九年级数学中考题集之相似讲义

中考题集之相似【知识内容】㈠线段比的转换：⑴等线段代换：即将原比例式中的某一条线段用另一条与之相等的线段代换．⑵等比代换：即将原比例式中的某一比用另一个与之相等的比代换．⑶等积代换：首先将待证比例式，通过对角相乘转化为乘积式，将其中的一个乘积转换为另一组线段的乘积．⑷面积代换：如果线段比、都等于某两个三角形面积比，那么，即实现了线段比的转换．①同底或等底的两三角形的面积比等于高的比；②同高或等高的两三角形的面积比等于底的比．㈡相似三角形的存在性：⑴确定一对相等角．⑵从边进行分类讨论（侧重方程思想的运用）．如果用要求的量和已知的量表示出等角的两边．运用方程的思想，夹边交叉对应成比例建立相关未知数的方程，解方程则可以使问题得到解决．⑶从角进行分类讨论（侧重演绎逻辑推理）．如果两个相等角的夹边不能表示出来，则考虑从角交叉对应相等进行分类讨论，再结合一线三等角、三垂直、射影、平行、直角、等腰等特殊的几何关系解决问题．

【例题精讲】等线段代换在中，点在边上，点在边的延长线上，且．⑴求证：；⑵连接，分别交、于、，若，求证：．⑴略；⑵等比代换如图，已知是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足分别为、，和相交于点，联结．求证：．由得，又由得，，所以，从而．等积代换如图，在中，，，是上的点，于点，的延长线交的延长线于点．求证：⑴；⑵.⑴因为，，所以；⑵因为，所以，所以因为，，所以，所以所以，所以．借助面积代换在中，，，，求证：．可以用面积转化比例．如图，在等边的边上有一点，，作，为垂足，联结，求证：．作，垂足为，则可证得，，即，．又∵得．

如图，在平面直角坐标系中，等腰的边在轴上，，边上的高与边上的高相交于点，联结，，，在直线上求点，使与相似，则点的坐标是．或等角存在性已知：直角坐标系中，将直线沿轴向下平移个单位长度后恰好经过及轴上的点．若抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），且经过点．⑴求直线及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；1111【年奉贤二模】⑴沿轴向下平移个单位长度后经过轴上的点，∴…（1分）设直线的解析式为．………………（1分）∵在直线上，∴解得．∴直线的解析式为．………………（1分）抛物线过点，∴………………（2分）解得∴抛物线的解析式为．………………（1分）⑵由．可得，……………… （1分），，，．可得是等腰直角三角形．，．………………（1分）设抛物线对称轴与轴交于点，∴．过点作于点．．可得，．………………（1分）在与中，，，．………………（1分），．解得．点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或． （2分）

相似三角形存在性直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．⑴写出点、、、的坐标；⑵求经过、、三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点的坐标；⑶在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．⑴，，，⑵∵抛物线经过点，∴又∵抛物线经过、两点，∴解得∴∴，∴顶点⑶过点作轴垂足为点，∵，，,，∴∵∴，即，∴

由、可求得直线的解析式为设点①当时，∴，即解得，，∴、②当时，∴，即解得，，∴、综上所述，符合要求的点共有四个，坐标分别为、、、相似三角形存在性如图①，半圆的直径，和是它的两条切线，与半圆相切于点，并于，分别相交于，两点．⑴请直接写出的度数；⑵求的值；⑶如图②，连接并延长交于点，连接，试判断能否与相似？若能相似，请求的值；若不能相似，请说明理由． 图① 图②⑴略⑵⑶①时此时，∴又∴∴②∴；∴又，即法二；过点作于，则∴

【巩固练习】如图，在中，，，．连接并延长交于点，交于点．⑴求证：；⑵若点为的中点，，，，求的长．⑴∴∴⑵∴，∴∴如图，已知在中，，，，，，，求．射影定理，，如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为．⑴求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；⑵如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积. ⑴易得，，，过点作于，则可求得：．