几何造型的教案

几何造型的教案第1页/共116页考虑直线段P0(x0,y0,z0)→P1(x1,y1,z1)

参数表示分量表示参数空间：参数表示的数学原理：直线段

第2页/共116页参数表示的数学原理：直线段直线段参数表示的直观几何意义参数空间中每一个参数(点)都对应于直线段上一个点参数空间的两个端点对应于直线段的两个端点

第3页/共116页一般三维参数曲线形式：参数空间中每一个t对应于曲线上一个点R(t)

图形学中，参数空间通常是有限区间，此时参数曲线称为参数曲线段图形学中，参数函数通常为分段多项式或有理多项式曲线参数表示的数学原理：曲线第4页/共116页参数表示的数学原理：平面双线性四边面片：

(u,v)∈[0,1]×[0,1]四边面片的四个顶点P0、P1、P2和P3对应于参数曲面的四个角点R(0,0)、R(1,0)、R(1,0)和R(1,1)

第5页/共116页曲面参数表示的数学原理双线性四边面片第6页/共116页一般形式的空间参数曲面参数空间中每一点(u,v)对应于曲面上一点R(u,v)如果曲面的参数空间是一个有限的定义域(如矩形)，则对应的参数曲面称为参数曲面片图形学中常用的参数曲面为张量积分片多项式或有理多项式参数曲面参数表示的数学原理：曲面第7页/共116页参数表示的优势参数表示是显式的对每一个参数值，可以直接计算曲面上的对应点参数表示的物体可以方便地转化为多边形逼近表示曲面上的几何量计算简便(微分几何)：法向、曲率、测地线、曲率线等特殊形式的参数表示的外形控制十分直观Bézier、B-样条、NURBS(Non-UniformRationalB-Spline,非均匀有理B-样条)曲线/曲面。第8页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面第9页/共116页Bézier曲线PierreBézier(1910.9.1-1999.11.25)发音：[BEHzeeeh]Bézier曲线第10页/共116页一条n次Bézier曲线： 多项式{Bi,n(t)}称为Bernstein基函数：Bézier曲线定义

第11页/共116页Bézier曲线性质端点插值： R(0)=R0

R(1)=Rn端点切向：R(0)=n(R1−R0)R(1)=n(Rn−Rn-1)

对称性： ∑iRn-iBi,n(t)=∑iRiBi,n(t)曲线的控制顶点的几何地位是对称的三次Bézier曲线第12页/共116页Bézier曲线性质凸包性：Bézier曲线位于控制多边形的凸包内几何不变性：Bézier曲线的形状仅与控制多边形有关，与坐标系无关Bézier曲线的凸包性第13页/共116页Bézier曲线剖分性质SubdivideBezierCurve(t0,R(t)){for(i=0;i<=n;i++)Ri(0)=Ri;for(s=1;s<=n;s++)for(i=0;i<=n-s;i++)

Ri(s)=(1-t0)Ri(s-1)+t0Ri+1(s-1);}Bézier曲线剖分示意图Bézier曲线剖分算法描述第14页/共116页Bézier曲线剖分性质每次剖分，曲线分为两段新的Bézier曲线新的控制多边形更加趋近于Bézier曲线当剖分次数足够大的时候，控制多边形可以作为Bézier曲线的逼近第15页/共116页Bézier曲线的不足整体性质：当移动曲线的一个控制顶点时，整条曲线的形状都会发生改变表示复杂形状时，需要将多条Bézier曲线光滑拼接起来，即Bézier样条曲线。位置连续：C0(或G0)n次导数(或几何)连续：Cn(或Gn)第16页/共116页Bezier曲线绘制实例在第一章Teapot程序基础上修改（1）定义控制定点坐标GLintnNumPoints=4;GLfloatctrlPoints[4][3]={{-4.0f,0.0f,0.0f}, {-6.0f,4.0f,0.0f}, {6.0f,-4.0f,0.0f}, {4.0f,0.0f,0.0f}}; 第17页/共116页（2）修改display函数，添加如下代码

glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0f, 100.0f, 3, nNumPoints, &ctrlPoints[0][0]); glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);glMapGrid1d(100,0.0,100.0);glEvalMesh1(GL_LINE,0,100);第18页/共116页（3）因为控制顶点的坐标超出视口范围，所以必须调整视口坐标的大小：原来是glOrtho(-1.0,1.0,-1.0,1.0,-1.0,1.0);修改为glOrtho(-8.0,8.0,-8.0,8.0,-1.0,1.0);第19页/共116页Bézier曲线相关函数小结glMap1f(GL_MAP1_VERTEX_3,//Typeofdatagenerated0.0f, //Lowerurange100.0f, //Upperurange3, //DistancebetweenpointsinthedatanNumPoints, //numberofcontrolpoints&ctrlPoints[0][0]);//arrayofcontrolpoints第20页/共116页Bézier曲线相关函数小结逐点求值，然后折线连接glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3);glEvalCoord1f((GLfloat)i);第21页/共116页Bézier曲线相关函数小结更简便的方式glMapGrid1d(100,0.0,100.0);

glEvalMesh1(GL_LINE,0,100);第22页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面第23页/共116页B-样条曲线实列三次(四阶)B-样条曲线R0R1R2R3R4R5R6R7第24页/共116页B-样条曲线的定义B-样条曲线是分段连续的多项式曲线，其定义与节点向量密切相关定义在节点向量u={u0,u1,…,ui,…,un+k+1}上的k次(k+1阶)、具有(n+1)个控制顶点的B-样条曲线为：

第25页/共116页B-样条曲线的定义

Ri为控制顶点，{Ri}i=0,1,…,n顺次连接称为曲线的控制多边形

Ni,k(u)为单位化的B-样条基函数：第26页/共116页B-样条基函数实例n=3(4个控制顶点)k=3三次(四阶)曲线u=[00012222]在u=0.6

处，基函数的和为：N1,3+N2,3+N3,3+N4,3=0.16+0.66+0.18+0.0=1.0u第27页/共116页B-样条曲线性质B-样条曲线具有凸包性和几何不变性。当曲线的两个端节点的重复度是k+1时B-样条曲线具有类似于Bézier曲线的性质端点插值性质端点导数与控制的起始边与终止边相切当n=k+1时，B-样条曲线就是一条Bézier曲线第28页/共116页B-样条曲线性质局部性：当移动一个控制顶点时，只会影响曲线的一部分，而不是整条曲线三次B-样条曲线的局部性质第29页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线Bézier曲线B-样条曲线NURBS曲线参数曲面第30页/共116页引入NURBS曲线的原因B-样条情形不能精确表示二次曲面与平面的交线，如圆锥曲线(平面与圆锥的交线)抛物线椭圆(上)与圆(下)双曲线第31页/共116页NURBS(Non-UniformRationalB-Spline)：非均匀有理B-样条的简称定义：NURBS曲线第32页/共116页NURBS曲线{Ni,k(u)}为单位化的B-样条基函数{Ri}为控制顶点NURBS曲线新增加的曲线控制手段是权因子{ωi}，首末两个权因子ω0>0、ωn>0其余的权因子满足ωi≥0第33页/共116页NURBS曲线的权因子每一个权因子对应于一个控制顶点通过调整权因子的大小可以调整曲线的形状。当所有的权因子ωi=1时，就是B-样条曲线；当某个权因子ωi=0时，对应的控制顶点对曲线的形状没有影响当ωi→∞时，曲线R(u)→Ri

，即曲线过点Ri

第34页/共116页NURBS曲线的例子NURBS曲线权因子对曲线形状的影响第35页/共116页NURBS曲线表示圆用三个120°圆弧表示圆：u=[0001122333]k=3[ωi]=[1,½,1,½,1,½,1]控制顶点分布如右图所示NURBS曲线表示圆R0R6R1R2R3R4R5第36页/共116页NURBS曲线绘制实例参考例子程序Nurb.c（1）定义NURBS对象指针变量、控制定点个数、控制定点坐标、节点向量GLUnurbsObj*pNurb=NULL;GLintnNumPoints=4;GLfloatctrlPoints[4][4]={

{-2.0f,-2.0f,0.0f,1.0f},

{2.0*2.0f,-2.0*2.0f,0.0f,2.0f},{2.0f,6.0f,0.0f,1.0f},{6.0f,6.0f,0.0f,1.0f}

};GLfloatKnots[8]={0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f};第37页/共116页（2）在init函数中加载NURBS对象pNurb=gluNewNurbsRenderer();

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_SAMPLING_TOLERANCE,25.0f);

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_DISPLAY_MODE,(GLfloat)GLU_FILL);第38页/共116页（3）在display函数中添加绘制代码

gluBeginCurve(pNurb);

gluNurbsCurve(pNurb,8,Knots, 4,&ctrlPoints[0][0],4,GL_MAP1_VERTEX_3);

gluEndCurve(pNurb);第39页/共116页（4）修改视口大小

glOrtho(-10.0,10.0,-10.0,10.0,-10.0,10.0);第40页/共116页NURBS相关函数总结glu中定义了NURBS对象的类型GLUnurbsObj*pNurb=NULL;构造NURBS对象pNurb=gluNewNurbsRenderer();删除NURBS对象gluDeleteNurbsRenderer(pNurb);第41页/共116页NURBS相关函数总结NURBS属性设置采样容差

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_SAMPLING_TOLERANCE,25.0f);显示模式

gluNurbsProperty(pNurb,GLU_DISPLAY_MODE,(GLfloat)GLU_FILL);第42页/共116页NURBS相关函数总结绘制（求值）函数

gluBeginCurve(pNurb);gluNurbsCurve(pNurb,8,Knots,//节点个数和节点数组

4,//控制顶点的间隔

&ctrlPoints[0][0],4,//阶数

GL_MAP1_VERTEX_3);gluEndCurve(pNurb);第43页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线参数曲面Bézier曲面B-样条曲面NURBS曲面第44页/共116页双三次Bézier曲面实列双三次Bézier曲面实例第45页/共116页m×n次Bézier曲面：Bi,m(u)和Bj,n(v)为Bernstein基函数{Rij}规则连接形成控制网

Bézier曲面第46页/共116页Bézier曲面性质Bézier曲面的控制顶点所形成的控制网格大致反应了曲面的形状，所以可通过编辑控制顶点的方式来实现对曲面形状的改变

第47页/共116页Bézier曲面性质Bézier曲面通过四个角点处的控制顶点第48页/共116页Bézier曲面性质在角点处曲面与控制多边形相切Bézier曲面具有剖分算法：用加密的控制多边形来逼近显示Bézier曲面第49页/共116页Bézier曲面的不足全局性：当移动一个控制顶点的位置时，整个曲面的形状会发生改变，这对于外形设计是很不方便的生成复杂外形需要多个Bézier曲面的光滑拼接，十分复杂第50页/共116页Bezier曲面绘制实例（1）定义控制定点坐标（2）在display函数中添加绘制代码（3）修改视口大小以便观察绘制效果第51页/共116页Bezier曲面绘制实例（1）定义控制定点坐标GLintnNumPoints=3;GLfloatctrlPoints[3][3][3]={

{

{-4.0f,0.0f,4.0f},

{-2.0f,4.0f,4.0f},

{4.0f,0.0f,4.0f}

},

{

{-4.0f,0.0f,0.0f},

{-2.0f,4.0f,0.0f},

{4.0f,0.0f,0.0f}

},

{

{-4.0f,0.0f,-4.0f},

{-2.0f,4.0f,-4.0f},

{4.0f,0.0f,-4.0f}

}

};第52页/共116页（2）在display函数中添加绘制代码

glMap2f(

GL_MAP2_VERTEX_3, //Typeofdatagenerated0.0f,

//Lowerurange10.0f, //Upperurange3,

//Distancebetweenpointsinthedata3,

//Dimensioninudirection(order)0.0f, //Lovervrange10.0f, //Uppervrange9, //Distancebetweenpointsinthedata3, //Dimensioninvdirection(order)&ctrlPoints[0][0][0]

); //arrayofcontrolpointsglEnable(GL_MAP2_VERTEX_3);glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);glEvalMesh2(GL_LINE,0,10,0,10);第53页/共116页为了实现光照效果，必须定义法向量，因此调用glEnable(GL_AUTO_NORMAL);glMapGrid2f(10,0.0f,10.0f,10,0.0f,10.0f);glEnable(GL_AUTO_NORMAL);glEvalMesh2(GL_FILL,0,10,0,10); 第54页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线参数曲面Bézier曲面B-样条曲面NURBS曲面第55页/共116页B-样条曲面定义：次数：ku×kv控制顶点数：(nu+1)×(nv+1)节点向量B-样条曲面

第56页/共116页B-样条曲面

{Rij}为控制顶点

Ni,ku(u)和Ni,kv(v)分别为定义在节点向量u和v上的规范化B-样条基函数

第57页/共116页B-样条曲面的重要性质局部性质控制顶点数目Bézier曲面的次数确定后，控制顶点数目就定了B-样条曲面的次数确定后，控制顶点数目可任意其它性质：参考曲线情形第58页/共116页B-样条曲面实例具有6×6个控制顶点双三次B-样条曲面：(a)均匀节点向量u=v=[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5]，所构造曲面不插值角点(b)具有端点处4阶重节点的节点向量u=v=[0,0,0,0,1,2,3,3,3,3]，曲面插值角点(c)采用了与图(b)相同的节点向量，扰动顶点R4,4的位置后，其形状变化的红色区域局限于变动顶点的邻域中．(a)均匀节点(b)端点重节点(c)B-样条曲面的局部性R0,0R5,0R5,5R0,5R0,0R5,0R5,5R0,5R5,0R4,4R0,5R5,5R0,0第59页/共116页B-样条曲面的不足不能精确表示常用的二次曲面：如球面、圆柱面、圆锥面等第60页/共116页内容参数曲面表示参数表示的数学原理参数曲线参数曲面Bézier曲面B-样条曲面NURBS曲面第61页/共116页NURBS曲面NURBS曲面增加了权因子作为形状控制手段包含B-样条曲面和Bézier曲面可以精确表示机械零件中常用的二次曲面工业产品几何定义的STEP标准(1991年):自由曲线曲面唯一地采用NURBS表示第62页/共116页NURBS曲面表示球面NURBS精确表示的球面及其控制顶点第63页/共116页NURBS曲面绘制实例参考程序Nurbs1.c（1）定义NURBS对象指针变量、控制定点个数、控制定点坐标、节点向量（2）在init函数中加载NURBS对象（3）在display函数中添加绘制代码（4）修改视口大小以便观察绘制结果第64页/共116页（1）定义NURBS对象指针变量、控制定点个数、控制定点坐标、节点向量

GLUnurbsObj*pNurb=NULL;GLintnNumPoints=4;//4X4

第65页/共116页GLfloatctrlPoints[4][4][3]={{{-6.0f,-6.0f,0.0f}, //u=0, v=0{ -6.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{-6.0f,2.0f,0.0f}, // v=2 {-6.0f,6.0f,0.0f}},// v=3

{{-2.0f,-6.0f,0.0f}, //u=1 v=0{-2.0f,-2.0f,8.0f}, // v=1{-2.0f,2.0f,8.0f}, // v=2{-2.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{-2.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{-2.0f,6.0f,0.0f}}, // v=3

{{2.0f,-6.0f,0.0f},//u=2 v=0{2.0f,-2.0f,8.0f},// v=1{2.0f,2.0f,8.0f}, // v=2{2.0f,-2.0f,0.0f},// v=1{2.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{2.0f,6.0f,0.0f}},// v=3{{6.0f,-6.0f,0.0f}, //u=3 v=0{6.0f,-2.0f,0.0f}, // v=1{6.0f,2.0f,0.0f}, // v=2{6.0f,6.0f,0.0f}}};// v=3GLfloatKnots[8]={0.0f,0.0f,0.0f,0.0f,1.0f,1.0f,1.0f,1.0f};第66页/共116页（2）在init函数中加载NURBS对象

glEnable(GL_AUTO_NORMAL);//SetuptheNurbsobjectpNurb=gluNewNurbsRenderer();第67页/共116页（3）在display函数中添加绘制代码

gluBeginSurface(pNurb);

//EvaluatethesurfacegluNurbsSurface(pNurb, //pointertoNURBSrenderer8,Knots, //No.ofknotsandknotarrayudirection 8,Knots, //No.ofknotsandknotarrayvdirection4*3, //Distancebetweencontrolpointsinudir.3, //Distancebetweencontrolpointsinvdir.&ctrlPoints[0][0][0],//Controlpoints4,4, //uandvorderofsurfaceGL_MAP2_VERTEX_3); //Typeofsurface

//DonewithsurfacegluEndSurface(pNurb);第68页/共116页（4）修改视口大小以便观察绘制结果glOrtho(-10.0,10.0,-10.0,10.0,-10.0,10.0);第69页/共116页小结物体的参数曲面表示参数表示的数学原理：曲线、曲面参数曲线：Bézier、B-样条和NURBS曲线参数曲面：Bézier、B-样条和NURBS曲面仅仅做了简要介绍，数学味道太浓，关于参数曲线曲面造型技术的内容可以单独作为一门课第70页/共116页几何物体的表示隐式曲面细分曲面物体的CSG树表示自然景物表示方法第71页/共116页几何物体的表示隐式曲面细分曲面物体的CSG树表示自然景物表示方法第72页/共116页隐式曲面R3中的隐式曲面表示为：{(x,y,z)R3:f(x,y,z)=0}三维空间中的一个二维曲面(二维流形)f(x,y,z)称为隐式函数：数学表达式或过程定义的函数当f(x,y,z)为多项式函数时，隐式曲面称为代数曲面第73页/共116页隐式曲面举例球面：x2+y2+z2=1圆柱面：x2+y2=1第74页/共116页隐式曲面与参数曲面的比较与参数曲面相比，隐式曲面的优点隐式曲面可以表示具有复杂拓扑的形状NURBS曲面只能表示拓扑等价于矩形的四边曲面NURBS曲面表示非退化封闭光滑曲面时，需要光滑拼接隐式曲面比NURBS曲面更适合于进行布尔运算、光线跟踪、点集判断等第75页/共116页隐式曲面与参数曲面的比较与参数曲面相比，隐式曲面的不足隐式曲面表示不直观，难以进行外形的交互修改。NURBS曲面的外形控制手段非常直观隐式曲面通常没有边界，而NURBS曲面具有显式的边界隐式曲面难以直接进行显示，而NURBS曲面则可以借助于剖分算法，对逼近多边形表示进行绘制第76页/共116页隐式曲面与参数曲面的相互转化隐式化：从参数曲面到隐式曲面消除NURBS曲面的两个参数(u,v)得到其隐式表示参数化：从隐式曲面到参数曲面并非所有的隐式曲面都可以参数化对于非退化的二次代数曲面和具有一个奇异点的三次代数曲面，可以进行有理多项式参数化第77页/共116页图形学中常用的隐式曲面造型技术基于骨架的隐式曲面造型基于点、线和面骨架的Metaball方法基于骨架的卷积曲面基于点骨架的Metaball造型基于点、直线混合骨架的Metaball造型第78页/共116页图形学中常用的隐式曲面造型技术代数曲面片造型技术，包括二次代数曲面、A-Patch方法等代数曲面片造型第79页/共116页隐式曲面的显示多边形化：用平面多边形逼近隐式曲面，MarchingCube方法光线跟踪：生成高质量的图像粒子系统：在隐式曲面上均匀布撒粒子多边形化光线投射粒子系统第80页/共116页几何物体的表示隐式曲面细分曲面物体的CSG树表示自然景物表示方法第81页/共116页细分曲面Chaikin算法(1974)：均匀二次B-样条曲曲线的离散生成输入多边形折线每次在边的1:3和3:1处生成两个新顶点，按规律连接新生成的顶点极限曲线为均匀二次B-样条曲线第82页/共116页Chaikin算法举例Chaikin算法示意图Chaikin算法动态示意图第83页/共116页Doo-Sabin细分曲面DonaldDoo和MalcolmSabin推广了Chaikin算法由二次B-样条曲线推广到二次B-样条曲面输入为一个多边形面片，经过重复的剖分，生成光滑的极限曲面第84页/共116页Doo-Sabin细分曲面的生成规则面点(facepoint)：面的顶点的平均边点(edgepoint)：边的中点新顶点(newVertex)：对每个面的每一个顶点，计算面点、两个边点和原有顶点的平均Doo-Sabin细分曲面生成的各类顶点第85页/共116页Doo-Sabin细分曲面新顶点连接初始多边形及生成的新顶点对于每个面，连接生成的新顶点对于每个老顶点，连接与之相邻的新顶点对于每条边，连接与该边相邻的两个面上的对应新顶点第86页/共116页细分曲面实例Doo-Sabin细分曲面Catmull-Clark细分曲面第87页/共116页其它类型细分曲面Catmull-Clark细分曲面(双三次B-样条曲面)Loop细分曲面(六次三角样条曲面)Loop细分曲面实例第88页/共116页细分曲面的优势与不足优势极限曲面C1或C2连续的光滑曲面可以表示任意拓扑适合于动画造型、快速显示不足奇异点处没有解析表达，难以计算微分量难以精确控制其外形难以构造高阶光滑曲面第89页/共116页更多的细分曲面实例第90页/共116页几何物体的表示隐式曲面细分曲面物体的CSG树表示自然景物表示方法第91页/共116页物体的CSG树表示CSG：ConstructiveSolidGeometry表示实体：即有边界，也包含内部表示边界：多边形、参数曲面、隐式曲面、细分曲面CSG树表示：面向浇铸、加工或拉伸等CAD/CAM过程第92页/共116页物体的CSG树表示CSG树：通过一系列几何操作将简单的基本体素组合起来基本体素：立方体、球、圆柱、圆锥等几何操作布尔运算：并、交、差、补等几何变换：平移、旋转、放缩、剪切等CSG树：含有丰富的造型信息物体生成过程物体表示第93页/共116页一个CSG树表示的实例立方体立方体并减圆柱体第94页/共116页物体的CSG树表示的分析CSG树的缺点绘制耗时限制了物体外形的修改改进：混合表示将边界表示和布尔运算结合起来，形成一种界与边界表示和CSG实体表示之间的混合表示第95页/共116页几何物体的表示隐式曲面细分曲面物体的CSG树表示自然景物表示方法第96页/共116页自然景物表示方法自然景物的模拟是图形学中最具挑战性的问题之一山、树木、花草、火焰、云、烟、流体等目前三种常用方法分形基于语法规则的L-系统粒子系统第97页/共116页分形分形(Fractal)的主要特征：自相似性质：分形物体的任何一个部分都和物体整体具有某种程度的相似无限小细节性质：当无限地放大分形物体时，物体总是表现有细节，而不是像欧氏空间的物体一样最终会表现出光滑性