2017-2018学年北师大版高中数学必修5全册学案

2017-2018学年高中数学北师大版

必修5全册同步学案

目录

第一章数列的概念

第一章1.2数列的函数特性

第一章2.1等差数列（一）

第一章2.1等差数列（二）

第一章2.2等差数列的前n项和（一）

第一章2.2等差数列的前n项和（二）

第一章3.1等比数列（一）

第一章3.1等比数列（二）

第一章3.2等比数列的前n项和（一）

第一章3.2等比数列的前n项和（二）

第一章4数列在日常经济生活中的应用

第一章章末复习课

第二章1.1正弦定理（一）

第二章1.1正弦定理（二）

第二章1.2余弦定理（一）

第二章1.2余弦定理（二）

第二章2三角形中的几何计算

第二章3解三角形的实际应用举例

第二章习题课正弦定理和余弦定理

第二章疑难规律方法：第二章解三角形

弟一早章末复习课

弟二早1.1不等关系

弟二早1.2不等关系与不等式（一）

第三章1.2不等关系与不等式（二）

弟二—•早rir.2.1一元二次不等式的解法

弟二早2.2一元二次不等式的应用

第三章3.1基本不等式

第三章3.2基本不等式与最大（小）值

第三章4.1二元一次不等式（组）与平面区域（一）

A弟A-二------早jiEL4.1二元一次不等式（组）与平面区域（二）

第三章4.2简单线性规划

第三章4.3简单线性规划的应用

弟二早章末复习课

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数列

列

1.1数列的概念

【学习目标】1.理解数列及其有关概念2理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的

任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.

H问题导学--------------------------

知识点一数列及其有关概念

思考1数列1,2,3与数列3,2』是同一个数列吗？

思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？

梳理⑴按排列的叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列

的____.

(2)数列的一般形式可以写成简记为,其中数

列的第1项内，也称;q是数列的第〃项，也叫数列的.

知识点二通项公式

思考1数列1,2,3,4,…的第100项是多少？你是如何猜的？

梳理如果数列｛斯｝的第〃项为与〃之间的函数关系可以用一个式子表示成a”=A〃)，那么

这个式子叫作这个数列的通项公式.数列的通项公式就是相应函数的解析式.不是所有的数

列都能写出通项公式.

思考2数列的通项公式%=A〃)与函数解析式y=/U)有什么异同？

2题型探究

类型一由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

_11_10L925

(1)1,2，3，4；y?2'2*

(3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0.

反思与感悟由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律,

1

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看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变

化的规律，继而将斯表示为〃的函数关系.

跟踪训练1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

L___1_____!_

1X2'2X3'3X4'4X5'

22-132-1/一152~1

⑵2'3，4，5

(3)7,77,777,7777.

类型二数列的通项公式的应用

引申探究

对于例2中的｛小｝.

(1)求斯+1;

(2)求。2”.

例2已知数列｛〃“｝的通项公式％=占笔黠，“6N+.

(1)写出它的第10项;

2

(2)判断,是不是该数列中的项.

反思与感悟在通项公式卬=A〃)中，为相当于)，，〃相当于x,求数列的某一项，相当于已

知x求y,判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x,若求出的x是正整数，则)，是

该数列的项，否则不是.

跟踪训练2已知数列｛四｝的通项公式为斯=而片，那么志是这个数列的第

.项.

3当堂训练

1.下列叙述正确的是()

A.数列1,3,5,7与7,5,3』是相同的数列

B.数列0,1,2,3,…可以表示为｛〃｝

C.数列0,1,01，…是常数列

D.数列｛言｝是递增数列

2.数列234,5,…的一个通项公式为()

A.%=n,B.an=n+1,〃£N+

=

C.a“=〃+2,rD.an2n,〃£N+

3.3知数列｛斯｝的通项公式"GN+,则卬=_________

Zn—1

2

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规律与方法--------------------------------1

I.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：

(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.

(2)可重复性：数列中的数可以重复.

(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.

2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，兀的不同近似值，依据精确的程度可形

成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公

式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变

化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、归纳.

3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.

3

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答案精析

问题导学

知识点一

思考1不是.顺序不一样.

思考2数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集

合中的元素具有互异性.

梳理(1)一定次序一列数项

(2)卬，(12,。3，…，斯，｛«„｝首项通项

知识点二

思考1100.由前四项与它们的序号相同，猜第"项斯=〃，从而第100项应为100.

思考2

如图，数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集｛1,2,…，〃｝)为定义域的函数斯=/(〃)

当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

不同之处是定义域，数列中的〃必须是从1开始且是连续的正整数，函数的定义域可以是任

意非空数集.

题型探究

例1解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，

所以，它的一个通项公式为斯=",〃GN+.

(2)数列的项，有的是分数，有的是整数,可将各项都统一成分数再观察:;,y,y,

“2

所以，它的一个通项公式为为=上，"GN+.

(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000,此数列的通项公式为10”,可得原数列的一

个通项公式为斯

(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2,偶数项是0,所以，它的一个通项公

式为+“EN+.

跟踪训练1解(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项

4

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为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为〃，尸•乂/〃£N+.

⑵这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1,所

以，它的一个通项公式为为二1―上^,〃£N+.

〃十1

777777

(3)这个数列的前4项可以变为§X9,§X99,^X999,§X9999,即§X(10—l),^X(100-

7

1),gX(l000-1),

7

^X(WOOO-l),

7777

即§X(10-1),gX(lO--l),gX(103-l),^X(104-l),

7

所以，它的一个通项公式为斯=gx(io"—1),〃eN+.

例2解(l)^io—19X21—399,

(2)?(2〃-1)(2〃+1)=药'

化简得8n2-33n—35=0,

7

解得〃=5(〃=—舍去).

O

22

当附=5时，«5=-33^33.

所以言不是该数列中的项.

引申探究

_(一1)叫("+1)+11

解(1)斯+|=[2(〃+1)—1][2(〃+1)+1]

_(-1严(〃+2)

一(2〃+1)(2〃+3)，

(-l)2"(2n+l)

(2)a2„(2x2n-1)(2X2n+1)

2n+l

=(4〃-1)(4〃+1)，

跟踪训练210

解析：〃(〃+2)=9

”(“+2)=10X12,.♦.〃=+.

当堂训练

5

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(―1)〃5+1)

1.D2.B3.1

2〃+1

1.2数列的函数特性

【学习目标】1.理解数列的几种表示方法2能从函数的观点研究数列.

EF问题导学--------------------------

知识点一数列的表示方法

思考以数列2,4,6,8,10,12,…为例，你能用几种方法表示这个数列？

梳理数列的表示方法有法、法、列表法、递推公式法.

知识点二数列的增减性

思考观察知识点一中数列2,4,6,8,…的图像，随着〃的增大，斯有什么特点？

梳理一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即即+ja“

那么这个数列叫作;从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即小+1a„,

那么这个数列叫作;各项相等的数列叫作:从第2项起，有些项

小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作.

2题型探究

类型一数列的表示方法

例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中，着色的小三角形的个

数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它

的图像.

▲A盒翕,

(1)(2)(3)(4)

反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，

善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的.

跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩

上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石

子个数称为三角形数，则第10个三角形数是.

类型二数列的增减性

命题角度1判断数列的增减性

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例2判断数列｛毫｝的增减性.

反思与感悟对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项.故需考察知+|

-an的正负来研究数列的增减性.

跟踪训练2若数列｛，，+而｝是递增数列，则实数A的取值范围是.

命题角度2求数列中的最大项与最小项

例3在数列｛四｝中，斯=（"+1湍）"（"GN+）.

（1）求证：数列｛的｝先递增，后递减；

（2）求数列｛斯｝的最大项.

反思与感悟数列中最大项与最小项的两种求法

（1）若求最大项即，则小应满足、若求最小项斯，则斯应满足一

42。〃-1,1.

⑵将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意

〃£N+这一条件.

4/1—12

跟踪训练3已知数列｛〃〃｝的通项公式为斯=*彳，求数列伍〃｝的最大项和最小项.

3当堂训练

1.已知数列｛册｝的通项公式是对=旺则这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

2.已知数列｛〃“｝满足劣=2,即+i—a“+l=0（”WN+）,则此数列是（）

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.摆动数列

3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数小与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是

规律与方法

1.｛斯｝与斯是不同的两种表示，｛斯｝表示数列a\,a2,a„,…，是数列的一种简记形

式.而为只表示数列｛〃“｝的第”项，凡与｛6｝是“个体”与“整体”的从属关系.

2.数列的表示方法：（1）图像法；（2）列表法；（3）通项公式法：（4）递推公式法.

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3.判断数列增减性的办法一般是作差：an+-an,通过判断差的正负来判断数列｛仇｝的增减

性.当%>0,也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性.

通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项.

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答案精析

问题导学

知识点一

思考对数列246,8,10,12,…可用以下几种方法表示:

①通项公式法：an=2n.

②递推公式法：2'

an+1=an+29N

③列表法:

n123…k…

%246・・・2k•••

④图像法:

梳理通项公式图像

知识点二

思考图像上升，出随〃增大而增大.

梳理>递增数列<递减数列常数列摆动数列

题型探究

例1解这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项

都是3的指数累，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是斯=3"?在直角坐标系

中的图像为一些孤立的点（如图所示）.

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an

30-

27—•

24-

21-

18一

15-

12-

9—•

6-

3—•

fill.

01234n

跟踪训练155

例2解设%=±,

〃十1

n,i〃+1/

川“，，+1-%—布一而万

=一5一>o

...｛消旨｝是递增数列.

跟踪训练2(-3,+8)

2

解析设an=n+Xn,

2

则斯+i—an=(n+1)+A(n+1)—rT—kn

=2〃+l+2>0对任意〃金N+恒成立.

=

(2/?+1+A)min3+2>0,

A>—3.

例3(1)证明令-^>1(〃22),

(〃+1)瑞)"

6P^F>b

,,fg"+111-

整理传一解付相<1o.

(〃+i)•(¥)”

令一即—而—>i.

二(〃+2)•馈严

整理得我书解得〃冷

所以数列｛四｝从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列｛斯｝先增后减.

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⑵解由⑴知。9=〃10=]J最大.

跟踪训练3解因为研]—斯

4〃-84/7-12

2〃-52n—7

(4〃-8)(2〃-7)—(4〃-12)(2〃-5)

(2n—5)(2〃-7)

(8/一44〃+56)—(8/—44〃+60)

(277-5)(2/2-7)

―4

=一(2L5)(2L7)

_1

=—5T

当时，为+]—。〃<0,即

当n=3时，斯+]—。〃>0,即an+\>an；

当〃24时，an^\—an<0,即anv\<an.

又当〃W3时，斯<2；当〃24时，呢>2.

所以〃4>。5>……>2>4]>〃2>的.故数列｛斯｝的最大项为〃4=4,最小项为〃3=0.

当堂训练

1.B2.B3.斯=2〃+1

数列

2等差数列

2.1等差数列（一）

【学习目标】1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项

公式解决一些简单的问题3掌握等差中项的概念，深化认识并能运用.

ET问题导学

知识点一等差数列的概念

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思考给出以下三个数列：

(1)0,5,10,15,20；

(2)4,4,4,4;

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.

它们有什么共同的特征？

梳理从第项起，每一项与前一项的差等于同一个,这个数列称为等差数列，

这个常数为等差数列的,公差通常用字母4表示.

知识点二等差中项的概念

思考观察下列所给的两个数之间插入一个什么数后，三个数能成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)-1,5；(3)a,fe；(4)0,0.

梳理如果三个数a,A,。组成等差数列，那么A叫作a和6的等差中项，且人=卓”.

知识点三等差数列的通项公式

思考对于等差数列2,4,6,8,…，有°2—3=2,即42=。1+2;的一公=2,即的=。2+2=

”]+2X2；CI4-的=2,即“4=a3+2=a]+3X2.

试猜想斯=q+()X2.

梳理若一个等差数列｛斯｝,首项是a”公差为d,则a“=ai+(〃-l)d.此公式可用累加法证

明.

2题型探究--------------------------

类型一等差数列的概念

例1判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3,…，—2n+11>…；

⑵-1,11,23,35,…，12〃-13,…；

(3)1,2,1,2,…；

(4)1,2,4,6,8,10,…;

(5)a,a,a,a,a,….

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项喊去它的前一项的差

是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证

a”+i—斯(〃/1,nGN+)是不是一个与n无关的常数.

跟踪训练I数列｛%｝的通项公式%=2〃+5,则此数列()

A.是公差为2的等差数列

B,是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为〃的等差数列

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类型二等差中项

例2在一1与7之间顺次插入三个数a,6,c使这五个数构成等差数列，求此数列.

反思与感悟在等差数列｛斯｝中,由定义有an+t—an=an—,MGN+),即a„=

—从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一

项的等差中项.

跟踪训练2若m和2〃的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项.

类型三等差数列通项公式的求法及应用

命题角度1基本量法求通项公式

例3在等差数列｛%｝中,已知%=12,68=36,求通项公式时.

反思与感悟像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程组求解的思想方法，称方

程思想.

跟踪训练3⑴求等差数列8,5,2,…的第20项；

(2)判断一401是不是等差数列一5,-9,-13,…的项，如果是，是第几项？

命题角度2等差数列的实际应用

例4某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费

10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0,那

么需要支付多少车费？

反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方

法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题.

跟踪训练4在通常情况下，从地面到10km高空，高度每增加1km,气温就下降某一个

固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是一17.5℃,求2km,4km,8km

高度的气温.

3当堂训练

1.已知等差数列｛斯｝的通项公式。“=3—2〃，则它的公差1为()

A.2B.3C.-2D.—3

2.己知在△ABC中，三内角A,B,C成等差数列，则角8等于()

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.等差数列｛斯｝中，己知。2+。5=4,a,,=33,求”的值.

规律与方法------------------------------1

1.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)即+1—斯=或1为常数，〃eN+)o｛斯｝是等差数列；

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(2)2%+\=a,,+a„+2(nGN।)<=>｛a”｝是等差数列；

⑶a“=kn+b(k,6为常数，〃WN+)台｛斯｝是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.

2.由等差数列的通项公式为=m+(〃-1)4可以看出，只要知道首项⑶和公差乩就可以求

出通项公式，反过来，在火，d,n,%四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出

另一个量.

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答案精析

问题导学

知识点一

思考从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.

梳理2常数公差

知识点二

思考插入的数分别为3,2,乎，0.

知识点三

思考n-1

题型探究

例1解由等差数列的定义得(1),(2),(5)为等差数列，(3),(4)不是等差数列.

跟踪训练1A

例2解V-l,a,Ac,7成等差数列，

-1+7

•••人是一1与7的等差中项，:.b=-5—=3.

又。是一1与3的等差中项，

又c是3与7的等差中项，，c=丁=5.

.••该数列为-1,135,7.

跟踪训练2解由机和2〃的等差中项为4,得m+2〃=8.又由2m和〃的等差中项为5,

得2m+〃=10.两式相加，得m+〃=6.所以相和n的等差中项为一——3.

勾+5d=12,

例3解由题意可得一一“解得d=2,勿=2.

［勾+17d=36.

斯=2+(〃-1)X2=2〃.

跟踪训练3解(1)由。］=8,。2=5,得d=〃2—。1=5—8=—3,由〃=20,得。20=8+(20

-l)X(-3)=-49.

(2)由q=—5,d=—9—(―5)=—4,得这个数列的通项公式为恁=—5+(〃-1)X(—4)=一

47?—1.

由题意，令一401=—4〃-1,得几=100,

即一401是这个数列的第100项.

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例4解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km,乘客需要支

付1.2元.

所以，可以建立一个等差数列｛斯｝来计算车费.

令0=11.2,表示4km处的车费，公差d=1.2,

那么当出租车行至14km处时，〃=11,

此时需要支付车费61=11.2+（11-1）X1.2=23.2（元）.

即需要支付车费23.2元.

跟踪训练4解用｛斯｝表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则0=8.5,的=一17.5,

由a5—«i+48.5+4d——17.5,解得4=—6.5,

••cin~15-6.5〃.,•〃2=2,〃4=11,。8=37,

即2km,4km,8km高度的气温分别为

2℃,-11℃,-37℃.

当堂训练

1.C2.B3.50

2.1等差数列（二）

【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质2能运用等差数列的性质解

决有关问题.

n问题导学----------------------------

知识点一等差数列通项公式的推广

思考1已知等差数列｛斯｝的首项4］和公差4能表示出通项斯如果已知第根

项a,„和公差d,又如何表示通项为？

思考2由思考1可得〃=且二:，d="』，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的

几何意义吗？

梳理等差数列｛斯｝中，若公差为d,则〃"=〃,"+（〃一，〃）d,当〃#/n时，.

知识点二等差数列的性质

思考还记得高斯怎么计算1+2+3+…+100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜

想？

梳理在等差数列｛斯｝中，若，"+"=p+q（，"，”,p,qGN+）,则a,n+=%+.

特别地，若〃i+〃=2p,贝^斯+斯,=2%.

知识点三由等差数列衍生的新数列

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思考若｛为｝是公差为d的等差数列，那么｛""+"“+2｝是等差数列吗？若是，公差是多少？

梳理若｛%｝,｛乩｝分别是公差为d,d'的等差数列，则有

数列结论

{c+%}公差为d的等差数列(c为任一常数)

公差为C”的等差数列(C为任一常数)

{an+an^k\公差为2d的等差数列(％为常数，％eN+)

{pan+qbn}公差为//+伙/'的等差数列⑺，g为常数)

2题型探究

类型一等差数列推广通项公式的应用

例1在等差数列｛斯｝中，已知“2=5,“8=17,求数列的公差及通项公式.

反思与感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.

跟踪训练1数列｛%｝的首项为3,｛瓦｝为等差数列,且为=%+1一%("GN+),若优=一2,

加0=12,则°8等于()

A.0B.3C.8D.11

类型二等差数列与一次函数的关系

例2已知数列｛知｝的通项公式％=p〃+q,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数

列吗？若是，首项和公差分别是多少？

反思与感悟判断一个数列是不是等差数列的常用方法：

(1)从递推公式上看，@+1-a”=d(d为常数,"GN+)O｛a”｝是等差数列;

(2)从任意连续三项关系上看，2a“+|=%+斯+2("CN+)0｛%｝是等差数列；

(3)从通项公式代数特点上看，a„=kn+b｛k,b为常数,〃GN+)今｛a“｝是等差数列.

但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.如：其中某连续三项不成等

差数列；存在"6N+,即+i—斯的结果不等于同一个常数等.

跟踪训练2若数列｛斯｝满足m=15,3斯+]=3a“一2,则使ak-ak+]<0的k值为.

类型三等差数列性质的应用

引申探究

1.在例3中，不难验证41+〃4+“7=a2+44+46,那么，在等差数列｛a”｝中，若机+〃+〃=4

+r+s,m,n,p,q,r,sGN+,是否有am+a„+ap—a(l+ar+as?

2.在等差数列｛%｝中，已知的+。8=10,则3a5+田=.例3已知等差数列｛恁｝中，

“1+44+47=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.

反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列｛斯｝的性质；二是

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利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些

方法都运用了整体代换与方程的思想.

跟踪训练3在等差数列｛〃“｝中，已知“1+04+47=39,幻+。5+。8=33,求的+期+麴的值.

3当堂训练

1.等差数列｛斯｝中，已知的=10，。8=-20,则公差d等于()

A.3B.-6

C.4D.-3

2.在等差数列｛斯｝中,已知。4=2,a8=14,则。15等于()

A.32B.-32

C.35D.-35

3.等差数列｛四｝中，。4+。5=15,"7=12,则。2等于()

A.3B.-3

「33

C2D・-2

L规律与方法.------------------------------1

1.在等差数列｛册｝中，当，时，d=器琮，利用这个公式很容易求出公差，还可变形

为am—a,,+[m—ri)d.

2.等差数列｛斯｝中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是

等差数列.

3.等差数列｛斯｝中，若w?+〃=p+q,则斯+卬"=%+%(〃，m,p,qWN+),特别地，若根

+n=2p,贝Ian+am=2ap.

4.在等差数列｛斯｝中，首项卬与公差4是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果

条件与结论间的联系不明显，则均可根据m，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的

变形及整体计算，以减少计算量.

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答案精析

问题导学

知识点一

思考1设等差数列的首项为R，则即=0+(加一l)d,

变形得q=0“一("Ll)d,

则知=〃]+(〃-1)d=am—(m-l)d+(〃-l)d

=〃小+(〃—)〃)".

思考2等差数列通项公式可变形为斯=血+3—J),其图像为一条直线上孤立的一系列点,

(1,〃]),(〃，斯)，(加，〃加)都是这条直线上的点.d为直线的斜率，故两点(1,〃i),(九，an)

连线的斜率•当两点为("，即)，(〃?，而时，有4=包二^

知识点二

思考利用1+100=2+99=・・・.在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于

首项与末项的和.即0+即=〃2+斯-1=的+斯-2=~.

梳理“%

知识点三

思考(即+1+斯+3)—3〃+斯+2)

=(〃〃+1—an)+(恁+3-。〃+2)

=d+d=2d.

二.｛〃”+〃“+2｝是公差为2d的等差数列.

题型探究

例1解因为“8=色+(8—2)4所以17=5+6d,解得d=2.

又因为〃〃=。2+(〃—2)d,

所以%=5+(〃-2)义2=2〃+1.

跟踪训练1B「・・｛0〃｝为等差数列，设公差为d,

则加B=12—(―2)

人」a10-37乙、

...“尸仇+5一3)d=2〃-8.

，。8=38一〃7)+(〃7一。6)+(46一。5)+35一。4)+(。4一〃3)+33一〃2)+(〃2-〃1)+41

=0+%+…+为+。]

=(仇+")+36+人2)+(%+①)+〃4+〃1

=764+^i=7X0+3=3.]

例2解取数列｛%｝中任意相邻两项。〃和斯―

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求差得an—an-\=(pn+c/)—[p(n—l)+q]=pn-\-q—(pn—p+ci)=p.

它是一个与〃无关的常数，所以｛斯｝是等差数列.

由于an=pn+q=q+p+｛n—\)p,

所以首项〃]=p+4，公差d=p.

跟踪训练223

解析由3斯+1=3斯一2,

/日2

彳于〃”+1—%——3,

2

；.｛%｝是首项为15,公差为一彳的等差数列，

+(〃一\)(1

=15+(7?-l)X(-1)

令％=0,解得〃=»~=23.5,

2

Vrf=-j,数列｛斯｝是递减数列，

；・。23>°，。24<0・

；・左=23.

例3解方法一因为见+07=2。4，。1+。4+。7=3。4=15,

所以“4=5.

又因为。2。4。6=45,所以以2。6=9,

即34—20(〃4+2")=9,(5—2d)(5+24=9,

解得d=±2.

若d=2,々“=44+(〃—4)d=2〃-3；

若d=—2,恁=44+(〃—4)d=13—2几

方法二设等差数列的公差为4

则由q+〃4+〃7=15,得

。］+。］+3"+。］+64=15,

即〃i+3d=5,①

由4244a6=45,

得31+①3］+3刎+5①=45,

将①代入上式，得

3+t/)X5X(5+2J)=45,

即3i+d)X(5+2d)=9,②

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解①，②组成的方程组，得伯=-1,d=2或0=11,〃=一2,

an=-1+2(〃-1)=2〃-3

或%=11—2(〃-1)=—2n+13.

引申探究

1.解设公差为d,则即=。]+(加一l)d,

〃〃=〃]+(〃-l)d,

ap=ai+(p—l)d,

%=〃i+(g—l)d,

4r=。]+(r—T)d,

as=a[+(s-\)d,

。加+。〃+他=3。]+(m+〃+p—3)d,

旬+&+〃、.=3〃1+(g+r+s-3)d,

*.*tn+n+p=q+r+s,

+〃〃+%=%+〃「+

anias.

2.20

解析•.•的+〃8=1。，

6+6+恁+0=？。.

73+3+8+8=5+5+5+7,

的+的+恁+久二的+的+的+的，

即3。5+47=2（的+。8）=20.

跟踪训练3解方法一,..（勿+的+恁）一（〃i+〃4+〃7）=3d,

（的+。6+。9）—（。2+。5+。8）=3d,

.•・。1+。4+。7，生+的+的，的+/+的成等差数列.

〃3+〃6+〃9=232+。5+。8）—（。1+。4+。7）

=2X33-39=27.

方法二+〃4+〃7=。1+31+34+(。1+64)

=30+9d=39,

・・・〃i+3d=13,①

*/。2+。5+。8=(。|+4+31+4t/)+(〃]+7t/)

=3〃i+12d=33.

・・・〃]+4d=11,②

a1+3d=13,

由①②联立

©+44=11,

；・〃3+〃6+〃9=(〃i+2d)+(ai+5i/)+(〃]+8d)

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=3〃i+15d=3X19+15X(—2)=27.

当堂训练

1.B2.C3.A

2.2等差数列的前“项和(一)

【学习目标】1.掌握等差数列前"项和公式及其获取思路2经历公式的推导过程，体验从特

殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思3熟练掌握等差数列的五个量a”d,〃,an,

S”的关系，能够由其中三个求另外两个.

IT问题导学--------------------------

知识点一等差数列前n项和公式的推导

思考高斯用1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101X50迅速求出了

等差数列前100项的和.但如果是求1+2+3+…+小不知道共有奇数项还是偶数项怎么

办？

梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前〃项和，其方法如下：

_

S〃=〃i+色+〃31-----\~an-\+an

=〃]+(〃]+J)+(〃]+2")+・・・+[oi+m-2)d]+[Qi+(n—l)d]；

Sn=an+an-]+an-2^-----\-a2+a]

=an+(斯一J)+(即一2")H----F[an-(〃一2)d]+[an—(〃-1)刈.

两式相加，得2s〃=〃(。]+斯)，

由此可得等差数列｛斯｝的前"项和公式S产风”皿

根据等差数列的通项公式如=幻+5—1)4

代入上式可得5“=1+.

知识点二等差数列前〃项和公式的特征

思考1等差数列｛〃“｝中，若已知色=7,能求出前3项和S3吗？

思考2我们对等差数列的通项公式变形：%=0+(〃-1)"=5?+3]—①，分析出通项公式

与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下£=〃0+曜”4吗？

梳理等差数列｛斯｝的前〃项和S,”有下面几种常见变形：

(2)S“=12+3—，山

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(3„”+(内一，吟｝是公差为耻等差数列).

知识点三等差数列前〃项和公式的性质

思考若｛%｝是公差为d的等差数列.

那么卬+政+的，久+/+恁，劭+的+例是等差数列吗？如果是，公差是多少？

梳理等差数列的前"项和常用性质.(ns”，s2m,S3,”分别为等差数列｛斯｝的前，”项，前

2m项,前3根项的和，则S“，S2n,-Sm,S3,”一5前也成等差数列，公差为疗丈

(2)项的个数的“奇偶”性质.

｛斯｝为等差数列，公差为d设S*为前”项中序号为奇数的项之和.S那为前"项中序号为偶

数的项之和.

①若共有2〃项，则乱“="3