高中数学必修2课件全册(人教A版)

高中数学必修2课件全册(人教A版)第一页，共563页。必修二第二页，共563页。第一章1.11.31.2第三页，共563页。空间几何体的结构1.1第四页，共563页。主要内容棱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征空间几何体导入第五页，共563页。空间几何体导入第六页，共563页。奥运场馆鸟巢第七页，共563页。奥运场馆水立方第八页，共563页。世博场馆中国馆世博轴演艺中心第九页，共563页。

观察下面的图片，这些图片中的物体具有什么几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类依据是什么？观察实例，思考共性第十页，共563页。观察实例，思考共性第十一页，共563页。观察实例，思考共性第十二页，共563页。观察实例，思考共性第十三页，共563页。归类分析第十四页，共563页。归类分析第十五页，共563页。多面体

我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面相邻两个面的公共边叫做多面体的棱棱与棱的公共点叫做多面体的顶点第十六页，共563页。多面体面面ADD1A1，面ABCD等棱A1A，棱AB等顶点A，顶点B等棱顶点第十七页，共563页。归类分析第十八页，共563页。归类分析第十九页，共563页。旋转体

一个矩形绕着它的一条边所在的一条直线旋转所成的封闭几何体叫做圆柱，这条定直线叫做圆柱的轴.

我们把一个平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转所行成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.第二十页，共563页。探究问题

分别以直角三角形的不同的边所在的直线为轴旋转三角形得到的旋转体形状相同吗？如果不同请你画出来。第二十一页，共563页。结构特征柱、锥、台、球第二十二页，共563页。1.棱柱的结构特征

什么叫棱柱？有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫做棱柱.底面侧面侧棱顶点记为：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'第二十三页，共563页。棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱棱柱的分类第二十四页，共563页。棱柱的表示三棱柱ABC-A'B'C'四棱柱ABCD-A'B'C'D'六棱柱ABCD-A'B'C'D'E'F第二十五页，共563页。常见的棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方体第二十六页，共563页。你能举出关于棱柱的生活实例吗？第二十七页，共563页。2.棱锥的结构特征

什么是棱锥？一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥.符号表示：四棱锥S-ABCD第二十八页，共563页。棱锥的分类常见的棱锥：三棱锥、四棱锥、五棱锥等

依据底面多边形的边数进行分类，底面是n边形的棱锥叫做n棱锥.第二十九页，共563页。你能举出关于棱柱的生活实例吗？第三十页，共563页。思考?这两个几何体与棱锥有什么关系？第三十一页，共563页。SABCDEOA'B'C'E'D'截面∽底面第三十二页，共563页。3.棱台的结构特征

什么是棱台？一般地，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面中间的部分的多面体叫做棱台.侧面下底面上底面侧棱顶点第三十三页，共563页。四棱台ABCD-A'B'C'D'三棱台第三十四页，共563页。棱台的应用第三十五页，共563页。4.圆柱的结构特征

什么叫圆柱？以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.底面轴侧面母线第三十六页，共563页。旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线第三十七页，共563页。棱柱和圆柱统称为柱体第三十八页，共563页。5.圆锥的结构特征

什么叫圆锥？与圆柱一样，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.轴底面侧面母线第三十九页，共563页。旋转轴叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫圆锥的底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线探究圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义.第四十页，共563页。6.圆台的结构特征

什么是圆台？与棱台类似，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面中间的部分的旋转体叫做棱台.上底面侧面轴母线下底面第四十一页，共563页。探究：类比圆柱、圆锥，圆台可以看成由什么平面图形旋转得到？第四十二页，共563页。棱台和圆台统称为台体第四十三页，共563页。7.球的结构特征

什么叫球？以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.球心球的半径第四十四页，共563页。第四十五页，共563页。

棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥与圆台呢？探究第四十六页，共563页。问题：侧面都是等边三角形的棱锥不可能是（）

A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥D探究第四十七页，共563页。小结空间几何体的结构特征1.棱柱的结构特征2.棱锥的结构特征3.棱台的结构特征4.圆柱的结构特征5.圆锥的结构特征6.圆台的结构特征7.球的结构特征第四十八页，共563页。作业P8-p9习题1.11,2第四十九页，共563页。简单组合体的

结构特征第五十页，共563页。第五十一页，共563页。

答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．

问题2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？

答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．

问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱吗？第五十二页，共563页。凸多面体和凹多面体

把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。VABCDE第五十三页，共563页。正多面体正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体第五十四页，共563页。多面体第五十五页，共563页。正多面体的展开图第五十六页，共563页。简单组合体

现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的几何体是是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.第五十七页，共563页。

观察实物图形判断这些几何体是怎样由简单几何体组成的？探究第五十八页，共563页。简单组合体的构成一、由简单几何体拼接而成二、由简单几何体截取或挖去一部分而成第五十九页，共563页。

观察两个实物几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？第六十页，共563页。(1)(2)第六十一页，共563页。世博轴的曲面是如何构成的？思考1第六十二页，共563页。世博中国馆是外形如何构成的？思考2第六十三页，共563页。课后思考题

观察本地标志性建筑思考其外观几何体是如何构成的？思考3第六十四页，共563页。小结凸多面体正多面体简单的组合体第六十五页，共563页。作业P7练习1，2，3P9习题1.1A3，4，5第六十六页，共563页。空间几何体的三视图和直观图1.2第六十七页，共563页。主要内容空间几何体的三视图空间几何体的直观图1.2.1中心投影与平行投影第六十八页，共563页。中心投影与平行投影第六十九页，共563页。投影

我们知道，光线是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中，我们称光线叫投影线，把留下物体的屏幕叫做投影面投影面投影线第七十页，共563页。中心投影定义把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.一个点光源把一个图形照射到一个平面上、这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影.中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多、但直观性强、看起来与人的视觉效果一致、最像原来的物体、所以在绘画时、经常使用这种方法.第七十一页，共563页。平行投影定义我们把一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.

在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.斜投影正投影投影线斜对着投影面投影面光线第七十二页，共563页。对比三种投影（a）中心投影（b）斜投影（c）正投影平行投影第七十三页，共563页。探究问题1：一个三角形ABC在中心投影下，得到三角形A’B’C’,问这两个三角形是否相似？为什么？问题2：一个三角形ABC在平行投影投影下，得到三角形A’B’C’,问这两个三角形是否全等？为什么？第七十四页，共563页。小结投影中心投影平行投影第七十五页，共563页。空间几何体的三视图第七十六页，共563页。第七十七页，共563页。三个互相垂直的投影面“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图．从左向右方向的投影线从上到下方向的投影线从前向后方向的投影线三视图概念第七十八页，共563页。三视图的形成正视图侧视图俯视图光线从几何体的上面向下面正投影所得的投影图称为“俯视图”．光线从几何体的前面向后面正投影所得的投影图称为“正视图”光线从几何体的左面向右面正投影所得的投影图称为“侧视图”第七十九页，共563页。三视图的平面位置正视图侧视图俯视图正视图、侧视图、俯视图在平面图中的一般位置

正视图、侧视图、俯视图统称为三视图第八十页，共563页。三视图的关系结论：1.一个几何体的正视图和侧视图的高度一样，2.正视图与俯视图的长度一样3.侧视图与俯视图宽度一样正视图侧视图俯视图定义：长、宽、高长宽宽相等长对正高平齐长：左、右方向的长度宽：前、后方向的长度高：上、下方向的长度第八十一页，共563页。举例画出三视图圆锥正视图侧视图俯视图第八十二页，共563页。正三棱锥正视图侧视图俯视图举例画出三视图第八十三页，共563页。举例画出三视图六棱柱正视图侧视图俯视图第八十四页，共563页。举例画出三视图第八十五页，共563页。根据三视图想象其表示的几何体第八十六页，共563页。根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征圆台俯视图正视图侧视图第八十七页，共563页。根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征正四棱台正视图侧视图俯视图第八十八页，共563页。简单组合体的三视图第八十九页，共563页。第九十页，共563页。第九十一页，共563页。第九十二页，共563页。知识小结第九十三页，共563页。小结三视图的概念三视图的形成三视图的平面位置三视图的关系三视图的举例简单组合体的三视图第九十四页，共563页。作业P15练习1，2，3，4P20-21习题1.21,2,3.第九十五页，共563页。1.2.3空间几何体的直观图空间几何体的直观图第九十六页，共563页。斜二测画法问：正方体的每个面都是正方形，但在平面图中有几个面画成正方形？平行四边形？观察正方体的平面图第九十七页，共563页。正方形的水平直观图xyxy水平直观图1.水平方向线段长度不变;2.竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;3.平行线段仍然平行.变化规则00第九十八页，共563页。水平直观图正三角形的水平直观图ABCMBCAyox0第九十九页，共563页。水平直观图直角梯形的水平直观图x′y′C′xyA′B′D′ABCD第一百页，共563页。ABCDEFMNx′y′o′B′C′A′D′E′F′MNxy正六边形的水平直观图的画法水平直观图第一百零一页，共563页。斜二测画法定义：上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，有如下步骤和规则（3）水平线段等长，竖直线段减半.（2）与坐标轴平行的线段保持平行；（1）在原图形中建立平面直角坐标系xoy，同时建立直观图坐标系，确定水平面，x'y'oxy0第一百零二页，共563页。空间几何体的直观图

例1.画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图？ABCDzA′B′C′D′xyoPQA′B′C′D′ABCD水平方向的矩形画成平行四边形的直观图竖直方向（z轴）的线段长度不变第一百零三页，共563页。斜二测画法侧视图俯视图正视图zABo′A′B′oxyx′y′由几何体的三视图可以得到几何体的直观图第一百零四页，共563页。反思提高思考题：如图ΔA’B’C’是水平放置的ΔABC的直观图，则在ΔABC的三边及中线AD中，最长的线段是（）第一百零五页，共563页。小结正方形的水平直观图正三角形的水平直观图直角梯形的水平直观图正六边形的水平直观图斜二测画法长方体的直观图第一百零六页，共563页。作业P19-20练习1，2，3，4，5P21习题1.2A.4，5B组1，2，3第一百零七页，共563页。空间几何体的表面积与体积1.3第一百零八页，共563页。主要内容1.3.2球的表面积和体积1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积第一百零九页，共563页。柱体、锥体、台体的表面积与体积第一百一十页，共563页。什么是面积？面积:平面图形所占平面的大小S=ababAahBCabhabAr圆心角为n0rc第一百一十一页，共563页。特殊平面图形的面积正三角形的面积正六边形的面积正方形的面积aaa第一百一十二页，共563页。

设长方体的长宽高分别为a、b、h，则其表面积为多面体的表面积正方体和长方体的表面积

长方体的表面展开图是六个矩形组成的平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.S=2（ab+ah+bh)abh特别地，正方体的表面积为S=6a2第一百一十三页，共563页。多面体的表面积

一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.棱柱的表面积=2底面积+侧面积棱锥的表面积=底面积+侧面积侧面积是各个侧面面积之和棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积第一百一十四页，共563页。多面体的表面积

例1.已知棱长为a，底面为正方形，各侧面均为等边三角形的四棱锥S-ABCD，求它的表面积.解：四棱锥的底面积为a2，

每个侧面都是边长为a的正三角形，所以棱锥的侧面积为

所以这个四棱锥的表面积为第一百一十五页，共563页。旋转体的表面积圆柱

一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积.圆柱的侧面展开图是一个矩形底面是圆形第一百一十六页，共563页。旋转体的表面积圆锥侧面展开图是一个扇形底面是圆形第一百一十七页，共563页。圆台底面是圆形侧面展开图是一个扇状环形旋转体的表面积第一百一十八页，共563页。旋转体的表面积

例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆（精确到1毫升）？202015解：由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积所以涂100个花盆需油漆：0.1100100=1000(毫升）.第一百一十九页，共563页。空间几何体的体积体积:几何体所占空间的大小

长方体的体积=长×宽×高正方体的体积=棱长3第一百二十页，共563页。棱柱和圆柱的体积高h柱体的体积V=Sh高h高h底面积S

高h第一百二十一页，共563页。棱锥和圆锥的体积ABCDEOS底面积S

高h第一百二十二页，共563页。棱台和圆台的体积高h第一百二十三页，共563页。

例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？

V≈2956（mm3）=2.956（cm3）

5.8×100÷7.8×2.956≈252（个）

解答：第一百二十四页，共563页。小结常见平面图形的面积多面体的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积旋转体的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积第一百二十五页，共563页。作业P27练习1，2P28-29习题1.3A组1，2，3，4，5，6第一百二十六页，共563页。球的体积和表面积第一百二十七页，共563页。球的表面积球球的体积球面距离第一百二十八页，共563页。球的体积和表面积

设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式R第一百二十九页，共563页。解:设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积和表面积

例1如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.1)因为2)因为第一百三十页，共563页。球的体积和表面积

例2.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.AC′o解答：正方体的一条对角线是球的一条直径，所以球的半径为第一百三十一页，共563页。球的体积和表面积

例3已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.ABCOMABCOM第一百三十二页，共563页。球面距离

球面距离即球面上两点间的最短距离，是指经过这两点和球心的大圆的劣弧的长度.球心OAB大圆圆弧OAB大圆劣弧的圆心角为α弧度，半径为R，则弧长为L=αR第一百三十三页，共563页。球面距离

例4.已知地球的半径为R,在地球的赤道上经度差为1200的两点间距离.oAB答案：第一百三十四页，共563页。第一百三十五页，共563页。作业P28练习1，2，3P29-30习题B组1,2,3第一百三十六页，共563页。第二章2.12.32.2第一百三十七页，共563页。2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第一百三十八页，共563页。主要内容空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系2.1.1平面第一百三十九页，共563页。平面第一百四十页，共563页。构成图形的基本元素A′B′C′D′ABCD点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄第一百四十一页，共563页。点直线平面可无限延伸的平面是可无限延展的第一百四十二页，共563页。平面的表示平面的画法

一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一,在画立体图时，为了增强立体感，常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二第一百四十三页，共563页。平面的符号表示1.希腊字母：平面，平面，平面2.一个或几个拉丁字母：平面M，平面AC，平面ABCD等ABCD平面的表示第一百四十四页，共563页。平面的表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a第一百四十五页，共563页。平面的表示直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面α内”

用集合符号表示点与直线、点与平面、直线与平面的关系“点P在直线l外”,“点A在平面α外”直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l直线l在平面α外.第一百四十六页，共563页。平面的基本性质．．ABα

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考1：如何让一条直线在一个平面内？作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示平面经过这条直线第一百四十七页，共563页。平面的基本性质

公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示．．．ABC“不共线的三点确定一个平面”

已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C第一百四十八页，共563页。平面的基本性质

思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

P

作用：判断两个平面位置关系的基本依据第一百四十九页，共563页。例题

例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.ABβαal

(1)abPl

βα(2)解：1）A，B，=l，a=A，a=B2)a,b,=l,al=P,bl=P,ab=P第一百五十页，共563页。

例2：已知直线a，和点P，Pa，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.Pa第一百五十一页，共563页。探究问题根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.第一百五十二页，共563页。小结1.平面的表示：概念、图形、符号等

2.平面的基本性质

公理1

公理2

公理33.判断共面的方法第一百五十三页，共563页。作业P43练习1,2,34P51习题A组1，2第一百五十四页，共563页。空间中直线与直线之间的位置关系第一百五十五页，共563页。两条直线的位置关系思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？C第一百五十六页，共563页。

1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？第一百五十七页，共563页。两条直线的位置关系

如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?CB'C'A'D'BAD观察第一百五十八页，共563页。两条直线的位置关系

定义

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.baab异面直线的图示第一百五十九页，共563页。两条直线的位置关系A.空间中既不平行又不相交的两条直线；B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C.分别在不同平面内的两条直线；D.不在同一个平面内的两条直线；E.不同在任何一个平面内的两条直线.

关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？问题第一百六十页，共563页。两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线:平行直线:共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

同一平面内，有且只有一个公共点；

同一平面内，没有公共点；

第一百六十一页，共563页。

如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?探究FAHGEDCBCDBAEFGH直线EF和直线HG直线AB和直线CD直线AB和直线HG答：3对第一百六十二页，共563页。平行直线

如图,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行吗?CB'C'A'D'BAD观察答：平行第一百六十三页，共563页。平行直线

公理4平行于同一直线的两条直线互相平行.空间中的平行线具有传递性如果a//b，b//c，那么a//cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线不共面第一百六十四页，共563页。平行直线

已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线不共面问题第一百六十五页，共563页。平行直线例2

如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.FGDAEBCH所以

，且同理

，且因为

，且所以四边形EFGH是平行四边形．证明：连接BD，因为

EH是的中位线，第一百六十六页，共563页。

在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH第一百六十七页，共563页。等角定理

在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否仍然成立？思考1第一百六十八页，共563页。

如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′,∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何

?思考2:BADCA'B'D'C'BADCA'B'D'C'∠ADC=∠A′D′C′∠ADC+∠B′A′D′=1800第一百六十九页，共563页。

如图，在空间中AB//A′B′，AC//A′C′，你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？思考3BCAB´C´A´EE´DD´第一百七十页，共563页。等角定理

定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.第一百七十一页，共563页。异面直线所成的角ab思考

在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？ab平面内两条相交直线空间中两条异面直线第一百七十二页，共563页。O异面直线所成的角

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．O第一百七十三页，共563页。异面直线所成的角

我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？

如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.探究记直线a垂直于b为：ab第一百七十四页，共563页。异面直线所成的角探究

（1）在长方体中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？

（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：等．垂直不一定，如上图的立方体中直线AB与BC相交，第一百七十五页，共563页。异面直线所成的角

例3已知正方体．（1）哪些棱所在直线与直线是异面直线？（2）直线和的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线垂直？解:（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线分别与直线是异面直线．（3）直线分别与直线垂直．

（2）由可知，为异面直线与的夹角，，所以与的夹角为．第一百七十六页，共563页。

在如图所示的长方体中，AB=，且AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.30O练习1第一百七十七页，共563页。

如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且，已知AB=CD=3，

,求异面直线AB和CD所成的角.AFEDCB练习2第一百七十八页，共563页。n直线相交最多有几个交点？练习3第一百七十九页，共563页。本节小结（1）空间直线的三种位置关系．（2）平行线的传递性．（3）等角定理．（4）异面直线所成的角．基本知识基本方法把空间中问题通过平移转化为平面问题.第一百八十页，共563页。作业P48练习1，2P51-52习题2.1A组3，4(1)(2)(3)(6)，5，6，

B组1第一百八十一页，共563页。空间中直线与平面之间的位置关系第一百八十二页，共563页。主要内容

直线与平面的位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行第一百八十三页，共563页。直线与平面思考？1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？2）如图，线段A’B所在直线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六个面所在平面有几种位置关系？CB'C'A'D'BAD第一百八十四页，共563页。直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内

有无数个公共点a记为：a第一百八十五页，共563页。直线与平面(2)直线与平面相交有且只有一个公共点a记为：a=AA第一百八十六页，共563页。直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a//第一百八十七页，共563页。直线与平面直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa//aa=AA或第一百八十八页，共563页。直线与平面

例1.下列命题中正确的个数是()1）若直线l上有无数个点不在平面内，则l//2)若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A）0(B)1(C)2(D)3B第一百八十九页，共563页。主要内容

直线与平面的位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行第一百九十页，共563页。作业P49练习P51-53习题2.1A组4(4)(5)B2，3第一百九十一页，共563页。平面与平面之间的位置关系第一百九十二页，共563页。平面与平面之间的位置关系思考

（1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

（2）如图，围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？CB'C'A'D'BAD第一百九十三页，共563页。两个平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有两种①两个平面平行——没有公共点②两个平面相交——有一条公共直线．分类的依据是什么？

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

第一百九十四页，共563页。两个平面平行或相交的画法及表示//m=m第一百九十五页，共563页。

已知平面，直线a、b，且//，a，b，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？探究1ab答：平行或异面第一百九十六页，共563页。探究2αβγablbαβγal相交于一条交线三条交线三条交线

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.第一百九十七页，共563页。一个平面可以把空间分成几个部分？两个平面可以把空间分成几个部分？三个平面可以把空间分成几个部分？探究3第一百九十八页，共563页。小结

平面与平面的位置关系

平面与平面相交平面与平面平行第一百九十九页，共563页。作业P50练习P52习题2.1A组7，8第二百页，共563页。直线、平面平行的

判定及其性质2.2第二百零一页，共563页。主要内容2.2.2平面与平面平行的判定2.2.3直线与平面平行的性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.4平面与平面平行的性质第二百零二页，共563页。直线与平面平行的

判定第二百零三页，共563页。（1）直线在平面内——有无数个公共点．（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点．（3）直线和平面平行——无公共点．一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．直线和平面的位置关系复习第二百零四页，共563页。直线和平面的三种位置关系的画法直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行第二百零五页，共563页。若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？观察l第二百零六页，共563页。如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.baαa//b思考直线和平面平行第二百零七页，共563页。直线和平面平行

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．判定定理第二百零八页，共563页。判定定理的证明已知：，，求证：证明：所以经过a、b确定一个平面．

因为a，而a，

所以与是两个不同的平面．

所以=b未完因为b，b第二百零九页，共563页。

下面用反证法证明a与没有公共点：判定定理的证明假设a与有公共点P，而=b，得Pb，所以点P是a、b的公共点，这与a//b矛盾.所以a//第二百一十页，共563页。例1求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面．

已知：空间四边形中，分别是的中点.求证：平面．

证明：连结．

第二百一十一页，共563页。例2

在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.ABCC1DA1B1D1EFMGH（2）设E、F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.第二百一十二页，共563页。直线与平面平行的判定定理可简述为“线线平行，则线面平行”小结通过直线间的平行，推证直线与平面平行，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）.思想方法第二百一十三页，共563页。作业P55-56练习1，2

P62习题2.2A组3，4第二百一十四页，共563页。平面与平面平行的判定第二百一十五页，共563页。思考1:我们知道，两个平面的位置关系是平行或相交.问：对于两个平面α、β，你猜想在什么条件下可保证平面α与平面β平行？第二百一十六页，共563页。

1.三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？A

2.三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？A思考2第二百一十七页，共563页。1.一般地，如果平面α内有一条直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？2.如果平面α内有两条直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？思考3αβ第二百一十八页，共563页。两个平面平行的判定

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．第二百一十九页，共563页。平面平行的判定定理的证明已知：在平面内，有两条直线、相交且和平面平行．求证：．证明：用反证法证明．假设．同理这与题设和是相交直线是矛盾的．第二百二十页，共563页。

例1

已知：在正方体ABCD-A′B′C′D′中.求证：平面AB′D′∥平面BC′D.

BAA′B′C′D′CD例题分析第二百二十一页，共563页。例2在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心.求证：平面DEF//平面ABC.PABCDEFMN第二百二十二页，共563页。直线交与点求证：平面

平面练习已知：第二百二十三页，共563页。小结1.知识小结2.思想方法面面平行线线平行线面平行第二百二十四页，共563页。作业P58练习1，2，3P62习题2.2A组7，8第二百二十五页，共563页。直线与平面平行的

性质第二百二十六页，共563页。直线与平面平行的判定定理是什么？复习定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.问：其逆定理是否成立？第二百二十七页，共563页。如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？思考1aα第二百二十八页，共563页。若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？aα思考2第二百二十九页，共563页。教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？思考3aα第二百三十页，共563页。性质定理及证明

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．已知：，，求证：．证明：．

直线与平面平行第二百三十一页，共563页。教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？问题解决灯管地面第二百三十二页，共563页。例1在图中所示的一块木料中，棱BC平行于平面A’C’

．（1）要经过平面内的一点P和棱BC将木料据开，应怎样画线？（2）所画的线和平面AC是什么位置关系？AA′CBDPD′B′C′第二百三十三页，共563页。例2

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.cabα如图，已知直线a，b和平面α

，a∥b，a∥α,a，b都在平面α外.求证：b∥α.

第二百三十四页，共563页。练习如果三个平面两两相交，有三条交线，如果有两条交线平行，那么第三条交线和这两条交线的位置关系如何？αβabl三条交线两两平行第二百三十五页，共563页。小结直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”思想方法线面平行的性质定理不但提供了用线面平行来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.第二百三十六页，共563页。作业P61-63习题2.2A组1，2，5，6第二百三十七页，共563页。平面与平面平行的性质第二百三十八页，共563页。复习1:两个平面的位置关系是.平行或相交第二百三十九页，共563页。两个平面平行的判定

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．复习2:第二百四十页，共563页。若，则直线l与平面β的位置关系如何？思考1第二百四十一页，共563页。

两个平面平行的性质结论1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．第二百四十二页，共563页。若，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β的位置关系如何？思考2βαl第二百四十三页，共563页。βα

若//

，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？为什么？思考3ab第二百四十四页，共563页。两个平面平行的性质定理定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：这个定理判定两直线平行的依据之一第二百四十五页，共563页。例1求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.DαBβAC第二百四十六页，共563页。例2在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M在CD′上，试判断直线MB′与平面BDA′的位置关系，并说明理由.A′B′C′D′ABCDM第二百四十七页，共563页。例3如图，已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面β.ABCDαMNβEl第二百四十八页，共563页。练习1αβγablbαβγal相交于一条交线三条交线两两平行三条交线相交于一点如果三个平面两两相交，那么它们的交线位置如何？第二百四十九页，共563页。一条斜线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成的角相等．应用举例练习2第二百五十页，共563页。小结知识小结几个结论和性质的应用思想方法线面平行或线线平行面面平行第二百五十一页，共563页。作业P61练习P63习题2.2B组2，3，4第二百五十二页，共563页。直线、平面垂直的

判定及其性质2.3第二百五十三页，共563页。主要内容2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.4平面与平面垂直的性质第二百五十四页，共563页。直线与平面垂直的

判定第二百五十五页，共563页。直线和平面的位置关系复习1直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行第二百五十六页，共563页。旗杆与地面的位置关系观察第二百五十七页，共563页。线面垂直大桥的桥柱与水面的位置关系第二百五十八页，共563页。思考1直线和平面垂直旗杆与地面中的直线的位置关系如何？第二百五十九页，共563页。将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考2第二百六十页，共563页。思考3一条直线与一平面垂直的特征是什么？特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．BAC第二百六十一页，共563页。直线和平面垂直如果直线l

与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线l

与平面互相垂直.定义平面的垂线直线l的垂面垂足平面内任意一条直线第二百六十二页，共563页。如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？思考4lα第二百六十三页，共563页。如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接触）．（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直．探究第二百六十四页，共563页。当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直．第二百六十五页，共563页。

（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，你同意他的说法吗？

（2）如图，由折痕，翻折之后垂直关系不变，，．由此你能得到什么结论？思考5第二百六十六页，共563页。线面垂直的判定判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直直线与直线垂直思想：第二百六十七页，共563页。例1.如图，已知，求证根据直线与平面垂直的定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证明：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，第二百六十八页，共563页。例2已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是与AC异面的体对角线.求证：AC⊥BD'ABDCA′B′CD′′第二百六十九页，共563页。证明：连接BD因为正方体ABCD-A'B'C'D'所以DD‘⊥平面ABCD又因为所以因为AC、BD为对角线所以AC⊥BD因为DD'∩BD=D所以AC⊥平面D'DB所以AC⊥BD'ABDCA′B′C′D′第二百七十页，共563页。例3在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：AD⊥PC.PABCD第二百七十一页，共563页。如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？答：底面四边形ABCD对角线相互垂直．探究第二百七十二页，共563页。直线与平面垂直的判定定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”小结通过直线间的垂直，推证直线与平面垂直，即将直线与平面的垂直关系（空间问题）转化为直线间的垂直关系（平面问题）.思想方法第二百七十三页，共563页。前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直线与平面不垂直时情况怎么样呢？问题提出第二百七十四页，共563页。直线与平面所成的角第2课时第二百七十五页，共563页。线面角相关概念αP斜线PA与平面所成的角为PABl平面的斜线A斜足A斜线PA在平面内的射影垂足BB平面的垂线第二百七十六页，共563页。1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的射影所成的角2.平面的垂线与平面所成的角为直角3.一条直线与平面平行或在平面内，则这条直线与平面所成的角的00角一条直线与平面所成的角的取值范围是第二百七十七页，共563页。例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.D1ABA1CB1C1DO第二百七十八页，共563页。例2如图，AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO⊥平面，垂足为O，直线BC在平面内，已知∠ABC=60°，OBC=45°，求斜线AB和平面α所成的角.ABCOαD第二百七十九页，共563页。如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关系如何？DαCAB∠BAD>∠BACE解：作BOAD于O，BEAC于E，则BD<BEsinBAD<sinBAC思考1o第二百八十页，共563页。两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？思考2第二百八十一页，共563页。1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？思考3第二百八十二页，共563页。小结1.直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量.线面垂直和线面平行是特殊情况.2.斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角.3.求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影.第二百八十三页，共563页。作业P67练习1，2，3第二百八十四页，共563页。平面与平面垂直的判定第二百八十五页，共563页。第二百八十六页，共563页。卫星轨道面地球赤道面第二百八十七页，共563页。概念直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面.半平面半平面射线射线第二百八十八页，共563页。概念从一点出发的两条射线，构成平面角.同样,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.m记为：二面角-m-记作AOBABO第二百八十九页，共563页。二面角的图示第二百九十页，共563页。二面角的记号（1）以直线为棱，以为半平面的二面角记为：（2）以直线AB为棱，以为半平面的二面角记为：AB第二百九十一页，共563页。思考3两个相交平面有几个二面角？第二百九十二页，共563页。如何用平面角来表示二面角的大小？探究lαβOABlαβOAB二面角-l-第二百九十三页，共563页。二面角的平面角

以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角∠AOB即为二面角α-AB-β的第二百九十四页，共563页。

注意：二面角的平面角必须满足：

（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内.（3）角的边都要垂直于二面角的棱.第二百九十五页，共563页。二面角的取值范围0度角180度角lαβ00~1800第二百九十六页，共563页。例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.端点第二百九十七页，共563页。例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.AA1BCDB1C1D1O第二百九十八页，共563页。例3如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为450

，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到达E处，此时人升高了多少m？ABCDEOF第二百九十九页，共563页。小结二面角的平面角的作法：1.定义法：根据定义作出来.2.作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到.3.应用三垂线定理：应用三垂线定理或其逆定理作出来.oABoAoABB第三百页，共563页。平面与平面垂直的判定第2课时第三百零一页，共563页。平面与平面垂直的判定定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.αβaAb记为第三百零二页，共563页。

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．αβaA面面垂直线面垂直线线垂直第三百零三页，共563页。例1如图，⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.PABCO第三百零四页，共563页。证明:第三百零五页，共563页。例2在四面体ABCD中，已知AC⊥BD,∠

BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE第三百零六页，共563页。

例3如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF第三百零七页，共563页。请问哪些平面互相垂直的,为什么?探究：ABCD第三百零八页，共563页。小结1.知识小结1）二面角及其平面角

2）两个平面互相垂直

2.思想方法面面垂直线线垂直线面垂直第三百零九页，共563页。作业P69练习P73习题2.3A，1，2，3，4.第三百一十页，共563页。直线与平面垂直的

性质第三百一十一页，共563页。直线与平面垂直的判定定理是什么？复习直线与平面垂直的定义是什么？aαa第三百一十二页，共563页。思考1如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？AA1BCDB1C1D1第三百一十三页，共563页。思考2如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？ablablab

l相交平行异面第三百一十四页，共563页。思考3如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b一定平行吗？第三百一十五页，共563页。垂直于同一个平面的两条直线平行直线与平面垂直的性质定理第三百一十六页，共563页。直线与平面垂直b’Oabαc性质定理的证明反证法证明：第三百一十七页，共563页。

例1如图，已知于点A，于点B，求证：

.ABCαβla第三百一十八页，共563页。小结直线与平面垂直的性质定理可简述为“线面垂直，则线线平行”思想方法线面垂直的性质定理不但提供了用线面垂直来证明线线平行的方法，也提供了作平行线的一种方法.“线面垂直，则线线垂直”第三百一十九页，共563页。作业P71练习1，2P73习题2.3A组，5，6.B组1，2第三百二十页，共563页。平面与平面垂直的性质第三百二十一页，共563页。复习1αβlαβlγ两个平面相互垂直三个平面两两垂直第三百二十二页，共563页。两个平面垂直的判定

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．复习2αβl第三百二十三页，共563页。

1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？αβ思考？第三百二十四页，共563页。思考？2.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？AA1BCDB1C1D1第三百二十五页，共563页。3.设，,垂足为B，那么直线AB与平面的位置关系如何？为什么？αβABDCE思考？第三百二十六页，共563页。

两个平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另