2019八年级下册期中复习培优系列专题12-期中几何综合复习有答案(二)

备战2019八下期中亮点好题分类汇编一专题12一期中整册几何综合复习一300题

刘晓然整理

目录

第一章课内知识培优-----------------------------------------------------------2

第一讲勾股定理------------------------------------------------------------------2

微专题一：直接考查勾股定理-----------------------------------------------2

微专题二：勾股定理的逆定理-----------------------------------------------4

微专题三：互逆命题和互逆定理---------------------------------------------6

微专题四：勾股定理的数学思想---------------------------------------------7

微专题五：勾股定理的综合运用---------------------------------------------8

第二讲四边形的判定---15

微专题六：平行四边形的判定----------------------------------------------15

微专题七：菱形的判定-----------------------------------------------------29

微专题八：矩形的判定-----------------------------------------------------44

微专题九：正方形的判定---------------------------------------------------61

第三讲四边形的性质-------------------------------------------------------------80

微专题十：平行四边形的性质----------------------------------------------80

微专题十一：菱形的性质------------------------------------------------------105

微专题十二：矩形的性质------------------------------------------------------120

微专题十三：正方形的性质----------------------------------------------------146

第二章思维拓展延伸------------------------------------------------------------176

第一讲线段和最小值问题探究---------------------------------------------------176

微专题十四：两边之和大于第三边型-----------------------------------------176

微专题十五：两点之间线段最短型-------------------------------------------180

微专题十六：垂线段最短型-------------------------------------------------180

第二讲几何思维拓展-221

微专题十七：四边形存在性问题探究-----------------------------------------181

微专题十八：与一次函数结合的四边形问题-----------------------------------185

微专题十九：构造中位线解决线段的倍分关系--------------------------------211

第三讲几何思想方法总结------214

微专题二十：转化思想--------------------------------------------------------214

微专题二十一：方程思想----------------------------------------------------218

微专题二十二：分类讨论思想-------------------------------------------------220

微专题二十三：综合动点大题-------------------------------------------------221

一、勾股定理

微专题一：直接考查勾股定理

1.（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】根据勾股定理直接求得弦长为J弦+4?=5.

2.如图，在△ABC中，二边a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD上VaVc

【答案】D

【解析】根据勾股定理，得4=）12+32=屈?="+*=6c=N*+W

V5<Vlo<713,b<a<c.

故选D.

3.如图，△ABC中，ADJ_BC于D,AB=5,BD=4,DC=2,则AC等于（）

C亚D.5

【解析】：AD_LBC于D,

；.NADB=/ADC=90°,

在RtXABD中，由勾股定理可得AD=>1AB2-BD2=A/S2-42=3,

在R3ACD中，由勾股定理可得AC=>IAD2+CD2=A/32+22=VB.

故选：B.

2

4.（2018•广西贺州）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为D,E是边BC的中点，AD=ED=3,则

C.6D.642

【答案】D

【解析】；AD=ED=3,AD1BC,

/.△ADE为等腰直角三角形，

根据勾股定理得：AE=^32+32=3A/2.

「RtAABC中，E为BC的中点，

.♦.AE=LBC,

2

则BC=2AE=6&,

故选：D.

5.(2018•湖北黄冈)如图，在RQABC中,ZACB=90°,CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,

则CD=()

A.2B.3C.4D.2万

【解析】在RIAABC中，ZACB=90°,CE为AB边上的中线,

:.CE=AE=5,

又・・・AD=2,

・・・DE=AE-AD=5-2=3,

,・，CD为AB边上的高

・・・ZCDE=90°,

CDE为RS

,CDS=乒=4

故选c.

3

6.（2018四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示

的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,

较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）

【答案】D

【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

•.•每一个直角三角形的面积为：3ab=」*8=4,

[22

.'.4xiab+（a-b）2=25>

2

（a-b）2=25-16=9,

a-b=3,

故选：D.

微专题二：勾股定理的逆定理

1.（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

【答案】A

【解析】A、•.•32+42=52,.•.三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

B、•••22+32/42,.•.三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、•••42+62k2,.•.三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误：

D、；52+“2n22,...三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误.故选A.

2.下列说法中正确的是（）

A.已知a,b,c是三角形的三边，则“2+62=C2

B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方

C.在放△ABC中，ZC=90°,所以a2+〃=c2

D.在R/ZkABC中，NB=90。，所以*+"二/

【答案】C

【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角。

A.不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；

B.不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即8选项错误；

C.NC=90。，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确：

D.NB=90。，所以斜边为〃，所以〃+/=序，故本命题错误，即。选项错误；

故选C.

4

3.若△ABC的三边a、b、c满足条件(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】(«-fe)(a2+/>2-c2)=0,

a-b或a2+h2=c2.

当只有“4成立时，是等腰三角形。

当只有第二个条件成立时：是直角三角形。

当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形。

故选C.

4,若三边长a力,c满足而不■芳+B-a-l|+(c—5)2=0,则乙430是()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】:△ABC三边长a,b,c满足，

y/a+b—25+|6—<i—l|+(c—5)2=0>且Ja+D-25之0,-Q—1|^0>(c-5y20；

.'.a+6—25=0»b—a—1=0,c—5=0,

二.Q=12,6=13,c=5，

,/122+52=132»

...△ABC是直角三角形。

故选：Co

5.如图是一块地，已知A£>=4〃?，CD=3m,AB=l3m,BC=\2m,JiCD1AD,求这块地的面积.

【解析】连接AC,"：CDLAD：.ZADC=90°,'：AD=4,CD=3,.,.A^AD^CD2^^2^,

又：4C>0,：.AC=5,又,：BC=\2,A8=13,.,.AC2+BC2=52+122=169,

2

又：AB2=169,.•.AC+BC=A82,Z.ZACB=90°,；.S四边彩ABCO=SAABC-SAA“=30-6=24，/.

5

6.如图，△A8C中，AB=13,AO=6,AC=5,。为8c边的中点。求SAABC

【解析】延长AD到E,使DE=AD,连结BE。

则四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

所以BE=AC=5

△ABE中

52+122=132

△ABE是直角三角形

1

SAABC-SAABE=—x5x12=30

2

微专题三：互逆命题和互逆定理

1.“内错角相等，两直线平行”的逆命题是.

【答案】两直线平行，内错角相等

【解析】“内错角相等，两直线平行''的条件是：内错角相等,结论是：两直线平行.

将条件和结论互换得逆命题为：两直线平行，内错角相等.

故答案为：两直线平行，内错角相等.

2.有下列命题：

①若N=x,则x=l；

②若序》2,则4=6;

③线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

④相等的弧所对的圆周角相等；

其中原命题与逆命题都是真命题的个数是

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】若n=x,则或=0,所以原命题错误；若x=l,则X、X,所以原命题的逆命题正确;

若£=栈，则方士匕，所以原命题错误；若户匕，则出斗2,所以原命题的逆命题正确;

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以原命题正确；到线段两端点的距离相等的点在线

段的垂直平分线上，所以原命题的逆命题正确；

相等的弧所对的圆周角相等，所以原命题正确；相等的圆周角所对弧不一定相等，所以原命题的逆命题

错误.故选A.

3.（2018•无锡）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是.

【答案】菱形的四条边相等

【解析】命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等,

故答案为：菱形的四条边相等.

6

微专题四：勾股定理的数学思想

1.一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么》为（）

A.屈正而或正D.无法确定

【答案】C

【解析】当x为斜边时，X=A/22+32=V13：

当x为直角边时，X=6万=后。

故选C。

2.（2018•云南省・3分）在△ABC中，AB=J拓，AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为9或1

【分析】AABC中，NACB分锐角和钝角两利-

①如图1,ZACB是锐角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；

②如图2,/ACB是钝角时，同理得：CD=4,BD=5,根据BC=BD-CD代入可得结论.

【解析】有两种情况：

①如图1,；AD是AABC的高，

.../ADB=NADC=90。，

由勾股定理得：BDFAB2_AD」（52_3”，

CDR蜕2-AD&Q52-3*4,

；.BC=BD+CD=5+4=9；

②如图2,同理得：CD=4,BD=5,

；.BC=BD-CD=5-4=1,

综上所述，BC的长为9或I；

故答案为：9或1.

7

3.如图，有一个直角三角形纸片，直角边AC=6c〃z,BC=8c/n,将△ABC进行折叠使点B与点A重合，折痕为OE,

那么C。长为（）

Z

AB

-I4

【解析】由题意得力8=AD；

设CC=xc7〃，则

AD=DB=(?,-x)cm,

VZC=90o,

...在Rt&AC。中,

根据勾股定理得：AD2-CD2=AC\即（8-X）2-/=36,

解得广二：

4

7

即CD=—cm.

4

故选：B.

微专题五：勾股定理的综合运用

1.如图，数轴上点A对应的数是1,点B对应的数是2,BC1AB,垂足为8,且BC=1,以A为圆心，AC为半径画弧,

交数轴于点。，则点。表示的数为（）

A.1.4B.我C,72+1D.2.4

【答案】C

【解析】在心AABC中，AB=2-1=1,BC=1,

由勾股定理得，AC=l2+l2=y/2,

则点。表示的数为正+1

故选：C.

8

2.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三

角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了该图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生

长”了2016次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

第一次生长后长出的正方形角形面积为SA+SLI；

第二次生长后长出的正方形面积为SD+SC-+SE+SF=SA+SB=\;

第三次生长后长出的正方形面积为：1；

第四次生长后长出的正方形面积为：1;

“生长”了2016次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是1x2016+1=2017.

故选D.

3.（2018•长沙市）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三

斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分

别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面

积为

A、7.5平方千米B、15平方千米C、75平方千米D、750平方千米

【答案】A

【解析】在直角三角形中54122=132,.../BugO。，

又♦.•5里=5x500米=2500米=2.5千米，12米=12x500米=6000米=6丁米，

ABC=-X6X2.5=7.5平方千米.

2

9

4.（2018•枣庄市）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《教书九章》书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜

则该三角形的面积为s=11

求积公式.即：如果一个三角形的三边长分别为«,b,C,

已知AABC的三边长分别为石，2,1,则△ABC的面积为

【答案】1

ron

,<2.22r

【解析】••・$=-a2b2--~~...将a=\,1>=2,c=&代入上述公式可得：

H12〃

（22厂2]/、21-----------

S=1&2—咨必=14-匕FJ=J；x4=/=1,故答案为1.

H[2J]FL1

5.（2018•山东青岛）如图，三角形纸片ABC,AB=AC,ZBAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使

点B与点A重合，折痕现交于点F.已知EF=则BC的长是（）

2

z4\

BFC

A.B.3^2C.3D.373

2

【答案】B

【解析】

:沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，

ZB=ZEAF=45°,

.,.ZAFB=90°,

•.•点E为AB中点，

.•.EFJAB,EF=W,

22

；.AB=AC=3,

NBAC=90。，

际=也2+32=3加,

故选:B.

10

6.（2018•临沂，17,3分）如图，在口48。2）中，AB=10,AD=6,4C_LBC.则8D=

【答案】4M

22

【解析】过点。作。E_LBC于点E,VoABCD,：.AD=BC^6,'：AC±BC,：.AC=710-6=S=DE,'：BrE=BC+

CE=6+6=12,，BIAA/1224-82=4而.

7.（2018•黄冈市）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点8处有一滴蜂蜜，

此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的4处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm（杯壁厚度不计）.

A

【答案】20

【解析】如图，将该圆柱的侧面展开，由题意得：8c=32:2=16,AC=14-5+3=12在RsA'BC中，A3=

V162+122=20,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

11

8.(2018•广安)如图11有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸

中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

(1)画一个直角边长为4,面积为6的直角三角形；

(2)画一个底边长为4,面积为8的等腰三角形；

(3)画一个面积为5的等腰直角三角形：

【思路分析】(1)画两条直角边是4,3的直角三角形在:

(2)画底边是4,底边上的高是4的等腰三角形；

(3)画两直角边都是血的等腰直角三角形；

(4)2血是直角边为2的等腰直角三角形的斜边.画底边是2拉，底边上的高是3友的等腰直角三角形.

【解析】所画图形如图#所示.

/\

Z/

/

—

图11

12

9.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的8处，以1（）J7千米/时的速度向北偏西60。的B尸方向

移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域.

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明;

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?

【解析】（1）过A作于C,则AC=*lB=150<200,市会受到台风影响:

（2）过A作A£）=AE=200h",交BF于点、D,E,•,•以>厢可了=板而赢=500氏”,

,:DC=CE,A市气象站测得台风中心在4市正东方向300千米的B处,

以10J?「米/时的速度向北偏西60。的肝方向移动,

•••该市受台风影响的时间为：锣勺。小时.

10.如果△ABC的三边长分别为a、b、c,并且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.

【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：偶次方；完全平方公式.

【解答】解：a2+b2+c2+338=10a+24b+26c

a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0

即(a-5)2+(b-12)2+(C-13)2=0

，a-5=0,b-12=0,c-13=0

；.a=5,b=12,c=13

V52+122=169=132

a2+b2=c2

.,.△ABC是直角三角形.

13

11.(福建省漳州改编)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线/同旁的两个定点.

问题：在直线/上确定一点P,使以+尸8的值最小.

方法：作点A关于直线/的对称点4,连接48交/于点P,则以+PB=AB的值最小(不必证明).

模型应用：⑴如图1,正方形48C。的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连接3。，由正方形对称性

可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则P8+PE的最小值是；

(2)如图2,NAOB=45。，P是N40B内一点，PO=10,Q、R分别是04、上的动点，求AP。/?周长的最小

【解析】

(DA/5

(2)如图2,作P关于08的对称点尸关于0A的对称点B，

连接PP2，交0B于R,交。4于。，则APR。的周长最小，且此时△PR。的周长为尸R+RQ+QP=PIP2

连接OPI，0P2,VZ1=Z2,Z3=Z4,Z2+Z3=45°

，/PIOP2=90°,OP\=OP=OP2,

在R小OP1P2中,P\P^^OPi2+OP^,

；.PiP2=10也

14

二、四边形

（1）四边形的判定

微专题六、平行四边形的判定

一.选择题

1.（2011•江岸区校级模拟）如图：在4x4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个

顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形的共有（）个.

A

A.10B.12C.14D.23

【考点】平行四边形的判定.

YRWR'Y

7；:S：J£

p

M4汉b

I：二I2III

【解答】解：BC"A"E"F

一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共6个，

一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN共6个，

还有四边形AQNO、AIYL、ATXLAHLLAPTLAGHI、AMPLAZRN、AVRN、AOKN,AQSN,共11个,

6+6+11=23个，

故选：D.

二.解答题

1.（2017春•宝丰县期末）如图，△A8C为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CQ=BF.

（1）求证：△ACD丝△C8F；

（2）以为边作等边三角形AAOE,点O在线段8c上的何处时，四边形。EF是平行四边形.

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定.

15

【解答】(1)证明：・••△ABC为等边三角形，

.*.ZB=ZACD=60°,AC=BC,

在AACD和^CBF中

"AC=BC

<ZACD=ZB

,CD=BF,

.".△ACD^ACBF(SAS)；

(2)解：D点在任意位置，四边形CDEF是平行四边形，

VAACD^ACBF,

；./BCF=NDAC,AD=CF,

：AD=DE,

；.DE=CF,

NACD=ZADE=60°,/ADB=/ADE+NBDE=ZACD+ZDAC,

60°+ZDAC=60°+/BDE,

；./DAC=/BDE,

VZBCF=ZDAC,

.../BDE=ZBCF,

；.DE〃CF,

VDE=CF,

四边形CDEF的形状是平行四边形.

2.（2017春•雁塔区校级期末）在平面直角坐标系中，以A,B,C,。为顶点组成平行四边形，A（1,0）,B（3,

0）,C（4,3）,求点。的坐标.

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的判定.

【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（6,3）；

②AB为对角线时，点D的坐标为（0,-3）；

③AC为对角线时，点D的坐标为（2,3）.

综上所述，点D的坐标是（6,3）或（0,-3）或（2,3）.

3.（2017春•章丘市期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是OE延长线上的点，KEF=DE.

16

(1)图中的平行四边形有哪几个？请说明理由.

(2)若AAEF的面积是3,求四边形BCF。的面积.

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定.

【解答】解：(1)图中的平行四边形有：平行四边形ADCF,平行四边形BDFC,

理由是：为AC的中点，

；.AE=CE,

：DE=EF,

二四边形ADCF是平行四边形，

；.AD〃CF,AD=CF,

：D为AB的中点，

AD=BD,

ABD=CF,BD〃CF,

四边形BDFC是平行四边形.

(2)由(1)知四边形ADCF是平行四边形，四边形BDFC是平行四边形,

ASACEF=SACED=SAAEF=3,

平行四边形BCFD的面积是12.

4.(2017春•萧山区校级期中)如图，等边△48C的边长为IOCTH,动点M从点8出发，沿BTA—C—B的方向以

4cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿CTA—BTC方向以3e〃/s的速度运动.

(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？

(2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动.那么运动到第几秒钟时，点A、M、N

以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置.

【考点】一元一次方程的应用；等边三角形的性质；平行四边形的判定.

17

【解答】解：（1）第一次相遇时间=当孚=丝（秒）；

3+47

答：若动点M、N同时出发，经过半秒钟两点第一次相遇；

（2）当点M在线段AB上，点N在AC上时：

,/四边形ANDM为平行四边形，

DM=ANDM〃AN

•:△ABC为等边三角形，

△BMD和^NCD是等边三角形

・・・BM+CN=CN+AN=10

A3t+4t=10

・

t10

7

此时BD=—：

7

当点M在线段AC上，点N在AB上时：

同理△BND和4MCD是等边三角形

AM=4t-10

AN=3t-10

・・・AM+AN=AC=10

4t-10+3t-10=10

T

此时BD=—.

7

当点M在线段BC上，点N在AB上时，同理4BMN和AMCD是等边三角形

CM=4t-20

AN=3l-10

ACM=AN.

4t-20=3t-10.

t=10>7.5（不合题意,舍去）.

综上所述：当时间t="，BD=誓；当时间t=3g,BD=毁.

7777

5.（2017春•楚雄州期末）如图，在四边形A3CD中，AD//BC,AD=12c/n,BC=15cm,点尸自点A向。以

18

的速度运动，到。点即停止.点Q自点C向8以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P,。同时出发，设运

动时间为，(s).

(1)用含/的代数式表示：

AP=t;DP=12-t；B0=15-2r；CQ=2t.

(2)当f为何值时，四边形APQB是平行四边形？

(3)当f为何值时，四边形POCQ是平行四边形？

【考点】平行四边形的判定.

【解答】解：(1)t,12-t,15-2t,2t

(2)根据题意有AP=t,CQ=2t,PD=12-t,BQ=15-2t.

；AD〃BC,...当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形.

.,.t—15-2t,解得t=5.

••.t=5s时四边形APQB是平行四边形；

(3)由AP=tcm,CQ=2tcm,

VAD=12cm.BC=15cm,

；.PD=AD-AP=12-t,

如图1,；AD〃BC,...当PD=QC时，四边形PDCQ是平行四边形.

即：12-t=2t,

解得l=4s,

.•.当t=4s时，四边形PDCQ是平行四边形.

6.(2017春•顺义区校级期中)在平面直角坐标系中，点A(-1,1)、B(1,-1)、C(3,1),请写出点。的坐

19

标，使以4、8、C、D为顶点的四边形为平行四边形，如果这个平行四边形还是特殊平行四边形，请指出是什

么特殊平行四边形.

VA

"5-

4-

3-

2-

1-

-4-3~-2~-1~*12345x

-1

-3-

-4-

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质;平行四边形的判定.

【解答】解：如图所示：

①D(1,3)正方形；

②D(-3,-1)；

③D(5,-1).

7.(2017春•虞城县期中)如图，四边形A2CD中，/A=/ABC=90。，A£>=1,BC=3,E是边CD的中点，连接

BE并延长与AD的延长线相交于点F.

求证：四边形BZJFC是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定.

【解答】证明：；NA=NABC=90。,

,BC〃AD,

.,.ZCBE=ZDFE,

在aBEC与4FED中，

20

"ZCBE=ZDFE

<NBEC=NFED，

,CE=DE

A△BECFED,

；.BE=FE,

又「E是边CD的中点，

；.CE=DE,

四边形BDFC是平行四边形;

8.(2017春•秦淮区校级期中)如图，A。是△ABC的中线.

(1)画图：延长AQ到E,使EC=A。，连接BE、CE；

(2)四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定.

【解答】解：

(1)如图所不；

(2)四边形ABEC是平行四边形，

理由：；AD是AABC的中线，

；.BD=CD,

VED=AD,

二四边形ABEC是平行四边形.

21

9.（2017春•普陀区期中）已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边A8、AC的中点，。是边BC延长线上的一点,

且。力=耳。联结CM、DN.

2

求证：四边形MCCW是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定.

【解答】证明：：点M、N分别是AB、AC的中点,

；.MN〃BC,且MN=Zc.

2

即：MN〃CD.

，MN=CD.

四边形MCDN是平行四边形.

10.（2017秋•乳山市校级月考）在四边形ABC。中，AD//BC,对角线AC、B力交于O,EF过。交于E,交

BC于F,且OE=O凡请说明四边形ABC。是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定.

【解答】证明：

：AD〃BC,

.•.ZAEO=ZCFO,

在AAEO和4CFO中

"ZAE0=ZCF0

；EO=FO，

ZE0A=ZC0F

...△AEO丝△CFO(ASA),

.,.AO=CO,

同法可证4EOD^AFOB,

.,.OD=OB,VOA=OC,

四边形ABCD是平行四边形.

22

11.（2017春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点M（14,0）是x轴上的点，点尸的坐标是（9,12）,连

接OP,PM.

（1）求线段的长；

（2）在第一象限内找一点M使四边形OPNM是平行四边形，画出图形并求出点N的坐标（保留作图痕迹）

【考点】两点间的距离公式；平行四边形的判定.

【解答】解：（1）过P点作PALx轴于点A,

在Rt^PAM中，PA=12,AM=14-9=5,

则PM=,7122+52=13；

（2）如图所示：点N的坐标为（9+14=23,12）,即（23,12）.

12.（2017春•雅安期末）如图，点C、E分别是线段B尸、线段CD的中点，AD//BF.

（1）求证：△NDaXFCE*,

（2）请问四边形ABC。是平行四边形吗？请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定.

【解答】（1）证明：［AD〃BF

；.NDAE=/F,/D=NECF,

；E是CD的中点，

；.DE=CE,

在^ADE和△FCE中，

，ZDAE=ZF

<ND=NFCE，

DE=CE

.,.△ADE^AFCE（AAS）.

23

(2)解：是平行四边形.

理由：VADE^AFCE,

；.CF=AD,

：C是BF的中点，

BC=AD,

；.AD=BC,

VAD//BC,

四边形ABCD是平行四边形.

14.(2016春•乳山市期中)如图，四边形48C。中，AD//BC,AF,OE分别平分。和乙ADC,AF与OE相交

于点G,AFLDE.判断四边形ABC。的形状，并证明.

【考点】平行四边形的判定.

【解答】解：四边形ABCD是平行四边形,

VAF,DE分别平分NBAD和/ADC,

.,.ZDAF=—ZBAD,ZADE=—ZADC,

22

VAF1DE,

...NAGD=90。，

；.NDAF+NADE=90°,

—ZBAD+—ZADC=90°,

22

...NBAD+/ADC=180。，

；.AB〃CD,

又：AD〃BC,

/.四边形ABCD是平行四边形.

24

15.(2016春•东港市期末)如图，在AA5C中，NACB=90。，COJ_A3垂足为。，AE平分NCAB交CQ于点R

交BC于点E,EHLAB,垂足为从连接尸儿

求证：(1)CF=CE

(2)四边形C/7/E是平行四边形.

【考点】角平分线的性质；平行四边形的判定.

【解答】证明：(1)如图所示：..,NACB=90。，CDLAB垂足为D,

AZ1+Z5=9O°,Z2+Z3=90°,

又YNAE平分NCAB,

AZ1=Z2,

AZ3=Z5,

VZ3=Z4,

AZ4=Z5,

・・・CF=CE；

(2)・・，AE平分NCAB,CE±AC,EH±AB,

ACE=EH,

由(1)CF=CE,

・・・CF=EH,

VCD±AB,EH1AB,

，NCDB=90。，NEHB=90。，

AZCDB=ZEHB,

・・.CD〃EH,

即CF〃EH,

・・.四边形CFHE是平行四边形.

25

16.（2016春•杭州校级期中）如图，/A8M为直角，点C为线段BA的中点，点。是射线8M上的一个动点（不

与点B重合），连接AO,作BELAO,垂足为E,连接CE,过点E作EFLCE,交BD于F.

（1）求证：BF=FD；

（2）点。在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时N4的度数.

【解答】（1）证明：YBELAD,

；.NAEB=90。，

在RSAEB中，：点C为线段BA的中点，

;.CE=LAB=CB,

2

.*.ZCEB=ZCBE.

•.♦/CEF=NCBF=90。，

；.NBEF=NEBF,

；.EF=BF.

,.,ZBEF+ZFED=90°,NEBD+/EDB=90。，

；.NFED=NEDF,

VEF=FD.

；.BF=FD.

（2）能.理由如下：

若四边形ACFE为平行四边形，则AC〃EF,AC=EF,

BC=BF,

；.BA=BD,ZA=45°.

...当NA=45。时四边形ACFE为平行四边形.

17.（2016•钦州）如图，是△ABC的中位线，延长。E到F,使EF=DE,连接BF

（1）求证：BF=DC；

（2）求证：四边形ABFD是平行四边形.

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定.

【解答】证明：（1）连接DB,CF,

26

•.•。£是4ABC的中位线,

，CE=BE,

：EF=ED,

四边形CDBF是平行四边形,

；.CD=BF；

（2）••,四边形CDBF是平行四边形,

；.CD〃FB,

；.AD〃BF,

•.•口£是4ABC的中位线，

；.DE〃AB,

，DF〃AB,

二四边形ABFD是平行四边形.

18.（2016春•揭西县期末）已知：△ABC的中线8。、CE交于点O,F、G分别是。8、0c的中点.求证：四边形

OEFG是平行四边形.

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定.

【解答】证明：如图，连接ED、DG、GF、FE.

：BD、CE是△ABC的两条中线，

...点D、E分别是边AC、AB的中点，

DE/7CB,DE=&B；

2

又；F、G分别是OB、OC的中点，

；.GF〃CB,GF=-1€B；

，DE〃GF,且DE=GF,

四边形DEFG是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

D

BC

27

19.（2015秋•邛蛛市校级月考）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（-2,5）,B（-3,-1）,C

（1,-1）找一点Q,使四边形ABCQ是平行四边形，求点。的坐标.

“

【考点】坐标与图形性质；平行四边形的判定.

【解答】解：•••两组对边分别平行的四边形是平行四边形,

.•.可以分以卜三种情况分别求出D点的坐标：如图所示：

①当AB〃CD,AD〃BC时，D点的坐标为（2,5）；

②当AD〃BC,AC〃BD时，D点的坐标为（-6,5）；

③当AB〃CD,AC〃BD时，D点的坐标为（0,-7）.

故