材料力学讲义三三

材料力学讲授:顾志荣同济大学航空航天与力学学院

顾志荣第九章能量法

材料力学第九章能量法利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等有关问题的方法,称为能量法第九章能量法外力功变形能利用功能原理计算位移四求位移的卡氏定理第九章能量法外力功定义:任何弹性体在外力作用下都要发生变形。弹性体在变形过程中,外力沿其作用线方向所作的功,称为外力功。第九章能量法/一外力功

第九章能量法/一外力功

计算1、常力作功若体系上受到一个大小不变的常力P的作用,然后P力的作用点又沿着P力的作用方向上有了位移,则该力所作的功为式中的P为广义力,为广义位移.第九章能量法/一外力功·计算

２、变力作功结构上的静荷载从零逐渐增加到最终值,即加载过程中的外力是一个变力。变力所作的功为第九章能量法/一外力功·计算

3、多个力作用下的外力功若弹性体上作用着几个外力(P1,P2……,Pn)时,则所有外力作的总功等于这些力分别与其相应位移乘积之和的一半;3、多个力作用下的外力功外力功的最终值仅与各个外力的最终值有关,而与各个力的施加次序无关第九章能量法/一外力功·计算

第九章能量法法/一外力功功·计算例题:计算图示示简支梁上的外外力功BCAL/2L/2PEIEImo第九章能量法法/一外力功功·计算解:(1)位移计计算梁在P和mo共同作用下C截截面的位移和和B截截面的转角：：BCAL/2L/2Pmo第九章能量法法/一外力功功·计算解:(2)外外力功的计算第九章能量法法/一外力功功·计算分析与讨论若先加P，后加mo，则外力功为第九章能量法法/一外力功功·计算分析与讨论若先加mo，后加P，则外力功为第九章能量法法/一外力功功·计算分析与讨论比较计算结果，，说明：即作用在弹性体体上的所有外力力作的总功W,等于这些力分分别与其相应位移乘乘积之和的一半半。而与各个力力的施加次序无无关。第九章能量法法变形能第九章能量法法/二变形能能1变形能、功功能原理定义：变形能当弹性体受到外外力作用而发生生变形时，外力力在相应的位移上所作作的功全部以能能量的形式储存存在弹性体内，这种因变形形而储存的能量量称为变形能。。第九章能量法法/二变形能能1变形能、功功能原理定义：功能原理理外力功等于变形形能（能量守恒恒及转换原理））2、杆件产生基基本变形时的变变形能（1）轴向拉伸伸或压缩PLLoBLPA式中——轴力，A——截面面积第九章能量法法/二变形能能由拉压杆件组成成的杆系的变形形能：P12345受力复杂杆(轴轴力沿杆的轴线线变化)的变形形能qLxdx第九章能量法法/二变形能能（2）圆截面杆杆的扭转mLmoBmA圆截面杆的变形形能式中Mn——圆杆横截面上的扭矩；——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。

第九章能量法法/二变形能能受力复杂的圆截截面杆(扭矩沿沿杆的轴线为变变量)

xdxLtAB第九章能量法法/二变形能能（3）平面弯曲曲纯弯曲梁的变形形能：式中M－梁横横截面上的弯矩矩；I－梁横截面对对中性轴的惯性性矩LmmoBAm第九章能量法法/二变形能能横力弯曲梁(弯弯矩沿梁的轴线线为变量)的变变形能Pm=PaACBaa第九章能量法法/二变形能能式中一般实心截面的的细长梁:剪切切变形能远小于于其弯曲变形能能，通常忽略不不计。k由截面的几几何形状决定:矩形截面:k=1.2,圆截面:k=10/9,圆环形截面:k=2。（4）剪切第九章能量法法/二变形能能L3产生组合变变形时的变形能能注意：变形能为为内力（或外力力）的二次函数数，故叠加原理理在变形能计算算中不能使用。。第九章能量法法/二变形能能4关于变形能能计算的讨论以上计算公式仅仅适用于线弹性性材料在小变形形下的变形能的的计算。变形能可可以通过过外力功计算，也也可以通通过杆件件微段上上的内力功等于微段段的变形形能，然然后积分分求得整整个杆件件上的变变形能。。变形能为为内力（（或外力力）的二二次函数数，故叠叠加原理理在变形形能计算算中不能使使用。只有当当杆件上上任一载载荷在其其他载荷荷引起的的位移上上不做功功时，才可可应用。。4变变形能是是恒为正正的标量量，与坐坐标轴的的选择无无关，在在杆系结结构中，，各杆可可独立选选取坐标标系。第九章能能量法法/二变变形能能第九章能能量法法/二变变形能能BlAmoEIx例题计计算图图示梁在在集中力力偶mo作用下的的变形能能(a)第九章能能量法法/二变变形能能BlAPEIx例题计计算图图示梁在在集中力力P作用用下的变变形能(b)第九章能能量法法/二变变形能能BlAPEIx例题计计算图图示梁在在集中力力偶mo、集中力力P共同同作用下下的变形形能(c)第九章能能量法法/二变变形能能分析与讨讨论(1)从从上述述变形能能计算结结果可知知：这是因为为即变变形能是是力的二二次函数数,一般般说来,变形能能不可以以简单的的叠加第九章能能量法法/二变变形能能分析与讨论(2)为什么有时时两种荷载单独作作用时的变形能可可以进行叠加,是是因为其中一种荷荷载在另一种荷载载引起的位移上不不作功.例如,一直杆同时时承受弯曲与扭转转作用时,就可以以把扭转变形能和和弯曲变形能叠加加起来进行计算.因为扭转在弯曲曲引起的转角上上不作功功,弯矩在扭转引引起的扭转角上上也不作作功.第九章能量法利用功能原理计算算位移利用可可以计计算荷载作用点的的位移,但是只限于单一荷载作作用,而且所求位位移只是荷载作用用点(或作用面)沿着着荷载作用方向与与荷载相对应的位位移。第九章能量法/三利用功能原原理计算位移blaP例题图示变截截面受拉杆，E、A为已知，求求加力点C的水平平位移第九章能量法/三利用功能原原理计算位移lc2AA第九章能量法/三利用功能原原理计算位移解：（1）变形能计计算整根杆的变形能第九章能量法/三利用功能原原理计算位移（2）位移计算即得第九章能量法/三利用功能原原理计算位移分析和讨论1若需要位移移处无外力作用,如求b截面,外外力功表达式中无无需求的位移项,因此无法求。。2若在该杆上上作用的外力多于于一个,如在b截截面上还作用一个个P1力,这时.外力表表达式无两个或两两个以上的位移,显然也不能求位位移的大小。第九章能量法四求位移的的卡氏定理1卡式定理若弹性体上作用着着多个外力(广义义力),则该弹性性体的变形能,对于任任一外力的偏导数数,就等于该力作用处处沿其作用方向的的位移(广义位移移),即第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理1卡式定理的证证明设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在相应的力方向产生的位移为，(i=1,2,…,n)。可以证明：第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理证明：再加增量，则变形能U的增量dU为梁的总变形能为：(a)考虑两种不同的加加载次序。(1)先加，此时弹性体的变形能为U：第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理(2)先加，，然后再加加，，此时时弹性体的变形能能由三部分组成：梁的总变形能为：：(b)(a)在在相应的位移上上所作的功(b)在在相应位移上上所作的的功：(c)原先作用在在梁上的对位移所作作的功第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理根据弹性体的变形形能只决定于外力力的最终值，而与与加载的次序无关关。(a)(b)两式相等：略去二阶微量，化化简后得：证毕。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理3卡氏定理的应应用应用卡氏定理计算算位移时应注意:（1）卡氏定理中中的应理解解为广义力，应应理解为广义位移。（2）只有当弹性系统统为线性，即其位位移与荷载成线性关系时，才能能应用卡氏定理。。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理应用卡氏定理计算算位移时应注意:（3）当需利用卡卡氏定理来计算没没有外力作用处的的位移（或所需要要的位移与加力方方向不一致）时，，可在需要位移处处沿着所需求位移移的方向任设一个个力（等等于零），写出所所有力（包括））作用下的的变形能U的表达达式，并将其对求求偏导数数，然后再令等等于零，便得得所求位移。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理（4）先偏导后积积分利用卡氏定理解位位移时，一般遵循循“先偏导后积分分”的原则：①列出内力方程②先偏导，即求出出的的结果；；③后积分，完成上上述偏导后，再将将其代入下列式中中进行积分，从而而求得需求位移。。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理卡氏定理在各种受受力情况下的表达达式拉（压）杆：扭转杆：弯曲变形杆：组合变形杆：桁架：第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理应用卡氏定理求出为为正时，表示该该广义位移与其相相应的广义力作用用方向一致；若为为负值，则表示方方向相反。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理例题试求图示示梁自由端A截面面的挠度和和转角。。BA解：1求：：（1）列方方程及对P的偏导数：（2）计算：：结果为正，说明与与P方向一致。第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理第九章能量法/四求位移的卡卡氏定理2求：求，可A处处无力偶作用，因因此需在A处暂时时加一个虚拟的力力偶矩，，如图所示：BA第九章能能量法/四四求位移移的卡氏定定理（1）列方方程及及对的的偏导导数：（2）求求：：结果为负，，说明A处转角实实际转向与与的的转向相反反。第九章能能量法/四四求位移移的卡氏定定理第九章能能量法/四四求位移移的卡氏定定理例题图图示桁架，，各杆E、、A、L均均相同，试试用卡氏定定理求。。P123456解：桁架各各杆均为二二力杆，承承受沿杆长长不变的轴轴力。该桁桁架系统总总的变形写写成求和的的形式第九章能能量法/四四求位移移的卡氏定定理显然各杆轴轴力为