九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质同步练习新版北师大版

///3第1课时正方形的性质知识点1利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1,在正方形ABCD中,点E在边DC上,DE＝4,EC＝2,那么AE的长为________．图1－3－1图1－3－22．如图1－3－2,正方形ABCD的边长为1,点E在边DC上,AE平分∠DAC,EF⊥AC,F为垂足,那么FC＝________．3．2019·广安如图1－3－3,四边形ABCD是正方形,E,F分别是AB,AD上的一点,且BF⊥CE,垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－3知识点2利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,那么∠AEB的度数为()A．10°B．12.5°C．15°D．20°图1－3－4图1－3－55．如图1－3－5,E为正方形ABCD的对角线BD上的一点,且BE＝BC,那么∠DCE＝________°.6．2019·怀化如图1－3－6,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－6知识点3利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．假设正方形的一条对角线长为4,那么这个正方形的面积是()A．8B．4eq\r(2)C．8eq\r(2)D．16图1－3－78．如图1－3－7,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,那么阴影局部的面积是________．9．如图1－3－8,正方形ABCD的边长为4,E,F分别为DC,BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点4正方形对称性的应用10．如图1－3－9,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O,B的坐标分别是(0,0),(2,0),那么顶点C的坐标是()A．(1,1)B．(－1,－1)C．(1,－1)D．(－1,1)图1－3－9图1－3－1011.如图1－3－10,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE＝2,AE＝3BE,P是AC上一动点,那么PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,那么∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°图1－3－11图1－3－1213.如图1－3－12,正方形ABCD的边长为eq\r(2),连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB的延长线于点F,那么EF的长为________．14．如图1－3－13,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,那么线段CN的长是________．图1－3－13图1－3－1415．如图1－3－14,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推,那么正方形OB2019B2019C2019的顶点B2019的坐标是________．16．如图1－3－15,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OD,OC上,且DE＝CF,连接DF,AE,AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图1－3－16①),求证：△AEG≌△AEF；(2)假设直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图1－3－16②),求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－16正方形第一节1．2eq\r(13)2.eq\r(2)－13．证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝BC,∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE,∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°,∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中,∠BCE＝∠ABF,BC＝AB,∠CBE＝∠A,∴△BCE≌△ABF(ASA),∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE,∠ABC＝∠BCD＝90°,∠EBC＝∠ECB＝60°,∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中,AB＝DC,∠ABE＝∠DCE,BE＝CE,∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE,∠ABE＝30°,∴∠BAE＝eq\f(1,2)×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°,∴∠EAD＝90°－75°＝15°,同理可得∠ADE＝15°,∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝AB,∠D＝∠B＝90°,BC＝DC.∵E,F分别为DC,BC的中点,∴DE＝eq\f(1,2)DC,BF＝eq\f(1,2)BC,∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中,AD＝AB,∠D＝∠B,DE＝BF,∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,且AB＝AD＝4,DE＝BF＝eq\f(1,2)×4＝2,CE＝CF＝eq\f(1,2)×4＝2,∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×4×2－eq\f(1,2)×2×2＝6.10．C11．1012.C13．414．3cm15．(0,21009)16．证明：∵四边形ABCD是正方形,∴OD＝OC.又∵DE＝CF,∴OD－DE＝OC－CF,即OE＝OF.在△AOE和△DOF中,AO＝DO,∠AOE＝∠DOF,OE＝OF,∴△AOE≌△DOF(SAS),∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°,∠AEO＝∠DEM,∴∠ODF＋∠DEM＝90°,即AM⊥DF.17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AG＝AF,∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°,∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°,即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AG＝AF,,∠GAE＝∠EAF,,AE＝AE,))∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,如图,连接GM,那么△ADF≌△ABG,∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF,∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°,∴△BME,△DNF