2019年上海市各区高考数学一模试卷（合集共16份）

2019年上海市宝山区高考数学一模试卷

一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求

在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1.（4分）函数/（X）=sin（-2x）的最小正周期为.

2.（4分）集合U=R,集合A=｛x|x-3>0｝,B=｛x|x+l>0｝,则.

3.（4分）若复数z满足（1+z）z=2i（i是虚数单位），则2=.

4.（4分）方程例（9V+3X-1）=0的根为.

5.（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班

级至少有一名代表，则各班级的代表数有种不同的选法.（用数字作答）

6.（4分）关于x,y的二元一次方程的增广矩阵为贝|jx+）=

7.（5分）如果无穷等比数列｛斯｝所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比

8.（5分）函数（%）与的图象关于直线y=-/对称，则/（%）=

1TTT

9.（5分）已知A（2,3）,B（1,4）,且一AB=（sinx,cosy）,x,yE（一,，

71

-）,则x+y=.

10.（5分）将函数y=-VF中的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积

是•

11.（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△A8C

中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，已知匕=2或，ZA=45°,求边c,显然

缺少条件，若他打算补充”的大小，并使得c,只有一解，a的可能取值是（只

需填写一个适合的答案）

12.（5分）如果等差数列｛斯｝，｛瓦,｝的公差都为d（dWO）,若满足对于任意〃6N*,

都有儿-诙=股,其中左为常数，依N*,则称它们互为同宗”数列.已知等差数列

｛诙｝中,首项。1=1,公差d=2,数列｛瓦｝为数列｛斯｝的“同宗"数列，若lim

二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有

一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，

否则一律得零分.

13.（5分）若等式1+x+x2+x3=ao+a\（1-x）+公（1~x）2+<23（1-x）,对一切%GR

都成立，其中U\,。2,的为实常数，则。0+〃1+々2+的=（）

A.2B.-1C.4D.1

14.（5分）“1曰一5，$是"sin（arcsin）=x”的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

15.（5分）关于函数/（x）=&的下列判断，其中正确的是（）

A.函数的图象是轴对称图形

B.函数的图象是中心对称图形

C.函数有最大值

D.当x>0时，y=f（x）是减函数

X2V2

16.（5分）设点M、N均在双曲线C：一—J=1上运动，&是双曲线C的左、

43

右焦点，I”]+“%2-2嬴|的最小值为（）

A.2A/3B.4C.2V7D.以上都不对

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区

域（对应的题号）内写出必要的步骤。

17.（14分）如图，在四棱锥P-A3C£>中，PAJ_平面A8CD,正方形ABCO的边长

为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.

（1）求正四棱锥E-ABCD的体积V；

（2）求直线8E与平面PCQ所成角0的大小.

V3sin2x-1

18.(14分)已知函数f(x)=1cos2x2，将/(X)的图象向左移a(a>0)

001

个单位的函数y=g(x)的图象.

(1)若a=?求y=g(x)的单调递增区间；

(2)若aC(0>—),y=g(x)的一条对称轴x="，求y=g(x),xG[O,5]的

值域.

19.(14分)某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，

其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温

度y(单位：度)与时间f(单位：小时，色|0,20])近似地满足函数y=|f-

13|+提关系，其中，。为大棚内一天中保温时段的通风量.

(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最

低温度(精确到().1°C)；

(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时

段通风量的最小值.

x2

20.(16分)已知椭圆「：]+>2=1的左、右焦点为Q、F2.

(1)求以F1为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

(2)若椭圆「上点W满足“四尸2=半求M的纵坐标y”；

(3)设N(0,1),若椭圆「上存在两不同点尸，Q满足NPNQ=90°,证明直线

PQ过定点并求该定点的坐标.

21.(18分)如果数列｛斯｝对于任意"CN*,都有为+2-斯=4其41d为常数，则称

数列｛斯｝是“间等差数列”，d为“间公差”，若数列｛斯｝满足斯+斯+尸2〃-35,

〃eN*,a\=a(aCR).

(1)求证：数列｛斯｝是“间等差数列”，并求间公差d;

(2)设S,为数列｛斯｝的前八项和，若S,的最小值为-153,求实数。的取值范围；

(3)类似地：非常数列｛b｝对于任意“CN*,都有*=g,其中q为常数，则称

bn

数列｛%｝是“间等比数列”，q为“间公比”.已如数列｛Cn｝中，满足Ci=k(kWO,

-1

依Z),CnC"+l=2O18・(5)"1〃6N*,试问数列｛.｝是否为“间等比数列”，若

是，求最大整数发使得对于任意〃6N*,都有Cn>C”+i;若不是，说明理由.

2019年上海市宝山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本题满分54分)本大题共有12题，1・6每题4分，7・12每题5分，要求

在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。

1.(4分)函数/(x)=sin(-2x)的最小正周期为n.

【解答】解：函数/(x)=sin(-2x)的最小正周期为三=—

故答案为：TT.

2.(4分)集合U=R,集合A={#r-3>0},B={x|x+l>0},贝USDCuA=_U

【解答】解：•..集合U=R，集合4={x|x-3>0}={x|x>3},

B={x|x+l>0}={小>-1},

，CuA={xWW3},

.'.BnCuA={x|-l<x^3}=(-1,3|.

故答案为：(-1,3].

3.(4分)若复数z满足(1+z)z=2iG是虚数单位),则2=一.

【解答】解：：(1+i)z=2i,

.2i2i(l-i)2+2i.,.

..Z=1||'/I•x-=Q=]+j,

l+i2

：.z=1-i.

故答案为：1-i.

4.(4分)方程In(9X+3X-1)=0的根为0.

【解答】解：根据题意,In(9V+3V-1)=0,即9、+3"1=1,

令r=3。(f>0),则有上+t-2=0,

解可得f=1或-2；

又由r>0,则有r=l,即3芯=1,解可得x=0,

故答案为：0.

5.（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班

级至少有一名代表，则各班级的代表数有20种不同的选法.（用数字作答）

【解答】解：由题意，4个班级的学生中选出7名学生代表，

每一个班级中至少有一名代表，

相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3

个插板，分成四份，总的分法有C63=20

故答案为：20.

6.（4分）关于x,y的二元一次方程的增广矩阵为Cj-3）,则》+丫=-8.

【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为（］:~3）,

则二元一次方程组为：=13,两式相减可得：x+y=-8

故答案为：-8.

7.（5分）如果无穷等比数列｛斯｝所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比夕=

2

3-,

【解答】解：由题意可知，所有项和s=4，

l-q

奇数项的和5布=鼻，

1—

••百=l-q2'

解可得，夕=一|

故答案为：-称

8.（5分）函数y=/（x）与的图象关于直线y=-x对称，则/（x）~-e

【解答】解：设点(X,y)在y=/(x)的图象上，贝IJ(x,y)关于直线丫=-》对

称的点(-y,-x)在了=//«的图象上，

得到-x=/〃(-y),

・・_・--yX—e,

・，・y=-ex,

f(x)=-e",

故答案为：-eA.

1TIT

9.(5分)已知4(2,3),B(1,4),且5/8=(sinx,cosy),x,yG(一于

-),则x+v=/或一耳.

2-6^----2-

T1T

【解答】解：AB=(-1,1),=(sinx,cosy),

・.11

・・sinx=-cosj=2,

・・匚/71■兀、

・x,yG(—5，—),

」22

•7T—p.7T

・・x+y=5或一于

故答案为二或-5.

6z

10.（5分）将函数），=-的二千的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是

【解答】解：•.•函数y=-4^懑的图象是圆/+/=],y这。，是半径为1的下半

圆，

二将函数）=-万中的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以R=1为半径的

半球体，

，将函数），=淳的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是:

i/1,43aJ、2

V=2x(可兀x1)=gm

2

故答案为：-n.

11.（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在AABC

中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，己知b=2VLZA=45°,求边c,显然

缺少条件，若他打算补充。的大小，并使得c只有一解，。的可能取值是，或

（只需填写一个适合的答案）

【解答】解：由己知及正弦定理三=一々，可得磊=史|,

sinAsinBsinB

2

272

可得sin3=：W｛l｝U(0)—\,可得：a=｛2｝U[2V2,+°°).

可得a的可能取值是2近.

故答案为：2VL

12.（5分）如果等差数列｛斯｝，｛瓦｝的公差都为d（d#0）,若满足对于任意〃6N*,

都有b-斯=/，其中k为常数，依N*,则称它们互为同宗”数列.已知等差数列

｛斯｝中，首项卬=1,公差d=2,数列｛〃,｝为数列｛斯｝的''同宗"数列，若〃加

n->oo

111、1…

(z——+——+,•,+——)=弓，贝!|左=2•

a1b1a2b2anbn3

【解答】解：由等差数列｛斯｝中，首项。］=1,公差d=2,

可得1+2(〃-1)=2n-1f

数列协〃｝为数列｛斯｝的“同宗”数列,

可得b〃=a〃+2k=2〃-1+2%,

〜11111

由----=----------------=—(--------------)，

anbn(2n—l)(2n-1+2/c)2k2n—12n-1+2/c

r.ll1111111

则----+----+・・•+-----=—(1-------------1----------------1-・••-I--------------------------)

入%通1a2b2anbn2kl+2k+33+2k十+2n—l2n-l+2k

.,„1111111

当k—1时，右Um(；~+■—+…+;)=UTYI5(1—5+可―三+…+

n->ooa1b1a2b2anonn->ooz335

-2______?_)

2n-l2n+l

=^2(1一诉T)=5'不成立;

1111111

-+--+--++

当k=2时、lim(----+-----+•53759

n-»ooa2b2

______M

2n-l2n+3

-1/一1I1X141#一

-1

=nl^iomo-47(1+3oo2~n+~lo2~九~+T35)=74X不3=不3,成乂；

1111iiii1

当左=3时，liin(++…+)=limz(1—55一G+工一7T+

n-8。1匕1Q2b2an^nn—8b/5bLI

…+_^______

271-12九+5，

1

-1,11112323

lim63+己—n-FT-n~~To,-n■-TF)=ZX77-="，不成乂；

n->oo352n+l2n+32n+561590

111111

同理可得Q加时'做=-(1+.+...+__)'

1111

由--(1+□+•••4-5----7)=不，

2m32m-l3

..1,,12m—r、几一1,.12m

nn-,

即1+不3+…+52m-lr--53-,可设5=1+不3+…+52m-1735

12

Cm+\-Cm=2^+i-W<0，可得Cm递减，C2=0,

1111

可得仅有2=2时，lim=4，

n->oo。2。2an^n$

故答案为：2.

二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有

一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，

否则一律得零分.

2

13.(5分)若等式1+九+,+『=〃0+4](1-x)+。2(1-X)4-«3(1-X)3对一切X6R

都成立，其中。0,。2,。3为实常数，则。()+。1+。2+。3=()

A.2B.-1C.4D.1

【解答】解：等式1+x+x2+x3=ao+a\(1-x)+。2(1-x)2+a3(1-x)对一切xGR

都成立，其中⑪，田，念，的为实常数，

贝！J令X=0,可得。0+。]+〃2+〃3=1，

故选：D.

14.（5分）“x€[-搭，勺是"sin（arcsin）=x"的（）条件

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分又非必要

【解答】解：•••y=arcsinx的定义域为[-1,1],

/.sin（arcsinx）=x=x€[-l,1],

Vxe[-^,*推不出-1,1],

7171

xe[-1，1]=阳一天-],

“旧-令与是“sin（arcsin）=x”的必要非充分条件.

故选:B.

15.（5分）关于函数/（x）=目的下列判断，其中正确的是（）

A.函数的图象是轴对称图形

B.函数的图象是4•心对称图形

C.函数有最大值

D.当x>0时,，y=f（x）是减函数

【解答】解：函数/（X）=&，可得/（-X）=目=/（幻，函数是偶函数，

所以A正确；

8错误；

函数没有最大值，x>2时，y=f（x）是减函数，所以C,。错误；

故选：A.

42y2

16.（5分）设点M、N均在双曲线C：---=1上运动，Fi，&是双曲线C的左、

43

右焦点，|M%i+M%-2嬴|的最小值为（）

A.2V3B.4C.2V7D.以上都不对

【解答】解：设。为QF2的中点，KlJlMFi+MF2-2MN\=\2MO-2MN\=2\NO\^

2a—4.

.,.|总1+M%-2加|的最小值为4.

故选：B.

三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区

域（对应的题号）内写出必要的步骤。

17.（14分）如图，在四棱锥P-A3C。中，平面A8C。，正方形A8CO的边长

为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.

（1）求正四棱锥E-ABCD的体积V；

（2）求直线BE与平面PC。所成角6的大小.

【解答】解：（1）：在四棱锥P-A8C。中，PAJ_平面A8CD,

正方形438的边长为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.

.•.点E到平面ABCD的距离h=^PA=^X4=2,

S正方形ABCD=2X2=4，

...正四棱锥E-ABCD的体积：

18

V=1X/lXS正方形ABCD=--

33

（2）以4为原点，AB为x轴，AO为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系,

则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),E(1,1,2),。(0,2,0),

BE=(-1,1,2),DP=(0,-2,4),DC=(2,0,0),

设平面PC。的法向量1=(x,y,z),

则=-2y+4z=0,取产2,得能(0,2,1),

n-DC=2x=0

•直线BE与平面尸CD所成角0,

..c\BE-n\42痴

•.SingT二=元左=

\BE\-\n\46752

2-730

/.0=arcsin----.

15

J直线BE与平面PC。所成角9为arcsin^f^.

A/3sin2x—1

18.(14分)已知函数f(x)=icos2x2，将/(X)的图象向左移a(a>0)

001

个单位的函数y=g(x)的图象.

(1)若a=J,求y=g(x)的单调递增区间；

(2)若a€(0,g),y=g(x)的一条对称轴求产g(x),xe|0,刍的

22

值域.

【解答】解：⑴由题意，可得/(x)=V3cos2x-sin2x=2cos⑵+5)，

由/(x)的图象向左移a(a>0)个单位，可得g(x)=f(x+a)=2cos

TT、

(2%+2a+z),

6

Va=可得g(x)=2cos(2x+竽),

令2kn-TIW2X+—<2ZTR,依Z.

得：kn<x<kn—泉

故得g(x)的单调递增区间为区兀一半，/ot—多，蛇Z.

⑵由⑴可得g(x)=2cos(2x+2a+1),

函数g(x)的一条对称轴工=各

即2x+2a+?-=kn,依Z.

izo

・_1/乃

・・oc=Rm-z，

Lo

,7T、

VaG(0,—),

2

・n

••(X-可，

则g(x)=2cos(2x+警)，

6

n

VxG[0,-],

5兀57T117T

・・・2X+RTV1,

...当2x+4=TT时，g(x)取得最小值为-2;

.♦.当2x+^=学时，g(x)取得最大值为国;

7T

故得g(x)在x€[0,寸的值域为[-2,V3].

19.(14分)某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，

其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温

度y（单位：度）与时间，（单位：小时，隹［0,20］）近似地满足函数y=|L

13|+«关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量.

（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最

低温度（精确到0.1℃）；

（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时

段通风量的最小值.

【解答】解：（1）y=|f-13|+当^,

①当向0,13］时，y=13-f+携，此时函数单调递减，当f=13时，ymin=y,

②当（13,20］时，y~t~13+=（Z+2）+—15,

令〃=什2,U（15,22］,则卜=“+史-15,此时函数单调递增，当f=13时，

,U

20

ymin-

20

综上所述最低温度为了。6.7℃,

（2）\t-131+^2>17,在x€［0,20］恒成立,

①当生［0,13］时，13-/+^2>17,可得匕2（Z+4）（/+2）=（r+3）2-1,

由于产（£+3）2-1,在/日0,13］单调递增，ymax=255,

②当正（13,20］时，L13+各217,可得人。（30-力（f+2）=-（t-14）

2+256

由于y=-（f-14）2+256W255,当f=14时取等号，

综上所述，b'256,

二大棚一天中保温时段通风量的最小值为256.

x2

20.（16分）已知椭圆「：丁+y2=i的左、右焦点为尸卜&.

4

（1）求以Fi为焦点，原点为顶点的抛物线方程;

(2)若椭圆「上点M满足〃也&=多求历的纵坐标加;

(3)设N(0,1),若椭圆「上存在两不同点P,Q满足NPNQ=90°,证明直线

PQ过定点并求该定点的坐标.

x2

【解答】解：(1):椭圆「：了+『=1的左、右焦点为B、&.

4

：.F](-V3,0)，

・•・以Fi为焦点，原点为顶点的抛物线方程为y2=-4V3%.

(2),・,椭圆「上点M满足

9Z.FrMF21

・・・SM]MF2=8-tan---=--•|yM|,

7rll

即1Xtan-=-x2V3X|）,MI，

62

解得M的纵坐标9=±|.

证明：(3)设直线/p°：y=kx+m,(mWl),P(乃，力)，Q(尬，丫2)，

y=kx+m

21

x9，得（1+4公）/+8Z〃?K+4（m-1）=0,

（彳+y=1

8km_4（?n2—1）

△>0,不+不=刁"2=KF'

T—>

•・・NPNQ=90°,:・NP•NQ=xiX2+y\y2-Ji~"+1=0,

/.X1X2+（5+加）（去2+加）~（fcvi+w）-（"2+m）~（如+，％）-（kxy^tn）+1

/.（1+公）X\X2^k（加-1）（X1+X2）+（加一1）2=0,

（5m+3）Cm-1）=0,

3

V1）.•.加=—q,

QQ

・,•直线「Q：＞=依-g过定点（0,一可）.

21.(18分)如果数列｛斯｝对于任意"CN*,都有a〃+2-%=d,其中d为常数,则称

数列｛斯｝是“间等差数列”，d为“间公差”，若数列｛斯｝满足斯+斯+尸2〃-35,

〃eN*,a\—a(«GR).

(1)求证：数列｛斯｝是“间等差数列”，并求间公差d;

(2)设S,为数列｛斯｝的前〃项和，若S”的最小值为-153,求实数。的取值范围；

(3)类似地：非常数列｛与｝对于任意“CN*,都有学=q,其中q为常数，则称

bn

数列｛%｝是“间等比数列”，q为“间公比”.已如数列｛Cn｝中，满足Ci=k(k20,

-1

依Z),CnC”+i=2O18・(-)"1〃6N*,试问数列｛.｝是否为“间等比数列”，若

是，求最大整数人使得对于任意〃6N*,都有Cn>C”+i;若不是，说明理由.

【解答】(1)证明：若数列｛斯｝满足为+斯+1=2〃-35,〃CN*,

则：为+1+。〃+2=2(〃+1)-35,

两式相减得：afl+2-=2.

故：数列｛斯｝是“间等差数列"，公差d=2.

(2)(z)当〃=2%时，

#/DEL/#

(〃]+。2)+(的+〃4)+…+(〃〃-]+〃〃)

Sn=#/DEL/#

=-33-29+-+⑵-37)，

_n(n-35)

=~2-

易知：当〃=18时，最小值Si8=753.

Cii)当〃=2&+1时，

(怎+的)+(。4+。5)+…+(斯-1+斯)，

=卬+(-33)+(-29)+…+⑵-37),

।(n-l)(n-34)

-U,~rQ,

当〃=17时最小，其最小值为Si7="-136,

要使其最小值为-153,

则：a-1362-153,

解得：aN-17.

(3)易知：CnC“+i=2()18。6)"1

1

则：G,+g+2=2()18・(5)”,

两式相除得：2=：,

cn2

故数列｛.｝为“间等比数列”，

其间等比为点C1=k,C2=竿，

(k.《产"为奇期

易求出数列的通项公式为：21n

(竿0)2-15为偶助

vKL

由于：Cn>CM+l>

则：数列单调递减.

那么，奇数项和偶数项都为单调递减，

所以：k>0.

要使数列为单调递减数列.只需C2m-I1，

2m—22m

即：1半701R&12m,1

解得：V2018<k<V4036,

所以k的最大值为63.

2019年上海市崇明区高考数学一模试卷

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中第L6题每题4分，第7-12每每题

5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】

九+20

1.（4分）Um

n->oo3n+l

2.（4分）已知集合A={x|-l<x<2},8={-1,0,1,2,3},则AC3=.

3.（4分）若复数z满足2z+2=3-2i,其中i为虚数单位，贝Uz=.

4.（4分）（》2一98的展开式中/的系数为（用数字作答）

5.（4分）角。的终边经过点P（4,y）,且sin6=-|,则tan0=.

6.（4分）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线』=4x上一点尸到焦点的距离为5,

则点P的横坐标是.

7.（5分）圆-2x+4y=（）的圆心到直线3x+4y+5=0的距离等于.

8.（5分）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于.

X—CL

9.（5分）若函数/（x）=1082底不的反函数的图象过点（7,7）,贝!]a=

10.（5分）2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所

高校录取，那么不同的录取方法有种.

11.（5分）设/（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上单调递减,

且满足/（n）=l,/（2n）=2,则不等式组。交京2的解集为.

12.（5分）已知数列{斯}满足：①卬=0,②对任意的〃EN*都有为+]>如成立.

函数月（]）—|sin-（x-a）I，xE[a,即+1]满足：对于任意的实数加€[0,1）,另

nnn

（X）=〃?总有两个不同的根，则{斯}的通项公式是.

二、选择题（本大题共有4题，满分2（）分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】

13.（5分）若a<0<b,则下列不等式恒成立的是（）

A.->-B.-a>bC.a>l?D.a<b3

ab

14.（5分）“p<2”是“关于x的实系数方程f+px+l=0有虚数根”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

15.（5分）已知a,b,2满足热+b+c=O,且*Vb2V72,则a.b,b•c,a•”中

最小的值是（）

A.a-bB.b-cC.a-cD.不能确定

,9

16.（5分）函数/（x）—x,g（x）=x-x+2.若存在xi，xz，x,；G[O,-],使得

/（X|）4/（X2）+-,+f1）+g（X”）=g（Xl）+g（X2）+…+g（X”-I）+f（Xn）,

则〃的最大值是（）

A.11B.13C.14D.18

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤】

17.（14分）如图，设长方体ABC。-AiBiCQi中，AB=BC=2,直线AC与平面

7T

ABC。所成角为二.

（1）求三棱锥A-48。的体积；

（2）求异面直线48与8c所成角的大小.

18.（14分）已知函数/（x）=cosx,sinx+V3cos2x—

（1）求函数/（x）的单调递增区间；

（2）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/（A）=a=3,

b=4.求aABC的面积.

19.（14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元〜1600

万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）

随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过

投资收益的20%.（即：设奖励方案函数模型为y=/（x）时，则公司对函数模型

的基本要求是：当在［25,160（“时，①/（x）是增函数；@f（x）W75恒成立；

（3）/（x）占5恒成立.）

（1）判断函数/（%）=言+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;

（2）已知函数g（x）=a«-5（aN1）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a

的取值范围.

12y2

20.（16分）已知椭圆「：—+—=l（a>&>0）,Bi，B2分别是椭圆短轴的上下两

a2b2

个端点，B是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于点81，&的点，若的边长为

4的等边三角形.

（1）写出椭圆的标准方程；

（2）当直线PBi的一个方向向量是（1,1）时，求以为直径的圆的标准方程;

（3）设点R满足：RB\VPB\,RB2LPB2,求证：△「以历与△代81历的面积之比为

定值.

21.（18分）已知数列｛斯｝,｛b｝均为各项都不相等的数列，S”为｛斯｝的前〃项和，

an+l^n=Sn+1（71CN*）.

（1）若%=1,bn=求44的值；

（2）若｛斯｝是公比为q（qWl）的等比数列，求证：数列｛%+言｝为等比数列；

（3）若｛念｝的各项都不为零，｛瓦｝是公差为d的等差数列，求证：。2,的，…，

%,…成等差数列的充要条件是d=：.

2019年上海市崇明区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1・6题每题4分，第7・12每每题

5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写加过】

1

1.（4分）limn+20

3n+l3

..几+20

【解答】解:lim7：~-r

?i-»oo3n~rl

1+即

lim―牛

…3+-

1+lim—

八一»8八

3+您号

=1+0

=3+0

1

3'

故答案为：

2.（4分）已知集合A={x|-B={-1,0,1,2,3},则A（8=[0,

n_.

【解答】解：ADB={0,1}.

故答案为：{0，

3.（4分）若复数z满足2z+2=3-万，其中i为虚数单位，则z=1-2i.

【解答】解：设2=4+万，（4、b是实数），则2=4-沆，

：2z+2=3-2i,

2a+2hi+a-bi—3-2i,

••3a=3,b=-2,

解得a=\,b=-2,

则z=l-2i

故答案为：1-2i.

4.（4分）（/一：）8的展开式中/的系数为-56（用数字作答）

【解答】解：4产墨（/）8-r（_6r=（_1）『禺X«3，

令16-3r=7,解得r=3.

二（/一》的展开式中了的系数为（一1）3金=-56.

故答案为：-56.

5.（4分）角。的终边经过点尸（4,y）,且s仇。=一匕，则tan8=一五.

【解答】解：角。的终边经过点尸（4,y）,且sin"—京=1^=,

5而

.,.y=-3,则tan6=7=-7>

故答案为：-,.

6.（4分）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线y2=©上一点P到焦点的距离为5,

则点P的横坐标是4.

【解答】解：•••抛物线，=4x=2px,

，p=2,

由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，

，|PE=x+l=5,

・'・x=4,

故答案为：4.

7.（5分）圆f+y2-2x+4y=0的圆心到直线3x+4y+5=0的距离等于0.

【解答】解：由己知得圆心为：P（L-2）,

由点到直线距离公式得：1=照坦=0,

^32+42

故答案为：0.

8.(5分)设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于

V3

---71----.

~3-------

【解答】解：设圆锥的底面半径为八则2m«=2n,.)=1.

・・・圆锥的高h=V22-l2=V3.

.，・圆锥的体积V=1?rr2/i=孚九.

故答案为：-^-7r.

x—a

9.(5分)若函数/(x)=log2^"］的反函数的图象过点(-3，7),则a=_6

【解答】解：♦.•/J)的反函数图象过点(-3,7),所以原函数/(x)的图象过

(7,-3),

7—CL7—Q._a

(7)=-3,即log?，7+]=—3,-g-=2'••4=6.

故答案为：6

10.(5分)2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所

高校录取，那么不同的录取方法有1518种.

【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，

解决这个问题得分三步完成，

第一步把三个学生分成两组，

第二步从23所学校中取两个学校，

第三步，把学生分到两个学校中，共有C31c22A23?=1518,

故答案为：1518.

11.(5分)设/(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［0,1］上单调递减,

且满足/(n)=l,/(2ir)=2,则不等式组的解集为m-2,8-

2TT］.

【解答】解：•••/(x)是以2为周期的偶函数，月J(x)在［0,1］上单调递减;

...由/(n)=1,f(2ir)—2得,f(4-TT)=1,/(2TT-6)=2,且4-IT,2TT-

6e[0,1]；

由1WXW2得，0W2-xWl；

.^(l<x<2,(l<x<2

/(x)<2M>1/(4-7T)</(2-X)</(2兀-6)；

.[1<x<2

''l2n-6<2-x<4-7t；

解得n-2Wx<8-2IT；

原不等式组的解集为E-2,8-2nJ.

故答案为:[n-2,8-2n].

12.(5分)己知数列｛斯｝满足：①功=0,②对任意的〃CN*都有斯+1＞斯成立.

函数工।(x)=|sin-(x-斯)|,xE[a,斯+i]满足：对于任意的实数，,6[0,1),力1

nn

(x)=加总有两个不同的根，则的通项公式是尖=吗匚稣.

【解答】解：Vai=O»当〃=1时,fi(x)=|sin(x-a])|=|sinx|,xG[O,㈤，

又,对任意的〃?[0,1),力(%)=加总有两个不同的根，.•・。2=互，

・••力(x)=sinx,xG[0,n],〃2=m

11%

又力(x)=|sin-(x-t/2)|=|sin-(x-n)|=|cos-|,xG[n,的],

•・,对任意的机00,I),力(x)=一总有两个不同的根，.•・的=3口,

「1、1、1

又力(x)=|sin-(%-a3)|=|sin-(x-3n)|=|sin^rr|,xG[3n,斓,

:对任意的左[0,1),力(%)=根总有两个不同的根，・・・。4=611,

由此可得斯+1-斯=而，

・zx/