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文档简介
§1．3
数学模型——定解问题一、三类典型方程
的建立
定解问题——建立微分方程及定解条件
1、波动方程弦的微小横振动方程：设一拉紧的，均匀的，柔软的弦，在外力F(x,t)作用下，弦作微小的横振动，试建立弦振动方程。横振动：指弦上各点在同一平面内沿垂直于弦的平衡位置的运动。取弦的平衡位置为x轴，u(x,t)表示弦上的点x，在时刻t的位移，u(x,t)描述了所研究的弦振动现象。假设弦柔软，有弹性，不可伸长，重力与张力相比可忽略，作微小振动，取微元ABFuoxxBAT由微分中值定理，得
令，有，得
称为弦的强迫振动方程。其中
若弦不受外力作用，即，（1.3.1）化为
称为弦的自由振动方程（又称一维波动方程）。
类似地可推导（建立）二维、三维波动方程。二维（水波、鼓面振动）三维波动方程（电磁波）
2、热传导方程
热传导：当物体内各点的温度分布不均匀时，热量就要从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。为的热源，试建立热传导方程。设温度分布不均匀的热物体,体内有密度设为点在时刻t的温度（推导略）称为非齐次热传导方程。
(1.3.3)若热物体内无热源，方程（1.3.3）化为
称为齐次热传导方程。
3、拉普拉斯方程和泊松方程
若温度不再随时间而变，即，则
称为三维泊松方程。(1.3.4)称为三维拉普拉斯方程。引入拉普拉斯算子，它表示微分运算法则
将它作用于上，将得到，因此拉普拉斯方程可表示为
二、定解条件1、初始条件波动方程中含有有关于时间t的二阶偏导数项项需要给出两个个初始条件。热传导方程中含含有对时间t的一阶偏导数项项，需要一个初初始条件，即应应给出初始时刻刻t=0时温度的分布。。拉普拉斯方程和和泊松方程是描描述稳定场的，，不含时间t，因而不需初始始条件。注：初始条件的的个数与方程中中未知函数关于于时时间偏导导数的阶数应相相等。2、边界条件为边界，n为边界的外法矢。
三类边界条件，，可以统一写为
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