2023年正弦定理的证明方法

第页共页2023年正弦定理的证明方法2023年正弦定理的证明方法正弦定理的证明方法一如图1,△ABC中,AD平分乙A交BC于D,由三角形内角平分线有ABBDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc为等腰三角形。证明‘三角证法,:BE平分匕B二器二黯...(l)ABACAB滋nC舀石乙二蕊丽劝元二舀丽””’‘(2)CF平分二C幼器二默...(2);EF//BC用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=[2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2]/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC证明如下：在三角形的外接圆里证明会比拟方便例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可以得到：2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径)角A=角D得到：2RsinA=BC同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB这样就得到正弦定理了正弦定理的证明方法二一种是用三角证asinB=bsinA用面积证用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢?三角形ABC为锐角三角形时，过A作单位向量j垂直于向量AB，那么j与向量AB夹角为90，j与向量BC夹角为(90-B),j与向量CA夹角为(90+A),设AB=c,BC=a,AC=b,因为AB+BC+CA=0即j*AB+J*BC+J*CA=0所以asinB=bsinA用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=[2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2]/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证用余弦定理：a2+b2-2abCOSc=c2COSc=(a2+b2-c2)/2abSINc2=1-COSc2SINc2/c2=4a2*b2-(a2+b2-c2)2/4a2*b2*c2=[2(a2*b2+b2*c2+c2*a2)-a2-b2-c2]/4a2*b2*c2同理可推倒得SINa2/a2=SINb2/b2=SINc2/c2得证正弦定理证明详细步骤步骤1.在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC步骤2.证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。余弦定理平面向量证法：∵如图，有a+b=c(平行四边形定那么：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-CosC再拆开，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。平面几何证法：在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a那么有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2b2=sinB²·c²+a2