．答案a≤－2或a〉2解析命题P：函数y＝loga(1－2x）在定义域上单调递增；所以0〈a<1。又∵命题Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2）x－4<0对任意实数x恒成立;∴a＝2或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a－2〈0，，Δ＝4a－22＋16a－2〈0，）)即－2<a≤2。若P∨Q为假命题,则P假Q假，命题P为假时,有a≤0或a≥1；命题Q为假时，有a≤－2或a〉2，所以P∨Q为假时a≤－2或a〉2.［结论探究1]在本例条件下,若P∨Q是真命题，则实数a的取值范围为________．答案－2〈a≤2解析因为P∨Q为假时，有a≤－2或a>2，所以P∨Q为真时,有－2<a≤2.[结论探究2]在本例条件下,若P∧Q为真命题，则实数a的取值范围为________．答案0<a〈1解析若P∧Q为真，则P真Q真，所以a的取值范围为0<a〈1。［结论探究3］在本例条件下，若P∧Q为假命题，则实数a的取值范围为________．答案a≤0或a≥1解析因P∧Q为真，有0<a〈1,所以P∧Q为假,有a≤0或a≥1。［结论探究4］在本例条件下，若P∨Q为真命题，P∧Q为假命题,则实数a的取值范围为________．答案－2〈a≤0或1≤a≤2解析若P∨Q为真，P∧Q为假，命题P和Q一真一假，若P真Q假，无解；若P假Q真，有－2<a≤0或1≤a≤2。eq\o（\s\do1（典例2))（2018·河北调研)对任意的x>0，总有f(x)＝a－x－｜lgx｜≤0，则a的取值范围是(）A．（－∞，lge－lg（lge)] B．(－∞，1］C．[1，lge－lg（lge)］ D．[lge－lg(lge）,＋∞）用数形结合法．答案A解析对任意的x〉0,总有f(x）＝a－x－|lgx｜≤0，即a－x≤|lgx|恒成立，设y＝－x＋a，g（x）＝｜lgx|，如图，当直线y＝－x＋a与g(x）相切时，a取得最大值，设切点为A(x，y）,则－1＝（－lgx）′，得到x＝lge,所以y＝－lg(lge),所以切线方程为：y＋lg（lge）＝－（x－lge)，令x＝0得到y＝lge－lg(lge），所以a的取值范围为(－∞,lge－lg（lge）]．故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：（1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况）；（2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；（3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例1。2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应用．见典例2.冲关针对训练（2018·寿县校级月考)已知命题P：∀x∈(2,3），x2＋5>ax是假命题,则实数a的取值范围是（)A．［2eq\r（5)，＋∞） B．eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（9，2），＋∞)）C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（14,3),＋∞)） D．(－∞，2eq\r（5)]答案A解析若∀x∈（2,3),x2＋5〉ax恒成立，则a<eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（5，x）））min，x∈（2,3）．∵f（x)＝x＋eq\f（5,x)在（2，eq\r（5））上是减函数，在(eq\r(5)，3）上为增函数,∴函数f(x）的最小值是f（eq\r(5）)＝2eq\r（5）,则a〈2eq\r(5）,∵命题P:∀x∈(2，3），x2＋5〉ax是假命题，∴a≥2eq\r(5），实数a的取值范围是[2eq\r(5），＋∞)．故选A.1．（2017·山东高考)已知命题p：∀x＞0,ln(x＋1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2。下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(綈q)C．（綈p）∧q D．(綈p)∧（綈q）答案B解析∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln（x＋1)＞ln1＝0.∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．∵a＞b，取a＝1，b＝－2,而12＝1，(－2）2＝4,此时a2＜b2，∴命题q为假命题,∴綈q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，（綈p）∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题．故选B.2．(2018·郑州质检)设命题p：∀x〉0，log2x〈2x＋3，则綈p为（）A．∀x〉0，log2x≥2x＋3 B．∃x〉0,log2x≥2x＋3C．∃x〉0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3答案B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为∃x>0，log2x≥2x＋3.故选B。3．（2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是（）A．若a〉b>0，则lna<lnbB．向量a＝(1，m），b＝(m，2m－1)（m∈R）垂直的充要条件是m＝1C．命题“∀n∈N*，3n>(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N＊,3n≥（n＋2）·2n－1”D．已知函数f(x）在区间[a,b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a)·f（b)〈0，则f（x)在区间(a，b)内至少有一个零点"的逆命题为假命题答案D解析A中，因为函数y＝lnx(x>0)是增函数，所以若a>b〉0，则lna〉lnb,错误；B中，若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0,解得m＝0,错误；C中,命题“∀n∈N*，3n>（n＋2)·2n－1”的否定是“∃n∈N＊,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a）·f(b）<0”，该逆命题是假命题,如函数f(x)＝x2－2x－3在区间［－2，4]上的图象是连续不断的,且在区间(－2，4)内有两个零点，但f（－2）·f（4)>0，正确．故选D.4．(2017·皖南名校联考)设命题p：函数f（x)＝x3－ax－1在区间[－1，1］上单调递减；命题q:函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题,则实数a的取值范围是()A．（－∞，3] B．（－∞，－2］∪[2，3)C．（2,3] D．［3，＋∞)答案B解析若p为真命题,则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1,1]上恒成立,即a≥3x2在区间［－1,1］上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.由题意知,p与q一真一假．当p真q假时,eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a≥3，,－2<a<2，))则a∈∅；当p假q真时,eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a<3，,a≥2或a≤－2，）)则a≤－2或2≤a<3。综上所述，a∈(－∞,－2］∪［2,3)．故选B.［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·武邑模拟）已知命题p:∀x〉0,总有（x＋1）ex>1，则綈p为(）A．∃x0≤0,使得（x0＋1）ex0≤1B．∃x0>0，使得（x0＋1）ex0≤1C．∀x>0，总有（x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有（x＋1）ex≤1答案B解析“∀x>0，总有（x＋1)ex>1"的否定是“∃x0〉0，使得(x0＋1)ex0≤1”．故选B。2．下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞）,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)）)x0〈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,3）)）x0;p2：∃x0∈（0,1），logeq\s\do8(\f(1，2）)x0>logeq\s\do8（\f（1,3))x0;p3:∀x∈（0，＋∞），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2))）x>logeq\s\do8(\f(1，2))x；p4：∀x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3））)，eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）))x<logeq\s\do8(\f（1,3))x。其中的真命题是（)A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案D解析对于p1,当x0∈(0,＋∞）时，总有eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）））x0>eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)）)x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝eq\f(1,2)时，有1＝logeq\s\do8(\f（1,2))eq\f(1，2）＝logeq\s\do8(\f（1，3))eq\f(1,3)>logeq\s\do8(\f(1，3))eq\f（1,2)成立，故p2是真命题；对于p3,结合指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）))x与对数函数y＝logeq\s\do8（\f(1,2）)x在（0，＋∞)上的图象,可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)))x与对数函数y＝logeq\s\do8（\f(1，3))x在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,3））)上的图象可以判断p4是真命题．故选D。3．已知a>0，函数f(x）＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(）A．∃x∈R，f（x）≤f(x0) B．∃x∈R，f（x）≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0） D．∀x∈R,f(x)≥f(x0)答案C解析由题知:x0＝－eq\f(b，2a）为函数f（x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f（x）≥f(x0），因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．故选C.4．（2018·广东五校一诊）下列命题错误的是()A．若p∨q为假命题，则p∧q为假命题B．若a，b∈［0,1],则不等式a2＋b2<eq\f(1,4）成立的概率是eq\f（π,16）C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1〈0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”D．已知函数f(x)可导，则“f′（x0）＝0”是“x0是函数f(x)的极值点"的充要条件答案D解析选项A，若p∨q为假命题，则p为假命题，q为假命题，故p∧q为假命题，正确;选项B，使不等式a2＋b2〈eq\f（1，4）成立的a，b∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2））)，故不等式a2＋b2〈eq\f(1,4）成立的概率是eq\f(\f（1，4)×π×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))2,1×1）＝eq\f（π，16)，正确；选项C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D，令f(x）＝x3，则f′（0)＝0，但0不是函数f(x）＝x3的极值点，错误．故选D。5．(2017·河西区三模)已知命题p：∀x∈［1,2],使得ex－a≥0.若綈p是假命题,则实数a的取值范围为（）A．（－∞，e2] B．(－∞,e］C．[e，＋∞) D．［e2,＋∞）答案B解析命题p：∀x∈[1,2]，使得ex－a≥0.∴a≤(ex）min＝e，若綈p是假命题，∴p是真命题，∴a≤e。则实数a的取值范围为（－∞，e］．故选B。6．已知命题p:∃x∈R,mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1〉0，若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是（)A．（－∞，－2） B．[－2，0）C．(－2,0） D．（0，2)答案C解析由题可知若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真,则m2－4〈0,即－2〈m〈2,所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是（－2，0）．故选C。7．（2018·黄冈模拟)下列四个结论：①若x>0,则x>sinx恒成立；②命题“若x－sinx＝0，则x＝0"的逆否命题为“若x≠0,则x－sinx≠0"；③“命题p∧q为真"是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R,x－lnx〉0"的否定是“∃x0∈R，x0－lnx0<0”．其中正确结论的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4答案C解析对于①，令y＝x－sinx,则y′＝1－cosx≥0,则函数y＝x－sinx在R上递增,则当x〉0时，x－sinx>0－0＝0，即当x>0时，x〉sinx恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sinx＝0,则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sinx≠0”,故②正确;对于③，命题p∨q为真即p，q中至少有一个为真，p∧q为真即p，q都为真，可知“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④,命题“∀x∈R,x－lnx〉0”的否定是“∃x0∈R,x0－lnx0≤0"，故④错误．综上，正确结论的个数为3.故选C.8．(2017·广东七校联考）已知命题p：∃a∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f（1,4））)，函数f(x）＝eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(x＋\f（a,x＋1）)）在eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）,3)）上单调递增；命题q：函数g（x)＝x＋log2x在区间eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2），＋∞)）上无零点．则下列命题中是真命题的是（)A．綈p B．p∧qC．(綈p）∨q D．p∧(綈q)答案D解析设h（x)＝x＋eq\f（a，x＋1）。易知当a＝－eq\f(1,2）时，函数h(x)为增函数，且heq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）＝eq\f(1,6）〉0，则此时函数f（x)在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（1,2），3))上必单调递增，即p是真命题；∵geq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）＝－eq\f（1,2）<0，g（1）＝1>0，∴g（x)在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2),＋∞））上有零点，即q是假命题，根据真值表可知p∧(綈q）是真命题．故选D.9．已知命题p：∃x0∈(－∞，0),使得3x0〈4x0；命题q：∀x∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2）))，有tanx>x，则下列命题中的真命题是()A．p∧q B．p∨(綈q）C．p∧（綈q） D．(綈p）∧q答案D解析由3x〈4x得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，3））)x〉1,当x<0时不等式不成立,故p为假命题；由图象知tanx〉x在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）))上恒成立,故q为真命题．故D项为真．故选D。10．(2017·泰安模拟)已知命题p：存在x0∈R,mxeq\o\al（2,0）＋1〈1，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1≥0,若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是（）A．(－∞,0)∪（2，＋∞) B．(0,2］C．［0，2］ D．R答案C解析对于命题p，mx2＋1〈1,得mx2<0，若p为真命题，则m〈0，若p为假命题，则m≥0；对于命题q，对任意x∈R,x2＋mx＋1≥0,若命题q为真命题，则m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题q为假命题,则m<－2或m〉2.因为p∨(綈q）为假命题,则需要满足命题p为假命题且命题q为真命题，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,，－2≤m≤2，)）解得0≤m≤2.故选C。二、填空题11．若∀a∈（0，＋∞),∃θ∈R，使asinθ≥a成立,则coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π,6))）的值为________．答案eq\f(1,2)解析因为∀a∈(0，＋∞）,∃θ∈R，使asinθ≥a成立，所以sinθ≥1.又sinθ∈[－1,1］,所以sinθ＝1,故θ＝eq\f(π，2)＋2kπ(k∈Z)．所以coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6）））＝coseq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2）＋2kπ））－\f（π，6）))＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，3)＋2kπ))＝coseq\f(π，3）＝eq\f(1，2）。12．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解,命题q:x2－2x＋m〉0对任意x恒成立．若命题q∨（p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．答案（1,2）解析由于綈p真,所以p假，则p∧q假,又q∨(p∧q）真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－2<m<2；当命题q真时，4－4m〈0，解得m>1。所以所求的m的取值范围是1〈m<2.13．若f(x)＝x2－2x,g（x)＝ax＋2(a>0），∀x1∈[－1,2]，∃x0∈［－1,2］,使g（x1)＝f（x0)，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f（1，2）))解析由于函数g（x)在定义域［－1,2］内是任意取值的,且必存在x0∈[－1，2］，使得g（x1）＝f（x0)，因此问题等价于函数g（x）的值域是函数f（x）值域的子集．函数f(x)的值域是［－1,3]，函数g（x)的值域是[2－a，2＋2a］，则有2－a≥－1且2＋2a≤3,即a≤eq\f（1,2)。又a〉0,故a的取值范围是eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2）））.14．(2017·衡水调研）直线x＝1与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记eq\o（OP,\s\up16（→))＝aeq\o（OM，\s\up16(→））＋beq\o(ON,\s\up16（→))(a，b∈R），其中O为抛物线C的顶点．(1)当eq\o(OP,\s\up16(→)）与eq\o(ON,\s\up16(→））平行时，b＝________；（2)给出下列命题:①∀a，b∈R,△PMN不是等边三角形；②∃a〈0且b〈0，使得eq\o(OP,\s\up16(→）)与eq\o（ON，\