名师教案 人教B版高中数学选择性必修第一册2.7.1抛物线的标准方程

课程基本信息课题2.7.1抛物线的标准方程教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册B版出版社：人民教育出版社出版日期：2020年8月教学目标教学目标：类比椭圆、双曲线，理解抛物线的概念；会推导和应用抛物线的标准方程教学重点：抛物线的概念与标准方程教学难点：抛物线的标准方程的推导教学过程时间教学环节主要师生活动2分情境与问题抛物线这个几何对象，我们并不陌生.例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图像是一条抛物线；等等.到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？本节课我们要探讨的就是抛物线的定义及其标准方程.5分抛物线的定义一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.另外，从本章导语中可以看出，抛物线也可以通过用平面截圆锥面得到，因此抛物线是一种圆锥曲线.10分抛物线的标准方程《尝试与发现》怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？同椭圆、双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程.《探究》为了方便，过抛物线的焦点F作准线l的垂线，记垂足为K，设KF=p（即F到准线l的距离为p），因为直线l不过点F，所以如图，以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.此时，抛物线的焦点为Fp2，0设M(x，y)是抛物线上一点，则M到F的距离为MF=x-p22+y2，M到F直线上式两边平方，整理可得y2=方程①就是抛物线的方程，通常称为焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程.显然，满足方程①的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的抛物线如图所示.《尝试与发现》如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所示，其他不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能够通过①式得到抛物线的标准方程具有的形式呢？可以看出，如果按照图（1）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为F-p2，0，准线为x=p2；只要将①中的通常称②为焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程.类似地，如果按照图（2）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为F0，p2，准线为y=-p2；只要将①中的x通常称③为焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程.如果按照图（3）的方式建立平面直角坐标系，则抛物线的焦点为F0，-p2，准线为y=p2；只要将①中的x变为－y且y变为－x即可得到抛物线的方程为x2=-由上可以看到，抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的.如不特别声明，以后总认为抛物线有相应的p（p>0）值，而且以后谈到抛物线的标准方程时，总是指①②③④这四种形式之一，具体如下：y2=2px①；x2=2py③；6分抛物线的定义与标准方程的应用例1分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：（1）抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上；解（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有y2=2px的形式，而且p=3，因此所求标准方程为（2）抛物线的焦点是F-解（2）因为抛物线的焦点是F-3，0，所以抛物线的标准方程具有y2=-2px的形式，而且p准线方程为x=例2已知平面直角坐标系中，动点M到F0，-2的距离比M到x轴的距离大2，求M解设M坐标是x，x2+(y当y>0时，方程可变为x=0，这表示的是端点在原点、方向为当y≤0时，方程可变为x