函数与导数-教学设计

专题二函数与导数河南王红敢（一）重点回顾,整合难点一、函数的概念和性质1．理解映射:A→B的概念时要注意：（1）A中元素必须都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一.2．函数:A→B是特殊的映射：集合A、B都是非空数集，函数的定义域、值域和对应法则是函数的三要素，当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们是同一函数.3．在研究函数时优先考虑定义域，求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式的要求：偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等；（2）实际问题中要考虑变量的实际含义.4．求函数值域（最值）的常用方法：（1）配方法（常用于二次函数）；（2）换元法；（3）函数有界性法；（4）单调性法；（5）数形结合法；（6）判别式法；（7）不等式法；（8）导数法.5．求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法；（2）代换（配凑）法；（3）构造方程（组）法.6．分段函数是一类特殊的函数，其定义域是各段范围的并集，值域是各段上取值范围的并集.7．函数的奇偶性：（1）对于定义域关于原点对称的两个函数，通常可根据需要先化简再据定义判断其奇偶性，有时也可用其等价形式：或.（2）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.（3）①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性相反；②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.8．函数的单调性：（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用定义法（取值、作差、变形、定号）、导数法.②在客观题中还常用数形结合法、特殊值法等；③复合函数法：复合函数单调性是同增异减.（2）注意：求单调区间时，一是优先考虑定义域；二是多个单调区间书写时用逗号隔开；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.二、指、对数函数的图象与性质1．名称指数函数对数函数一般形式图象定义域值域过定点（0，1）（1，0）单调性当时，在上是增函数；当时，在上是减函数当时，在上是增函数；当时，在上是减函数2．大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较.三、幂函数的图象与性质常见幂函数的图象如下：幂函数的单调性：时，在上单调递增；时，在上单调递减.四、函数的应用．1．求解数学应用题的一般步骤：①审题；②建模；③解模；④回归.2．常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数以及等.五、导数的概念及运算1．函数在处存在导数，则.2．函数y=f（x）在点x处导数的几何意义是曲线y=f（x）在点P（x，f（x））处的切线的斜率.3．几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.4．两个函数的和、差、积、商的求导法则：（1）(；（2）；（3）若C为常数,则；（4）.六、导数的应用1．利用导数研究可导函数的单调性：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有=0，则为常数.2．利用导数研究可导函数极值的解题步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）据实数根（如）左右两侧的导函数的符号判断：由正变负，则是极大值；由负变正，则是极小值．3．利用导数研究可导函数的最值：将开区间内的极值与端点处的函数值相比较，大的就是最大值，小的就是最小值．七、定积分与微积分基本定理1．定积分的几何意义：函数在区间内的定积分的几何意义是的图象、轴、直线、所围成的曲边梯形的面积；函数与的图象所围成的封闭图形的面积（如图）为.2．微积分基本定理：对于被积函数，如果，则.八、常用结论：1．奇函数在0处如果有定义，则函数值为0.2．时，函数是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，函数的值域为.3．指、对数式：；

，，，，，，，.4．函数的对称性：①满足条件的函数的图象关于直线对称；②函数与函数的图象关于轴对称；③函数与函数的图象关于轴对称；④函数与函数的图象关于原点对称；⑤函数与的图象关于直线对称；⑥函数的图象是双曲线，两渐近线方程为、，对称中心为.⑦函数的图象是保留函数位于轴及其上方的图象并将位于轴下方的图象沿轴对称上去；函数的图象是保留函数位于轴及右侧的图象，去掉左侧的图象，并将右侧的复制翻折到左侧得到.5．常见的图象变换

①函数平移个单位得到函数的图象；③函数平移个单位得到函数的图象.6．函数的周期性函数满足，则是函数的一个周期；函数满足（或），则函数是周期为的周期函数.7．极值点处的导数值为零，反之不然；导数值大于零可解得单调增区间，反之不然.（二）考情分析,命题动态函数的观点和方法既贯穿于高中数学的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容.许多知识都可以与函数建立联系，并且都是围绕函数这一主线展开的，由于利用导数研究函数的方法更灵活简便，从而拓宽了高考在函数上的命题空间.高考对函数与导数这部分的考查，既可以选择、填空这样的客观题出现，也可以解答题的形式进行考查.预测2022年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，主要考查函数性质及图象，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是二次函数、指数函数与对数函数.综合题的主要题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值的问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.（3）函数、导数与不等式等相结合的综合问题，涉及的主要思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化与化归思想.（三）考点突破,典例精析题型一、函数的概念与性质问题例1（1）(2022年安徽高考题)函数y＝eq\f(1,\r(6－x－x2))的定义域是________．（2）（2022年安徽高考）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3分析：（1）利用“偶次方根的被开方数不小于零”这一要求结合一元二次不等式的解法可得；（2）利用奇函数的性质求解.解法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.解法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3，故选A.评注：函数的定义域的求解，往往先根据条件列出相应的式子再解不等式组，注意定义域要写成集合的形式，遇到对数一定不能忘了真数大于零；函数的奇偶性常与对称性一起使用，常利用小结论来简化运算.同类拓展1（1）函数的定义域是.（2）（2022年管广东高考题）设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.解析：（1）由得.（2）由f(a)＝a3cosa＋1＝11得a3cosa＝10，所以f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.答案：（1）；（2）－9．题型二、函数与方程、函数的图象与变换问题例2（1）（2022年北京高考理科）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)，x≥2，,x－13，x＜2.))若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（2）（2022陕西理科卷）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()分析：（1）结合图象把方程的根的问题转化为图象与x轴的交点问题；（2）根据函数性质进行判断.解析：（1）考函数f(x)的图象如图所示：由上图可知0<k<1.（2）由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.答案：（1）0<k<1，（2）B.评注：函数与方程思想是最重要的一种数学思想，在高考中经常体现，相关问题综合知识多、题型多、应用技巧多.在小题中既有利用函数处理方程的问题，也有通过方程处理函数的问题.函数的图象是函数的一种重要表示方法，也是考试的热点之一，特别是与向量的结合，使图象的平移更为直观.同类拓展2（1）（2022年新课标全国卷文）在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))（2）已知函数上的奇函数，当x>0时，的大致图象为 （）解析：（1）因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－2<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1>0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，又因为函数y＝ex是单调增函数，y＝4x－3也是单调增函数，所以函数f(x)＝ex＋4x－3是单调增函数.所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))内．（2）由是偶函数、是奇函数，可知是公共定义域上的奇函数，图象关于原点对称，又时.所以选择B.答案：（1）C；（2）B.题型三、导数及其应用（含定积分）问题例3（1）(2022年河南安阳调研测试)由曲线，围成的封闭图形面积为（）A． B． C． D．（2）（2022吉林省吉林市调研测试）若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则（）A．64B．32C．16D．8分析：（1）利用定积分求曲线围成封闭图形的面积；（2）利用导数公式求出函数导数，利用导数的几何意义得切线斜率，写出切线方程，再利用面积计算公式列式求解.解析：（1）由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A.（2），∴，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.答案：（1）A；（2）A.评注：（1）求两曲线围成的平面图形面积的一般步骤：作图象（找到所求平面图形）；求交点（确定积分上、下限）；用定积分表示所求的面积；微积分基本定理求定积分；（2）曲线在点处的切线方程为，曲线在某点处的切线问题常用到：切点在曲线上、切点在切线上以及曲线在该点处的切线斜率为函数在该点处的导数值.同类拓展3（1）设曲线在点（3，2）处的切线与直线垂直，则．（2）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．解析：（1），则，；（2），切线方程为，切线与两坐标轴的交点分别为，，所以围成的三角形的面积为.答案：（1）－2；（2）eq\f(1,9).题型四、二次函数问题例4（2022年湖北孝昌二中理科检测卷）已知函数，在区间上有最大值4，最小值1，设．（1）求的值；（2）不等式在上恒成立，求实数的范围；（3）方程有三个不同的实数解，求实数的范围．分析：（1）二次函数在给定区间上的最值可能在顶点处、区间端点处取得，本题二次项系数是参数，需分类讨论；（2）不等式恒成立问题可通过换元转化为二次不等式恒成立问题，也可通过分离变量后求函数的最值来解决；（3）可令将求复杂方程的解的个数问题转化为求二次形式的方程解的个数问题来求解，进而转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.解析：（1）(1).当时，上为增函数.故当上为减函数.故，∴，.即，.（2）不等式化为，，令，.∵，∴，记.∴，∴.（3）方程化为，，.令，则方程化为（）.∵方程有三个不同的实数解，∴由的图象知，有两个根、，且或，.记，则或∴.评注：二次函数的最值取决于抛物线的开口方向以及对称轴与给定区间的位置关系，含参数时需分类讨论；不等式恒成立问题常用分离变量法：；方程的解（个数）问题常转化为函数零点（个数）或两个函数图象的交点（个数）的横坐标问题来解决.同类拓展4已知二次函数满足，且关于的方程的两实数根分别在区间（-3，-2），（0，1）内.（1）求实数的取值范围；（2）若函数在区间（-1-，1-）上具有单调性，求实数的取值范围.解析：（1）由题意知，∴.记，则解得即.（2）令u=，∵，∴在（0，＋∞）是减函数，而，函数的对称轴为，∴在区间上为增函数.从而在上为减函数.且上恒有>0,只需，且，所以.题型五、利用导数研究函数的性质（单调性、极（最）值）例5已知函数，.(1)求函数在点处的切线方程；(2)若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；(3)若方程有唯一解,试求实数的值.分析：(1)由曲线在某点处的切线斜率为函数在该点处的导数值可得切线的斜率；（2）利用函数在给定区间上单调性与导函数的符号规律列式解不等式组；（3）考察函数的图象与直线只有一个公共点时的值.解析：(1)因为,所以切线的斜率.又,故所求切线方程为,即.(2)因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时,.即在上递增,在(0,2)上递减.又,所以在上递增,在上递减.若与在区间上均为增函数,则解得.(3)原方程等价于,令,则原方程即为.因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点.又，且x>0,所以当x>4时,；当0<x<4时,.即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值.从而当时原方程有唯一解的充要条件是.评注：由，解得函数的单调增区间；反之若可导函数在区间上单调增，则在区间上恒成立.同类拓展5（2022年辽宁抚顺调研测试）已知函数（为常数，为自然对数的底）．（1）若函数在时取得极小值，试确定的取值范围；（2）在（1）的条件下，设由的极大值构成的函数为，试判断曲线只可能与直线、（，为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．解析：（1），令，得或，当时，恒成立，此时单调递减；当时，，若，则，若，则，是函数的极小值点；当时，，若，则；若，则，此时是函数的极大值点，综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是.（2）由（1）知，且当时，，因此是的极大值点，，于是，令，则恒成立，即在是增函数，所以当时，，即恒有，又直线的斜率为，直线的斜率为，所以由导数的几何意义知曲线只可能与直线相切.题型六、应用题例6（2022年江苏高考）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析：（1）写出函数表达式，根据二次函数求解；（2）利用导数法求函数的最值.解析：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)，由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).评注：解决函数实际应用问题的关键有两点：一是认真审题，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是正确建立相应的函数模型，最终求解数学问题，使实际问题获解.同类拓展6（2022年福建高考卷））某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，解得a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6).从而f′(x)＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－62＋2x－3x－6))＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．题型七、利用导数研究方程的根（函数零点）或不等式综合问题导数是研究函数的重要工具，由于函数与方程、不等式的紧密联系，高考常考查利用导数来研究方程、不等式的综合题，题型为解答题，通常属中档题或难题.例7（2022全国四校二模）已知定义在正实数集上的函数，，其中．（1）设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同，用表示，并求的最大值；（2）设，证明：若，则对任意，，有．分析：（1）由公共点处的函数值相等以及在公共点处的切线相等转化为切线的斜率相等，解方程组即得关系式，再利用导数求最值；（2）根据条件构造函数，利用函数的单调性来证明不等式.解析：（1）设交于点，则有，即.①又由题意知，即.②由②解得或（舍去）.将代入①，整理得.令，则.时，递增，时递减，所以，即，的最大值为.（2）不妨设，变形得.令，.，.在内单调增，.同理可证命题成立.评注：（1）曲线在处的切线斜率为（函数可导）；（2）利用导数求最值，常先求函数在相应区间上的极值，并将极值与区间端点处的函数值比较得最值；（3）灵活构造函数，利用函数的单调性或最值证明不等式是证明复杂不等式常用的方法，其中关键是构造合适的函数.例8（北大附中2022届高三数学一轮复习题）已知，其中是自然常数，（1）讨论时,的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.分析：（1）利用导数法求函数的单调性和极值；（2）利用导数法求函数的最值，通过证明给定范围内的最小值比的最大值大，不等式即可成立；（3）利用导数法求出函数的最小值，结合条件解方程，有解就存在，无解则不存在.解析：（1），，∴当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，∴的极小值为.（2）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，.令，.当时，，在上单调递增.∴，∴在（1）的条件下，.（3）假设存在实数，使（）有最小值3，.①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.②当时，在上单调递减，在上单调递增，，，满足条件.③当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.综上，存在实数，使得当时有最小值3.评注：（1）利用导数法求函数的单调性，主要是通过解不等式和得到；在已知单调性的基础上，先增后减与先减后增的转折点分别是函数的极大值点与极小植点；而可导函数在给定闭区间上的最值，只要通过将端点处的函数值与极值比较即得；（2）要证明不等式，可通过证的最小值比的最大值大，也可构造函数，证最小值比0大.（3）是否存在问题都是假设存在，按条件列式求解，有解就存在，否则就不存在.同类拓展7（2022年新课标全国卷理科）已知函数f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)如果当x＞0，且x≠1时，f(x)＞eq\f(lnx,x－1)＋eq\f(k,x)，求k的取值范围．解析：(1)f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－lnx)),x＋12)－eq\f(b,x2)，由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－eq\f(1,2)，且过点(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得a＝1，b＝1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(lnx,x＋1)＋eq\f(1