平面与平面的位置关系

关于平面与平面的位置关系第一页，共四十页，编辑于2023年，星期一两个平面可能有哪些位置关系呢?现观察长方体A-C1的各个面的关系:图形表示符号表示公共点两平面相交两平面平行位置关系有一条公共直线没有公共点第二页，共四十页，编辑于2023年，星期一画两个相交平面的要点是：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，再画表示两个平面交线的线段第三页，共四十页，编辑于2023年，星期一命题1．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．命题2．如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行．1.平面平行第四页，共四十页，编辑于2023年，星期一平面平行的判定定理:

如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.例1.如图,在长方体A-C1中.求证:面AB1D1//面BDC1A1ABB1CC1DD1第五页，共四十页，编辑于2023年，星期一判断下列命题的正误：1．垂直于同一直线的两直线平行．2．分别在两个平行平面内的两条直线都平行3．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行4．如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行第六页，共四十页，编辑于2023年，星期一ABCDA1B1C1D1证明：BD∥B1D1∩BD面BDC1∩B1D1

面BDC1B1D1∥面BDC1同理：AB1∥面BDC1B1D1∩AB1=B1面AB1D1∥面BDC1线∥线线∥面面∥面例1.如图,在长方体A-C1中.求证:面AB1D1//面BDC1第七页，共四十页，编辑于2023年，星期一ABCDA1B1C1D1证法2：AC⊥BDA1A⊥面ACA1C在面AC上的射影为ACA1C⊥BDBD∩BC1=BA1C⊥BC1同理:A1C⊥面BDC1同理:A1C⊥面AB1D1第八页，共四十页，编辑于2023年，星期一变形1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为A1D1,A1B1,A1A的中点求证：面EFG∥面BDC1变形2:若O为BD上的点求证：OC1∥面EFGO面∥面

由上知面EFG∥面BDC1∩OC1

面BDC1ABCDA1B1C1D1EFG线∥面OC1∥面EFG第九页，共四十页，编辑于2023年，星期一变形3:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,M,N分别为A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中点ABCDA1B1C1D1EFNM求证：面AEF∥面BDMN第十页，共四十页，编辑于2023年，星期一思考:如果两个平面平行,那么;1.一个平面内的一条直线是否平行于另一个平面?2.分别在两平面内的两条直线的位置关系是____.两平行平面的性质定理:

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一例2.求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么它也垂直于另一个平面.AB第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一判断下列命题是否正确？1、平行于同一直线的两平面平行2、垂直于同一直线的两平面平行3、与同一直线成等角的两平面平行αβαβθθαβθθ第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一4、垂直于同一平面的两平面平行5、若α∥β,则平面α内任一直线a∥β6、若nα,mα,n∥β,m∥β则α∥β∩∩αβnmγβα第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一定义:

与两平行平面都垂直的直线叫做这两个平行平面的公垂线.夹在两平行平面之间的公垂线段叫做两平行平面间的距离.练习:1.判断下列命题是否正确.说明理由;(1)一平面内两条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行;(2)一平面内无数条直线分别平行于另一个平面,则这两平面平行;(3)平行于同一条直线的两个平面平行；(4)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(5)过平面外一条直线必能作出与已知平面平行的平面。第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一复习回顾1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。二面角第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a'//a,b'//b,我们把相交直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。

3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一思考：异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征？它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。拦洪坝水平面第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一OBA

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。平面角由射线--点--射线构成。二面角由半平面--线--半平面构成。

lABPQ二面角的表示第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期一l二面角－l－二面角C－AB－DABCD二面角的画法CEFDAB第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面AOB二面角a或ABa棱面面AB第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的度量l二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直二面角的大小的范围:第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一l二面角的平面角的作法：1、定义法3、垂面法2、三垂线定理法第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--A

ADBCl二面角--l--OEOO二面角A--BC--DD第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一AOD例1

已知锐二面角－

l－

，A为面内一点，A到的距离为2，到

l的距离为4，求二面角

－l－的大小。解：过A作AO⊥于O，过O作OD⊥l于D，连AD则由三垂线定理得

AD⊥l∴AO=2，AD=4∵AO为

A到的距离，AD为

A到l的距离∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∵sin∠ADO=∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小为60°在Rt△ADO中，AOAD①②③l第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明

1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一例题选讲ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角D1—AC—D的大小？O此法为三垂线找平面角的方法第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一课堂练习在正方体AC1中，E，F分别是AB，AD的中点，求二面角C1—EF—C的大小？EFABDCA1B1D1C1第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期一例题选讲过正方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD，并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度角，求二面角B—SC—D的大小？ABCDSOE第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一ABCA`M已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`，⊿ABC的面积是S，⊿A`BC的面积是S`，设二面角A-BC-A`为求证：COS=

S`÷SD第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一3.两平面垂直平面垂直的判定定理:

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两平面垂直平面垂直的性质定理:

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.DBAE第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一例题选讲第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一例题选讲例3.求证:如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一个点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内。第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置在下列条件下，判断正三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC内的射影位置1、三条侧棱相等2、侧棱与底面所成的角相等3、侧面与底面所成的角相等4、顶点P到⊿ABC的三边距离相等5、三条侧棱两两垂直6、相对棱互相垂直7、三个侧面两两垂直外心外心内心内心垂心垂心垂心第三十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一四面体ABCD中，面A