2023年黑龙江省哈尔滨市珠河中学高二数学理联考试卷含解析

2023年黑龙江省哈尔滨市珠河中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设点M为抛物线上的动点，点为抛物线内部一点，F为抛物线的焦点，若的最小值为2，则的值为（

）

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：B略2.若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．3.设是圆上的动点,是直线上的动点,则的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2参考答案：B4.在数列中，则的值为（）A.49B.

50

C.51

D.52

参考答案：D略5.下列命题中，真命题的是（

）A.B.C.的充要条件是D.若，且，则中至少有一个大于1参考答案：D【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A，B.利用充要条件和必要条件的定义判断C.利用反证法证明D．【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．B.当时，，所以B错误．C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误．D.假设x，y都小于1，则，，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.6.执行右面的程序框图，输出的S是（

）A．－378

B．378

C．－418

D．418参考答案：D7.已知圆的方程为：.直线方程为L：，则直线L与圆的位置关系是(

)A．相交

B.相离

C.相切

D.以上都有可能

参考答案：A8.若直线ax+by﹣1=0（a＞0，b＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心，则+的最小值为（）A．+1 B．4 C．3+2 D．6参考答案：C【考点】7F：基本不等式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知利用对称中心的意义可得：当x=1时得到曲线的对称中心为（1，1），于是a+b=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：∵0＜x＜2，∴0＜πx＜2π，∴当x=1时，sinπx=0，可得曲线y=1+sinπx（0＜x＜2）的对称中心为（1，1）．代入直线ax+bx﹣1=0（a＞0，b＞0），可得a+b=1．∴+=（a+b）=2+=，当且仅当2a=b=时取等号．∴+的最小值为．故选：C．9.下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③线性回归方程必过（）；④在一个2×2列联中，由计算得则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3

本题可以参考独立性检验临界值表：0．50．400．250．150．100．050．250．0100．0050．001k0．4550．7081．3232．0722．7063．8415．0246．5357．87910．828

参考答案：B略10.已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是A．

B．或C．

D．或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列事件:①对任意实数x,有x2<0;②三角形的内角和是180°;③骑车到十字路口遇到红灯;④某人购买福利彩票中奖;其中是随机事件的为__________.

参考答案：③④12.已知向量=m+5﹣，=3++r若∥则实数m=

，r=

．参考答案：15；﹣。【考点】共线向量与共面向量．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】由∥得出坐标对应成比例，分别求出实数m和r即可【解答】解：向量=m+5﹣=（m，5，﹣1），=3++r=（3，1，r），∥，则==解得m=15，r=﹣故答案为：15，﹣【点评】本题考点是空间共线向量的坐标表示，考查了空间共线向量等价条件的简单应用．13.设函数的导函数为，若，则＝

▲

．参考答案：105

结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：，据此可得：.

14.已知圆过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的标准方程为______________．参考答案：(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝3715.如图是“平面向量的数量积”的知识结构图，若要加入“投影”，则应该是在

的下位．参考答案：几何意义16.若数列的前项和，则此数列的通项公式为_________

参考答案：略17.点，点，动点满足，则点的轨迹方程是

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线，为坐标原点，动直线与抛物线交于不同两点（1）求证:·为常数；（2）求满足的点的轨迹方程。参考答案：解：将代入，整理得，因为动直线与抛物线C交于不同两点A、B，所以且，即

解得:且．设，，则．（1）证明：·==∴·为常数．（2）解：．

设，则

消去得：．又由且得：，

，

∴，所以，点的轨迹方程为略19.如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB＝2,∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB,求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.参考答案：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.(2)设AC∩BD＝O.因为∠BAD＝60°,PA＝AB＝2,所以BO＝1,AO＝CO＝.如图,以O为坐标原点,OB、OC所在直线及点O所在且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz,则P(0,－,2),A(0,－,0),B(1,0,0),C(0,,0).

所以＝(1,,－2),＝(0,2,0).设PB与AC所成角为θ,则cosθ＝＝＝.(3)由(2)知＝(－1,,0).设P(0,－,t)(t＞0),则＝(－1,－,t).设平面PBC的法向量m＝(x,y,z),则·m＝0,·m＝0.所以令y＝,则x＝3,z＝,所以m＝.同理,可求得平面PDC的法向量n＝.因为平面PBC⊥平面PDC,所以m·n＝0,即－6＋＝0.解得t＝.

所以当平面PBC与平面PDC垂直时,PA＝.20.已知函数，，.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：，恒成立.参考答案：（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【分析】（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.【详解】（1），①当时，时，；时，在上单调递增，在上单调递减②当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减③当时，在上恒成立在上单调递增④当时，和时，；时，在和上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减（2）对，恒成立即为：，等价于：令，则时，；时，在上单调递减，在上单调递增令，则时，；时，在上单调递增，在上单调递减综上可得：，即在上恒成立对，恒成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题的关键是能够将所证不等式转化为两个函数之间最值的比较，通过最小值与最大值的大小关系得到结论.21.

在数列中，.

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为；

（3）设，求不超过的最大整数的值.参考答案：（1）证明：由已知得：，即所以数列为首项为1，公差为1的