高三数学研讨会解题思路资料1

高三数学研讨会解题思路资料1第一页，共67页。四、指导教师相约（1）研究科学破除迷信（2）研究真题找到题根（4）通融教材厚书变薄

（3）研究例题提炼思想（5）坦诚为师认生为友第二页，共67页。

有人一意“追新追名”，结果却追上了“怪物”！

有些备考“专家”，为市场利益所驱动，经常制造怪物.

怪物可用来开心，但在科学高考看来，它是“异类”.（1）研究科学破除迷信备考中的迷信是“崇名”：名人、名言、名校、名卷等等。别忘了自己就是名师！科学的对立面是迷信.高考备考要科学不要迷信！教师相约第三页，共67页。【题目】

已知函数求f(0)的值.是“新题”还是“怪物”【学生解法】令则函数化为f(u)=1+u2“标准解答”

因为≠0，所以函数值f(0)不存在.所以f(0)=1【点评】

哭笑不得吧！这种“复合函数”会考吗？教师相约第四页，共67页。是“详解”还是“笨法”

不知道是为了张扬细节，还是为了多赚稿费，有的解答详尽万分，以至“详尽过头”！

以下就是多种笨法中的一种，如今还挂上多种名牌在市场上流通，被许多考生迷信为“精品”！教师相约

所谓过头，就是这些解答“因详至伪”、“因详至笨”！

数学的精华就是简化！”繁法”多为“烦法”或“反法”

。

如08年2卷第15题，本是一道一望而答的填空题，却有为其写出了千字文以上的解答，不厌其详地介绍了多种笨法的操作过程。第五页，共67页。笨法之一解A、B两点【考题】

已知F是抛物线C∶y2=4x

的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于（）

【详法】依题意设点

，

则有

，由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，从而解得AB两点的坐标分别为（0，0）和（4，4）。

教师相约解得【质疑】

想干什么？一道填空题，值得这样搞吗？第六页，共67页。笨法之二认AB为底【考题】

已知F是抛物线C∶y2=4x

的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于（）

【详法】依题意设点

，

则有

，由此得y1y2=0，解得y1=0且y2=4，直线AB的方程是x－y=0，点F（1，0）到直线AB的距离等于

，

，

所以△ABF的面积等于

教师相约第七页，共67页。小题看图一望而答【考题】

已知F是抛物线C∶y2=4x

的焦点，A、B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于（）

【图解】从方程到图形，易知抛物线y2=4x上半部有两个整点A（0，0）和B（4，4），图右.

看图可知，△ABF的面积为2.线段AB的中点为M（2，2）.教师相约第八页，共67页。说清“是”同时说清“不”负责的老师，在告诉考生哪些要考的同时，还要说清哪些不考.不负责的老师则是：所有的这些都重要，都可能考！其实，按考纲的要求，已经有许多旧的东西声明不考了：（1）二元以上的平均不等式；（2）用万能置换公式进行三角变换；（3）没有提示垂足的异面直线间的距离；（4）二次曲线划分平面区域；（5）值域与定义域“不传递”的复合函数.如此等等.教师相约第九页，共67页。高考复习防止四贪（1）贪多。必然混入歧枝，偏离学科主干。（2）贪高。必然忽视基础，偏离考生实际。（3）贪快。必然陷入过场，造成消化不良。（4）贪新。必然陷入形式，防碍深入内涵。贪多的反面是求精，贪高的反面是求准，贪快的反面是求稳，贪新的反面是求实。教师相约：精、准、稳、实。教师相约第十页，共67页。（2）研究真题找到题根说一千道一万高考不过一张卷病急切忌乱投医研究真题最合算教师相约第十一页，共67页。研究真题是研究备考的捷径，另取他题，多走歧途.真题——考点准而信度好；真题——方向明而内容精；真题——成本低而效益高.因为人们对真题多有“前期投入”，在根基上建树易出成果，比“另起炉灶”省力.人们关心的是：真题能够创新吗？回答是肯定的：所有的考题都是“温故知新”的结果！真题——

成本低而效益高教师相约第十二页，共67页。全国1卷第10题研究题根【考题】若直线通过即是：若

ax+by=1，x2+y2=1,则

a2+b2≥1教师相约第十三页，共67页。研究第10题

找到题根【寻根】

第10题的题根有如下形式：【认知】

这是一个已知两个等式,求证一个不等式的问题.

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.

这是一个已知两个等式,求另个式子的值域问题.

这是一个相等与不等互相链接的问题.【见根】

代数题根：第一型二元二次组有解的1条件。

几何题根：直线与圆有公共点的条件。教师相约第十四页，共67页。代数寻根找到方程【题根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.【视角】

视二等式为方程组，研究方程组有解的条件.【解法】

由x2+y2=1，ax+by=1消去y.得关于x的一元二次方程：由根的判别式得:教师相约【追根】

二次方程组的判别式，其根在二次方程的判别式中.第十五页，共67页。【题根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.【视角】

看作由等式向不等式的转换，用平均不等式放缩.【解法】

由ax+by=1两边平方,得:教师相约题根转向沟通不等式第十六页，共67页。几何寻根找到图形【题根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.【视角】

视方程为轨迹图形，求图形有公共点的条件.【解法】

视方程ax+by=1为直线，x2+y2=1为圆.

直线到圆心的距离小于圆的半径1.

原方程组有解，对应到解析几何中，则条件变为：教师相约【根脉】

题根根脉并不多，除了代数是几何！第十七页，共67页。【题根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.【视角】

视ax+by=1为和角展开式，x2+y2=1为同角平方式.【解法】

由x2+y2=1，令x=cosα,y=sinα.

代入直线方程得：acosα+bsinα=1教师相约题根转向链接三角第十八页，共67页。【题根】

已知ax+by=1，x2+y2=1，求证a2+b2≥1.【视角】视

ax+by=1为数量积，x2+y2=1为向量长度的平方.【解法】

视

ax+by=1为向量OM(x,y)与ON(a,b)的数量积.

则有

ax+by=(a,b)(x,y)=|OM||ON|cosθ=1.

故有

a2+b2≥1.

即是

教师相约题根转向链接向量

【见智见仁】题根顺着视角走，图者见图数见数；

视角旋转三百六，处处留心看入口。第十九页，共67页。视角变换

题根延伸

视角ax+by=1x2+y2=1a2+b2≥1.

解几轨迹直线轨迹圆有公共点

三角和角展开式三角平方式振辐范围

向量向量数量积单位向量长度范围

不等式两积的和平方和平均放缩

方程一次方程二次方程有公共解教师相约第二十页，共67页。

一个题根一片林

题有根根伸本

根本发展成森林

孤株断木不成体

单抓独撞太孤鳞

抓一根得一片枝枝蔓蔓题题新教师相约要题多少有多少莫向题海枉费神第二十一页，共67页。【原题】已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.借助真题设计新题【说明】用多种方法，可以求得本题的答案为(–2，0).

研究如何借助原题的题根，进行条件更换，设计出在款式一新、情景一新、要求一新、难度不同的新题.教师相约既然一个题根可以发展成一片森林，那么利用真题的题根编写新题，则是一件左右逢源、林中选秀的有趣之事！第二十二页，共67页。【原题】已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.答案为(–2，0).【寻根】已知|OP|<2，|OP|2=|PA||PB|，求PA

·

PB

的取值范围.【研究】如何借助原题的题根，进行条件更换，设计出款式新、情景新、要求新、难度不同的新题.教师相约【说明】高考命题，说到底，是在进行这种“真新变换”.找到真题研究变换第二十三页，共67页。已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.答案(–2，0).【变题1】（变更点P的位置）（1）动点P由“圆内”变到“圆外”，答案由(-2，0)变到(0，∞)，题目难度持平；（3）点P由“圆内”变到“两圆x2+y2=1，x2+y2=4之间”，则难度提高.（2）点P由“圆内”变到“平面”，答案为(-2，∞)，难度降低；教师相约变更条件难度不同第二十四页，共67页。已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.答案(–2，0).【变题2】（变更点P的轨迹）（1）条件|PA|、|PO|、|PB|成“等比数列”变为成“等差数列”，则P点的轨迹由“双曲线”变为“直线”.——题目变难.（2）条件|PA|、|PO|、|PB|成“等比数列”变为“|PA|2+|PB|2为常数”，则P点的轨迹变为“圆”.——题目变易.教师相约变更题设题目不同第二十五页，共67页。已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.答案(–2，0).【变题3】（变更设问全是新题）（1）求动点P的轨迹方程：题目变易；（2）求动点P的轨迹图形截得圆的弧长：题目持平；（3）求动点P的轨迹图形与圆交点处的切线方程：题目的综合度变大.题目变难.教师相约变更设问目标不同第二十六页，共67页。已知圆的方程为x2+y2=4，圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围.答案为(–2，0).【变题4】（变更载体全是新题）（1）将题(Ⅰ)中的“圆x2+y2=4”变为“抛物线x2=4y”，AB为抛物线的通径，点P在通径左边的弓形内，新题与原题持平；（2）将题(Ⅰ)中的“圆x2+y2=4”变为“椭圆x2+4y2=4”，AB为椭圆的一条弦.新题(Ⅱ)可随弦AB的位置不同而改变难度.教师相约变更载体情景不同第二十七页，共67页。（3）研究例题提炼思想命题人也要在课本中说出依据：知识依据、方法依据、思想依据.上新课讲例题，按知识点就题讲题；复习课讲例题，按逻辑链归纳方法；一轮备考复习例题，除了系统知识外、注意力应转到归纳方法、提升思想。课本寻根：“义根”在定义中，“理根”在公理、定理上，而“题根”则在例题、习题之中！教师相约第二十八页，共67页。{}{a，},{b，

}{a，b，}由2到3从列举到递推【解析】

先拿来集合{a,b}的所有子集，排成左下方的三角阵

在后一个三角阵的每个集合中，依次添上第三个元素c，得一个新的三角阵.这两个三角阵中“元素”的集合便是{a,b,c}子集集合.c{}{a},{b}{a，b}

将左边的三角阵复制成另一个相同三角阵（如右）.【思考】

这是一个关于“3”的问题，拿“2”来解决.ccc教师相约

【问题】

写出集合{a,b,c}的所有子集.第二十九页，共67页。{}{a},{b},{c}{a,b},{a,c},{b,c}{a,b,c}将新的三角阵“下移”一行，与原三角阵错位相并，即得H3={a,b,c}的三阶子集三角阵：

依次可得到H4={a,b,c,d}的（四阶三角阵）子集。{}{a,},{b,},{c,}{a,b,

},{a,c,},{b,c,

}{a,b,c,}dddddddd由3到4递推法连续

递推法，就是“添1法”，或称“添1合1法”

。教师相约第三十页，共67页。k跨1步就是

k+1

由2到3、由3到4，都是1步之跨.教师相约1步虽小，但我们一直走去，可以到达天边！这就是“递推法”的力量所在！

由1开始，由任何已知的k，都能把它推向k+1.

因此，由1到n的问题可靠递推解决.第三十一页，共67页。1分为2

两分法起家划分，到底将事物分成几类？在子集扩展的递推过程中给出了“两分法”.分类思想、分类法，是分析事物的基本思想方法，由此产生了“划分法”.两分法的重要性，在于这种方法把事物分成“互斥互补”的两部分：从整体到部分是一分为二，从部分到整体是合二而一.教师相约请记住，H3={a,b,c}的子集分两类，含c的4个，不含c的也是4个。第三十二页，共67页。分层划分树干图启蒙集合H3={a,b,c}的子集形成，可分三步，实为三层：第1步考查元素a，分“无和有”两种情况；第2步考查b，也分有、无两种情况；第3步，还是“有、无”两种情况.分步就是分层，将各层的可能数相乘，就是所有的子集个数.树干图是分层划分的“数形结合”，用它来分析集合问题，可达到防重、防漏的效果.教师相约第三十三页，共67页。H3={a,b,c}的子集形成，按“三层两分”不同情况的组合用图线连接起来，得到如下的树干图.三层划分树干图的典型教师相约第三十四页，共67页。树干图与逻辑分类事物的分类就是两分法，“三分法”在逻辑上“不存在”.所谓的“三分法”是两分法分层分类的“局部形式”.【例题】5人站队，甲不站头，乙不站尾，求站法总数.【说明】“三分法”导致错误如下.5人站队分三类：错因：三分法不是“互补”式的逻辑划分，加法原理无效.（1）甲在头4！；（2）乙在尾4！；（3）甲不头，乙不尾设作x.x=5!-2×4!=72.教师相约第三十五页，共67页。树干图解分类组合第一层按甲划分：（1）甲在头，（2）甲不头；第二层按乙划分：（1）乙在尾，（2）乙不尾.得树干图如下：5！甲在头乙在尾：3！乙不尾：3·3！甲不头乙在尾：3·3！乙不尾：x由加法原理，得方程3！+3·3！+3·3！+x=5!解得x=78教师相约第三十六页，共67页。所谓组合即是抽出子集教师相约

组合，即从集合中抽出子集.

写出n元集合Hn={x1，x2,…，xn-1，xn}的子集（集合）。

就是从n个元素依次取出r个元素的（子集）组合数.就是中的r依次从0取到n时所形成的子集个数数列.

组合的一切性质，都深深地扎根于集合的子集之中.

实际上是从n元集合Hn中分别取出0个元素、1个元素、2个元素、…、n-1个元素，n个元素分别作成的“组合”第三十七页，共67页。看清1+1认知乘法公式教师相约

空集合的子集数是11元集合的子集数是1+12元集合的子集数是（1+1）

·

（1+1）=1+2+13元集合的子集数是（1+2+1）

·

（1+1）=1+3+3+14元集合的子集数是（1+3+3+1）

·

（1+1）=1+4+6+4+1……这就是二项式展开式的系数式.第三十八页，共67页。1+1迭起金字塔堆成

空集合的子集只1个，作金字塔顶；杨辉三角实为子集三角阵的“立体本”。教师相约1元集合的子集有2个，作塔的1层；2元集合的子集有22个，作塔的2层；3元集合的子集有23个，作塔的3层；…………4元集合的子集有24个，作塔的4层；5元集合的子集有25个，作塔的5层；n元集合的子集有2n个，作塔的n层。第三十九页，共67页。由“肩扛两数”的性质，得到组合数的加法公式组合加法就是子集迭加法教师相约按子集形成，组合数是n元集合中含r个元素的子集个数。全部变为含含r个元的子集。它由n-1元集合（上一行）中两部分子集合成：一是该集合中含r个元素的子集个数；二是该集合中含r-1个元素的子集个数，在这些含r-1个元子集中，依次添上第r个元素后，则

含第r个元素的有个；不含第r个元素的有个。用两分法的观点看组合数加法，则是：将一分为二，111CCC---+=rnrnrn第四十页，共67页。回答是：想走多远，就能多远！学生对排列组合、概率统计感到抽象，说到底是对“子集变换”这条根没有链接上去！子集引路还能走多远教师相约因为数学研究的对象就是集合及其元素，这些对象的变换，说到底就是集合的子集变换！以下，我们以杨辉三角为“中转站”，看看如何把“子集变换”引向数列？引向高考压轴题？为此，我们先看一段杨辉三角的“杂技表演”！计数问题，实为子集的量化问题。第四十一页，共67页。（1）组合加法杂技表演，一杆通顶：抓一个，抛一个！反映到图中是“一肩扛两数”：10=4+6（2）组合加法的推广加法推广看门道：数列求和：1+2+3+4=10看杨辉三角表演顶杆杂技教师相约第四十二页，共67页。第1斜列：1、1、1、1、……、1；杨辉三角看数列求和教师相约发现：下一斜列的通项公式恰为上一斜列的求和公式。发现：等差数列及其高阶等差数列的基本公式全在杨辉手中！第2斜列：1、2、3、4、……、；第3斜列：1、3、6、10、……、；第4斜列：1、4、10、20、……、；如的求和公式是第四十三页，共67页。【观察】

竖看杨辉三角，得等比数列bn=2n-1等比求和再请杨辉教师相约每下一行数，都是上面各行数的和再加1.b1+b2++bn+1=bn+1

得求和公式Sn=2n-1幂数列的求和公式Sn=2n–1是等比数列求和的根基，试看：第四十四页，共67页。［考题］

设{an}是集合{2t+2s|0≤s<t，s，t∈Z}中所有的数从小到大排成的数列.a1=3,a2=5,a3=6,…,

a6=12,…,

（1）写出这个三角形第四行、第五行的各数.（2）a100在这个三角形的第几行、第几列？（3）求a100.教师相约子集计数爬上高考压轴题将数列各项排成如下的三角形表：

35691012………………第四十五页，共67页。［考题］设{an}是集合{2t+2s|0≤s<t，s，t∈Z}中所有的数从小到大排成的数列.a1=3,a2=5,a3=6,…,a6=12,…,排成如下三角形（1）第四行、第五行？（2、3

）a100？教师相约集合压轴题难在哪里35691012………………对当年的这道第22题（压轴），能得分者甚少，有的根本就看不懂题意，至今人们还有余恐.其实，那是一道集合的2元子集组合问题，或说是一道“两个幂数列的求和问题”.第四十六页，共67页。

3

56910

12教师相约请来杨辉一点即破将左三角形的1、2两行相加，得右三角形的第1斜列第1个数3；将左三角形的1、3两行相加，得右三角形的第1斜列第2个数5；将左三角形的1、4两行相加，得右三角形的第1斜列第3个数9；将左三角形的1、5两行相加，得右三角形的第1斜列第4个数17；

17

33

……2n+1

18

34

20

36

24

40

48

第四十七页，共67页。例1之歌交响之音例1提炼三种法：列举递推两分法。

加法乘法两原理。例1讲明两大理，排组概率与统计。二项式与组合式。例1介绍两种式，例1链接三种题，例1展开一张图，杨辉三角一揽收

杨辉三角埋多深，研究例1这条根！教师相约杨辉三角看数列，斜看等差竖看比。

谁把例1弄个透，高中数学好漫游！第四十八页，共67页。（4）通融教材厚书变薄讲代数讲几何数形结合归一个初中课高中课弟弟如今成哥哥高考复习讲整合沉重教材要变薄教师相约第四十九页，共67页。通融教材的几个方面（1）函数、导数与不等式（2）解几、立几与平几（3）函数图像与方程图形

（4）三角、向量与复数（5）集合、计数与概率（6）高中数学与初中数学教师相约以下就初、高中数学的打通举例第五十页，共67页。初中高中首先打通【性质】它们的性质相似：共轭虚数的和与积是实数，共轭无理数的和与积是有理数.【打通】在ax2+bx+c=0的求根公式中，它们有缘相遇.【意义】打通后，一元二次方程求根问题不仅美满，而且简捷.【共轭】高中有共轭虚数：a±bi，初中有共轭无理数：a±前者，△≥0时，有后者，△<0时，有教师相约一元二次方程的根有：（1）成对性，（2）合成性.第五十一页，共67页。不套公式一望而答【题目】口答以下一元二次方程的根：【简化】一元二次方程

x2-2px+q=0.【点评】提高速度——短武器，必须锋利！（2）△<0时，x1,2=p±（1）△≥0时，x1,2=p±（1）y2-4y-4=0（2）y2-2y+3=0（3）y2+10y+1=0教师相约第五十二页，共67页。方差公式与等比求和【方差公式】1-q2=(1-q)(1+q)1-q3=(1-q)(1+q+q2)【点评】初中生说，推导等比数列求和公式其实很简单，是高中生把它搞复杂了！得得【等比求和】由

1-qn

=(1-q)(1+q+q2++qn-1)1-qn=(1-q)(1+q+q2+

+qn-1)教师相约第五十三页，共67页。等差求和与面积公式【例题】求自然数列中，从100到200的各数之和.

【解法1】

即求S200与S99的差【点评】解法2的成功，在于把等差数列求和公式与梯形面积公式的打通！其中，【解法2】按梯形面积公式有所以.教师相约第五十四页，共67页。【打通】

二次函数x2–px+q有实根的充要条件是根的判别式△≥0成立，即p2≥4q.令p=x1+x2，q=x1x2，则有初中方程与高中不等式(x1+x2)2≥4x1x2【结论】

平均不等式A≥G是判别不等式△≥0的特例.它们不是兄弟关系，而是母子关系！当x1，x2>0时，则有教师相约第五十五页，共67页。（1）一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根的条件是b2-4ac≥0（2）二元二次（圆）方程x2+y2+2Dx+2Ey+F=0

有轨迹的条件是D2+E2≥F判别式与条件不等式（3）二元一次方程ax+by+c=0有图形的条件是a2+b2>0.【说明】方程（组）有解，或方程有图形的条件，落实到一个（多元）不等式，它们都是根的判别式的发展。（4）直线ax+by=1与圆x2+y2=1有公共点的条件是

a2+b2≥1教师相约第五十六页，共67页。右边得加点什么？不等式的配平与恒等式的倾斜【思考】要把不等式(x1+x2)2≥4x1x2配平成等式【说明】不等式由恒等式倾斜而得，恒等式由不等式配平而成.上例的转换筹码就是不负数(x1-x2)2≥

0不难发现，要加的东西是(x1-x2)2加上即得(x1+

x2)2=(x1

-

x2)2+4x1x2放缩法，就是不等式与恒等式添减转换筹码的过程.教师相约第五十七页，共67页。连等与放缩【说明】初中的“比例性质”可带进高中的“分式的放大性”！后者缩小成前者：教师相约【连等】分式有基本