2016人教版八年级下册数学教案

16.1二次根式

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用八（a^O）的意义解答具体题目.

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.

教学重难点关键

1.重点：形如右（aNO）的式子叫做二次根式的概念；

2.难点与关键：利用“G（a20）”解决具体问题.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题：

二、探索新知

很明显百、而、J",都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们

就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如石（a20）的式子叫做二次根式，“一”称为二次根

号.

（学生活动）议一议：

1.-1有算术平方根吗？

2.0的算术平方根是多少？

3.当a<0,、石有意义吗？

老师点评：（略）

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、历、0G（x>0）、、同、蚯、

X

-V2>-------、Jx+y（x20,y20）.

x+V

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“«”；第二，被开方数是正数或0・

解：二次根式有：后、yfx（x>0）、J5、■后、y/x+y（xNO,y20）；不是二次根式的有：后、

->痣、—.

xx+y

例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x・120,J3x-1才能有意义.

解：由3x-120,得：x^—

3

当X》!时，J3x-1在实数范围内有意义.

3

三、巩固练习

教材P5练习1、2、3.

四、应用拓展

例3.当x是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义?

分析：要使J2x+3+」一在实数范围内有意义,必须同时满足疡行中的)0和」一中的x+ir

2x+3>0

解：依题意，得<

x+1w0

3

由①得：X》--

2

由②得：xW・l

O__________1

当X2-士且xW-l时，，2x+3+——在实数范围内有意义.

2x+\

例4⑴已知y=，2-x+Jx-2+5,求土的值.(答案:2)

Q)若向匚1=0,求aZ^+b?004的值.(答案

五、归纳小结(学生活动，老师点评)

本节课要掌握：

1.形如G(a20)的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

六、布置作业

1.教材P51,2,3,4

2.选用课时作业设计.

16.1二次根式(2)

教学内容

1.4a(a20)是一个非负数；

2.(yja)(a20).

教学目标

理解G(a20)是一个非负数和(G)2=a(a>0),并利用它们进行计算和化简.

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G(a20)是一个非负数，用具体数据结合算术

平方根的意义导出(G)2=a(a20)；最后运用结论严谨解题.

教学重难点关键

1.重点：G（a20）是一个非负数；—（a20）及其运用.

2.难点、关键：用分类思想的方法导出G（a20）是一个非负数；用探究的方法导出（八）2=：a

（a20）.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答

1.什么叫二次根式？

2.当a20时，&叫什么？当a<0时，有意义吗？

老师点评（略）.

二、探究新知

议议：（学生分组讨论，提问解答）

4a（a>0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

、份（a20）是一个非负数.

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（V?）2=；（V2）2=；（y/9）2=;(5/3)2=

------；（&2=-------；（y/0）2=--------

老师点评："是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、〃是一个平方等于4的非负数，因此

有()2=4.

同理可得：（0）2=2,（囱）2=9,（6）2=3,（口）2」，（口）2=2.,

V33V22

(Vo)2=0,所以

(右)2=aco)

例1计算

1.(^|)22.(375)23.(^1)24.(*)

分析：我们可以直接利用（G）2=a（a20）的结论解题.

解:.-)')2=32,(A/5)2=3?•5=45,

V22

5心2ST7

2_)

62一224

三、巩固练习

计算下列各式的值：

22

（V18）（、区V（遮）2（A/0）

V34

（3份-（5扬2

四、应用拓展

例2计算

1.（Vx+T）2（x》0）2.(7^)23.(yja2+2a+l

4.(V4x~-12x+9)-

分析：（1）因为x20,所以x+l>0；（2）a2^0；(3)(a+1)20；

(4)4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4题都可以运用（J£）2=a（a20）的重要结论解题.

解：(1)因为x20,所以x+l>0

(Jx+1)2=x+l

(2)Va2^0,(")2=a2

(3)Va2+2a+l=(a+1)2

又•:(a+1)2》o,.,.a2+2a+1^0,J/+2a+1=a?+2a+l

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2•2x•3+32=(2x-3)2

又：(2x-3)2》。

.,,4X2-12X+9>0,/.(A/4X2-12X+9)2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4(3)2X2-3

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

1.4a(a20)是一个非负数；

2.(\[a)2=a(a20);反之:a=(4a)2(a20).

六、布置作业

1.教材P55,6,7,8

2.选用课时作业设计.

16.1二次根式(3)

教学内容

=a(a》0)

教学目标

理解JFua(a20)并利用它进行计算和化简.

通过具体数据的解答，探究J/=a(a20),并利用这个结论解决具体问题.

教学重难点关键

1.重点：y[a^=a(a20).

2.难点：探究结论.

3.关键：讲清a20时，行=2才成立.

教学过程

一、复习引入

老师U述并板收上两节课的重要内容；

1.形如G(a)O)的式子叫做二次根式；

2.4a(a>0)是一个非负数；

3.(Va)2=a(a20).

那么，我们猜想当a20时，疗=2是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.

二、探究新知

(学生活动)填空：

=；Vo_oi2=；J(历y=；

(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

厅=2；Vo.012=0.01；=*；J(g)2=,;而=0；J(；)2='

因此，一般地：=a(a20)

例1化简

(1)V9(2)7(-4)2(3)V25(4)，(-3)2

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,

(4)(-3)2=32,所以都可运用J/=a(a20)去化简.

解：(1)A/9==3(2)J(-4了==4

(3)-25=5/5^=5(4)J(-3.=\[3~=3

三、巩固练习

教材P7练习2.

四、应用拓展

例2填空：当a20时，77=____；当a<0时，,并根据这一性质回答下列问题.

(1)若J/=a,则a可以是什么数？

(2)若疗=-a,则a可以是什么数？

(3)J/>a,则a可以是什么数？

分析：•.•行=a(a2O)，，要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()

2”中的数是正数，因为，当a<0时，疗=心方,那么-a20.

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知J/=

Ia|,而IaI要大于a,只有什么时候才能保证呢？a<0.

解：(1)因为=a,所以a20；

(2)因为J/=-a,所以aWO；

(3)因为当a20时J/=a,要使J/>a,即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a,要使J/>a,

即使-a>a,avO综上,a<0

例3当x>2,化简J(x_2>-J(1—2X)2.

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：J/=a(a)0)及其运用，同时理解当avO时，J/=-a的应用拓展.

六、布置作业

1.教材P5习题16.13、4、6、8.

2.选作课时作业设计.

16.2二次根式的乘除

教学内容

4a,\fh=\[ab(a>0,b20),反之=C(aNO,b2O)及其运用.

教学目标

理解JZ,4b—\[ab(a>O,b>0),4ab=4a,4b(a》O,b》O),并利用它们进行计算和

化简

由具体数据，发现规律，导出八•五=而(a2O,b20)并运用它进行计算；利用逆向思维,

得出=G-4b(a20,b20)并运用它进行解题和化简.

教学重难点关键

重点：4a•\[b—4ab(a>0,b20),yfab=\[a•\[b(a20,b20)及它们的运用.

难点：发现规律，导出JZ•4b—\[ab(a>0,b>0).

关键：要讲清Jab(a<0,b<0)=yfay/b,如J(-2)x(-3)=J-(-2)x-(-3)或

•^(―2)x(—3)=,2x3=V2XV3.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题.

1.填空

(1)74X79=,74^9=；

(2)xJ25=,J16x25=.

(3)V100xV36=,7100x36=.

参考上面的结果，用“>、<或="填空.

74X79____74^9.V16XV25____716x25,

V100XV367100x36

2.利用计算器计算填空

(1)72xV3瓜,(2)72xV5V10,

⑶V5xV6V30，(4)V4xV5而，

(5)J7xVio屈.

老师点评(纠正学生练习中的错误)

二、探索新知

(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.

老师点评：(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边

二次根式中的被开方数.

一般地，对二次根式的乘法规定为

8,4b=\[ai>.(ae0,b，0)

反过来：[7^=右♦巫(a'O,b20)

例L计算

(1)亚乂#i(3)V9XV27(4)X-\/6

分析：直接利用G-4b=4ai)(a20,b20)计算即可.

解：(1)y[5XV7=J35

⑵Ax丁=Jgx9=G

(3)y/9xV27=79x27=A/92X3=973

⑷xV6=^1X6=V3

例2化简

(1)V9xl6(2)716x81(3)781x100

(4)y/9x2y2(5)V54

分析：利用而=G•Jb(a20,b20)直接化简即可.

解：(1)79x16=79X716=3X4=12

(2)V16X81-V16XV§T=4X9=36

(3)>81x100=病X7153=9X10=90

(4)02丫2=后XJx2y2=疔-正x/=3xy

(5)V54=79^6=73^x76=376

三、巩固练习

(1)计算(学生练习，老师点评)

①屈义册②3瓜X2回③庙.

(2)化简：而；V24;V54;2a2b2

教材Pu练习全部

四、应用拓展

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(_4)x(_9)=口*"

(2)xV25=4X^I|xV25=4^||X725=4712=873

解：(1)不正确.

改正：J(-4)x(-9)="X岳2X3=6

(2)不正确.

改正：J4—XV25=J—X725=J—x25=VT12=71677=477

V25\25V25

五、归纳小结

本节课应掌握：(1)4a,4b—y[ab=(a'O,b20),-fab=\[a,y[b(a20,b20)及其运

用.

六、布置作业

1.课本P”1,4,5,6.(1)(2).

2.选用课时作业设计.

16.2二次根式的乘除⑵

教学内容

yJa/余(a20,b>0)及利用它们进行计算和化简.

不=/(a>0,b>0),反过来

教学目标

\[aa(a>0,b>0)和聆(a>0,b>0)及利用它们进行运算.

理解

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用

它们进行计算和化简.

教学重难点关键

4a(a>0,b>0),由当(a>0,b>0)及利用它们进行计算和化简.

1.重点：理解

2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题：

1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.

2.填空

V9

(1)

V16

(3)

V16

3.利用计算器计算填空:

V3V7

(1)(2)也(4)

k?3

规律.旦邑亚3亚邑也已

刑律.V4--------44'V3----------gV5-V5,册一V8

每组推荐一名学生上台阐述运算结果.

(老师点评)

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到:

一般地，对二次根式的除法规定：

—产=J—(a20,b>0),

4b\b

反过来,

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.

上面4小题利用反

分析:加(a20,b>0)便可直接得出答案.

[ay/a

分析：直接利用(a>0,b>0)就可以达到化简之目的.

三、巩固练习教材P14练习1.

四、应用拓展

/x"-5x+4

例3.已知一，且x为偶数，求US的值.

Vx2-l

分析:式子4今只有a20,b>0时才能成立.

因此得到9・x20且x-6>0,即6<xW9,又因为x为偶数，所以x=8.

〜f9-x>0fx<9

解：由题意得《,，即,

[x-6>0[x>6

・・・6vx<9

•・・x为偶数

:.x=8

卜-4)(1)

二.原式:(1+X)

x-4

=(1+x)J-------

\x+1

=(1+x)—J=+x)(x—4)

J(x+1)

当x=8时，原式的值=J4x9=6.

五、归纳小结

[a4a

本节课要掌握(a>0,b>0)和(a>0,b>0)及其运用.

六、布置作业

1.习题16.22、7、8、9.

16.2二次根式的乘除(3)

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化筒运算.

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简

二次根式的要求.

重难点关键

1.重点：最简二次根式的运用.

2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)

.、4笆/.>.V3,.3拉瓜

1.it算(1)-产,(2)—>—，(3)-,—

V5V27y/2a

老师点评:%叵,平卫,华三

V55V273y/2aa

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是%km,h2km,那么它们的传播半

径的比是.

2世

它们的比是

2Rh2

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

老师点评：不是.

]2做(V7M7

y[lRh2~\2Rh,h

例1.(1)3栏;⑵y/x2y4+x4y2;(3)J8x2y3

例2.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的长.

解：因为AB2=AC?+BC2

所以AB=J2.52+6?=J(|)2+36==£=6.5(cm)

因此AB的长为6.5cm.

三、巩固练习

练习2、3

四、应用拓展

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1lx（V2-l）V2-1n.

万丁回］）回1）一三7

11X(6一行)片一r~

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-3-2-'

]

同理可得:=V?-6,

4+百

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

/厂+」厂+……,---1；---=）（V2002+1）的值.

<2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

分析：山题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目

的.

解：（V2-1+V3-V2+V4-V3+……+V2002-V2001）X（V2002+1）

=（72002-1）（72002+1）

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.

六、布置作业

1.习题16.23、7、10.

16.3二次根式的加减(1)

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法.

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它

来指导根式的计算和化简.

重难点关键

1.重点：二次根式化简为最简根式.

2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式.

(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数

相加减.

二、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(I)2V2+3V2(2)2次-3&+5&

(3)V7+277+379x7(4)3V3-2V3+V2

老师点评:

(1)如果我们把血当成X,不就转化为上面的问题吗？

2V2+3V2=(2+3)V2=5V2

(2)把我当成y；

2^8-3Vs+5V8=(2-3+5)V8=4V8=8V2

(3)把J7当成z；

V7+2V7+V9V7

=2币+2A/7+3小=(1+2+3)V7=6币

(4)看为x,J5看为y.

3V3-2V3+V2

=(3-2)V3+V2

=V3+V2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2行与正表面上看是不相同的，但它们可以合并

吗？可以的.

（板书）3V2+A/8=3V2+25/2=55/2

3V3+127=3垂＞+3#)=6V3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行

合并.

例1.计算

(1)V8+J18(2)J16x+J64x

分析：第一步，将不是最筒二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合

并.

解：(1)V8+VTs=25/2+35/2=(2+3)V2=5V2

(2)V16x+V64x=4Vx+8y[x=(4+8)6=12&

例2.计算

(1)3748-9J1+3V12

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

解：(1)3V48-9+3V12^=12V3-3-\/3+6V3=(12-3+6)V3=15V3

(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5

=4V3+2V5+25/3-V5=6V3+y/5

三、巩固练习

教材P19练习1、2.

四、应用拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(^Xs/9x+y2^~3-《)的值.

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,即x=g,y=3.其

次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.

解：•.•4x：:+y2-4x-6y+10=0

V4x2-4x+l+y2-6y+9=0

二(2x-l)2+(y-3)2=0

•1a

..x=­,y=3

2

2

3

=2xy/x+yfxy-xy[x+5yjxy

=xy/x+6yfxy

当x=g,y=3时,

原式=xQ+6』邛+3而

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合

并.

六、布置作业

1.习题16.31、2、3、5.

16.3二次根式的加减（2）

教学内容

利用二次根式化筒的数学思想解应用题.

教学目标

运用二次根式、化简解应用题.

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化

成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.

二、探索新知

例1.如图所示的RtaABC中，ZB=90°,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移

动；同时.，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几秒后4PBQ的面积为35

平方厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后APBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根据三角形面积公式就可以求

出x的值.

解：设x后aPBQ的面积为35平方厘米.

贝IJ有PB=x,BQ=2x

依题意，得：—x•2x=35

2

X2=35

X=V35

所以届秒后aPBQ的面积为35平方厘米.

答：屈秒后aPBQ的面积为35平方厘米.

例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.

解：由勾股定理，得

AB=VAD~+BD~-J4~+2~—A/20=2V5

BC=yjBD2+CD2=VF+F=也

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=275+75+5+2=36+7弋3X2.24+7-13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.

三、巩固练习

教材练习3

四、应用拓展

例3.若最简根式3。巡4a+3b与根式，2。邸—止+6b2是同类二次根式,求a、b的值.（同类二次

根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式

d2ab2-b、6b2不是最简二次根式,因此把,2a/—^+6/化简成Ibl72a-b+6,才由同类二次

根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.

解：首先把根式J2ab2-（+6/化为最简二次根式:

\l2ab2-b^+6b2=j6，(2a-l+6)=lbl•\/2a-b+6

4。+36=2。-6+6

由题意得《

3a-b=2

.2。+46=6

'[3a-b^2

a=l>b=l

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.

六、布置作业

1.习题16.37.

16.3二次根式的加减(3)

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相

除；乘法公式的应用.

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算.

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题：

1.计算

(1)(2x+y),zx(2)(2x2y+3xy2)-rxy

2.计算

(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项式X单项式；(2)单项

式X多项式；(3)多项式+单项式；(4)完全平方公式；(5)平方差公式的运用.

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立.

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次

根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式.

例1.计算：

(1)(V6+V8)XV3(2)(476-372)H-2V2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.

解：(1)(A/6+y/S)X-\/3X^3+V8XV3

=VTs+，24=3V2+2V6

解：(4y/6-35/2)+2V2=4V6~r2V2-3V24-2V2

=243--

2

例2.计算

(1)(V5+6)(3-V5)(2)(VlO+V7)(V10-V7)

分析：刚才己经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.

解：⑴(V5+6)(3-舟

=375-(石)2+18-6石

=13-3V5

(2)(V10+V7)(V10-V7)=(V10)2-(V7)2

=10-7=3

三、巩固练习

课本练习1、2.

四、应用拓展

X—hY一。

例3.已知-上上，其中a、b是实数，且a+bNO,

ab

/.也yjx+l—\[xJx+1+yfx

间不!7耳+耳E7,并求值.

分析：由于(必1+4)(而1-4)=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过

解含有字母系数的一元一次方程得到X的值，代入化简得结果即可.

(—X+1—>/x)"(yjX+1+5/x)~

解:原式二

(Jx+1+Jx+1-y[x)(5/x+1-Vx)(5/x+1+A/X)

(Jx+]—,\/x)~(Jx+1+

=---------------1---------------

(X+1)-X(X+1)-X

=(x+1)+x・21x(x+1)+x+2“(x+1)

=4x+2

x-bx-a

・・•-------=2---------

ah

Ab(x-b)=2ab-a(x-a)

22

bx-b-=2ab-ax+a

(a+b)x=a2+2ab+b2

:.(a+b)x=(a+b)2

〈a+bWO

:.x=a+b

，原式=4x+2=4(a+b)+2

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.

六、布置作业

1.习题16.31、8、9.

17.1勾股定理（一）

一、教学目的

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1.重点：勾股定理的内容及证明。

2.难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生

的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱

国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾

股定理的正确性。

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人"，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类

的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文

明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，

是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角aABC,用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两

段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）

的长是3,长的直角边（股）的长是4,那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角aABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现与52的关系,54122和13?的关系,即32+42=52,52+12=132,那么就有勾二股、弦1

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

五、例习题分析

例1（补充）已知：在aABC中，ZC=90°,NA、ZB.

为a、b、c.

求证：a2+b2=c\

分析:⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸,

不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4SA+S“=S.

4x—ab+（b-a）2=c\化简可证。

2

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

（4）勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学

生的民族自豪感，和爱国情怀.

例2已知：在△ABC中，ZC=90°,

NA、NB、ZC的对边为a、b、c„

求证：a2+b2=c\

分析：左右两边的正方形边长相

个正方形的面积相等。

左边S=4x—ab+c）

2

右边S=（a+b）3

左边和右边面积相等，即

4x—ab+c2=(a+b)2

2

化简可证。

六、课堂练习

1.勾股定理的具体内容是：.

2.如图，直角△ABC的主要性质是：ZC=90°,(用几何语言表示)

⑴两锐角之间的关系：;

⑵若D为斜边中点，则斜边中线;

⑶若NB=30。,则NB的对边和斜边：;

⑷三边之间的关系：。

3.△ABC的三边a、b、c,若满足bLa'd,则=90°;若

满足b'F+a',则NB是角；若满足b'vcZ+a：则NB是

角.

4.根据如图所示，利用面积法证明勾股定理.

七、课后练习

1.已知在ABC中，ZB=90°,a、b、c是△ABC的三边，则

(l)c=。(已知a、b,求c)

(2)a=。(已知।b、c,求a)

(3)b=。(已知a、c,求b)

2.如下表，表中所给的每行的三个数a、b,c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律，写出当a=19

时，b,c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+42=52

5、12、135!+12=132

7、24、2572+24=252

9、40、4192+40=412

19,b、c192+b2=c2

3.在aABC中，ZBAC=120°,AB=AC=1OV3cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点

移动多少秒时，PA与腰垂直。

4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D在CB的延长线上。

求证:(1)AD2-AB=BD-CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

八、参考答案

课堂练习

1.略；

2.⑴NA+NB=90°;(2)CD=-AB;(3)AC=-AB;(4)AC2+BC=AB\

22

3.ZB,钝角，锐角；

+

4.提不：因为S极*;ABCD=SaABESABCE+SAEDA,又因为S械超KOC=—(a+b)\

i=x

SABCE=SAEDA=—ab,SAABE=—c\一(a+b)2—ab+—c\

22222

课后练习

1.(l)c=V/>2—cT；(2)a=V62—c2;(3)b=Vc2+<72

2222]2.-j

a+b=c则b="-，c=-----;当a=19时，b=180,c=18h

c=b+l22

3.5秒或10秒。

4.提示：过A作AE1BC于E。

课后反思：

17.1勾股定理（二）

一、教学目的

1.会用勾股定理进行简单的计算。

2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。

二、重点、难点

1.重点：勾股定理的简单计算。

2.难点：勾股定理的灵活运用。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间

的关系•让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已

知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创

造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。

四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

五、例习题分析

例1（补充）在RtAABC,ZC=90°

⑴已知a=b=5,求c,

⑵已知a=l,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a:b=l:2,c=5,求a。

⑸已知b=15,ZA=30°,求a,c.

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜

边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两

边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学

生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的

转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三c边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情

况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。/\

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。/

⑴求等边△ABC的高。/\

⑵求SAXBCO/*',,

Anb

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要A0

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。欲求高CD,可将其置身于Rt/UDC或RtABDC中,

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=1AB=3cm,则此题可解。

2

六、课堂练习

1.填空题

⑴在Rt^ABC,ZC=90°,a=8,b=15,则c=。

⑵在RtaABC,ZB=90°,a=3,b=4,则c=。

⑶在RtzxABC,ZC=90°,c=10,a:b=3:4,贝1]a=,b=°

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为，

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为.

⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积

为O

2.已知：如图，在aABC中,ZC=60°,AB=4A/3,AC=4,AD是BC边上

的高，求