2023年高考数学二轮复习试题（全国通用）专题10统计案例（独立性检测与回归分析）Word版含解析

专题10统计案例（独立性检测与回归分析）一、一、核心先导二、考点再现二、考点再现【考点1】相关关系与回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.【考点2】线性回归方程（1）最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（2）回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：，其回归方程为，则注意：线性回归直线经过定点．（3）相关系数：．【考点3】回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2).其中eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.【知识拓展】1.求解回归方程的关键是确定回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，应充分利用回归直线过样本中心点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的eq\o(y,\s\up6(^))值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.【考点4】独立性检测(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d则随机变量K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.【知识必备】1.求解回归方程的关键是确定回归系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，应充分利用回归直线过样本中心点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.3.根据回归方程计算的eq\o(y,\s\up6(^))值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.三、三、考点解密题型一:独立性检测例1．（1）、（2023·全国·模拟预测）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩销云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：夜晚天气日落云里走下雨不下雨出现255不出现2545临界值表0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828并计算得到，下列小明对地区天气判断正确的是（）A．夜晚下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为C．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨D．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关【答案】D【分析】根据表中数据,即可对A,B选项判断,根据对立性检验即可判断C,D.【详解】根据表中数据可知,夜晚下雨的概率约为,所以A错.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为,故B错.,对照临界值表可知,有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关,但不能说有99.9%的把握认为夜晚会下雨,故C错,D对.故选:D（2）、（2021·全国·模拟预测）2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新型冠状病毒灭活疫苗已获国家药监局批准附条件上市．在新型冠状病毒疫苗研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对某种新型冠状病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被新型冠状病毒感染未被新型冠状病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，在犯错误的概率最多不超过______的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”．参考公式：，．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.4815.0246.6357.87910.828【答案】0.05##5％【分析】根据题中信息完善2×2列联表，然后结合表中数据计算出，对比临界值即可得出结论.【详解】完善2×2列联表如下：被新型冠状病毒感染未被新型冠状病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100因为，所以在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，可认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防新型冠状病毒感染的效果”．故答案为：0.05.【变式训练1-1】、（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算的结果，认为成立的可能性不足，那么的一个可能取值为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由独立性检验的知识直接判断选项即可.【详解】若成立的可能性不足，则，由选项知：.故选：A.【变式训练1-2】、（2021·山东青岛·一模）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30个．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过______．附：0.050.0250.0100.0013.8415.0246.63510.828【答案】0.025【分析】根据列联表计算，再根据临界值参考数据比较大小即可得出结论．【详解】集中培训分散培训合计一次考过453075一次未考过102030合计5550105，故答案为：0.025．例2、（2023·四川成都·二模（理））某市拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该市在某学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.(1)请将上述列联表补充完整；(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；(3)若在该市男生中随机抽取5人（以频率估计概率），求抽到喜欢游泳的男生人数的数学期望.下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】(1)答案见解析(2)有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关，理由见解析(3)4【分析】（1）根据这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，求出喜欢游泳的学生人数，数据分析得到其他数据，填写列联表；（2）在第一问基础上计算出卡方，与10.282比较后得到相应结论；（3）先求出男生中喜欢游泳的概率，从而得到，计算出期望.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人，其中女生有20人，男生有40人，则不喜欢游泳的有40人，其中女生有30人，列联表补充如下：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）因为所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关（3）易知，样本中有男生50人，喜欢游泳的有40人，故随机抽取一人，抽到喜欢游泳的概率P=0.8，设在该市男生中随机抽取5人，抽到喜欢游泳的男生人数为X，则，故E（X）=5×0.8=4.【变式训练2-1】、（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示．年龄频数30751056030持支持态度2466904218(1)完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度不持支持态度总计(2)以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁以上（含50周岁）的人中随机抽取4人，记X为4人中持支持态度的人数，求X的分布列以及数学期望；(3)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．i1234567第天24812222638使用人数参考数据：，．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：，，．【答案】(1)表格见解析，有(2)分布列见解析，(3)．【分析】（1）由频数分布表直接填写即可；结合公式可判断相关性；（2）由频数分布表可判断支持态度的人数符合，结合二项分布的概率公式可求X的分布列以及数学期望；（3）先求出，再由求出，再由求出，进而求出线性回归方程.【详解】（1）完成列联表如下：年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度60180240不持支持态度303060总计90210300故本次实验中的观测值，故有99.9％的把握认为年龄与所持态度具有相关性；（2）依题意，，故，，，，；故X的分布列为：X01234P故；（3）依题意，，，由得，，所以．故y关于x的线性回归方程是．题型二:线性回归方程的应用例3．（1）、（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下表关系134573040605070y与x的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）A．20B．-10C．10D．-6.5【答案】D【分析】利用线性回归方程，令，求得，再求残差即可.【详解】解：因为y与x的线性回归方程为，当时，，则，所以当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为-6.5，故选：D（2）、（2022·云南省玉溪第一中学高三开学考试）新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：月份代码12345碳酸锂价格（万元/kg）0.50.611.5根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为，根据数据计算出在样本点处的残差为，则表中______．【答案】####【分析】根据残差的定义用观测值减去预测值，列方程求参数a，再根据样本中心在回归方程上求m值.【详解】由题设，，可得.又，，所以，可得.故答案为：【变式训练3-1】、（2022·全国·高三专题练习）已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示，时，预测y值为___________.x1234ye【答案】##【分析】对两边取对数，得令则，利用对称中心点在函数图象上即得，进而确定解析式,求出预测值.【详解】对两边取对数，得令则x1234yez1346代入得故故，当时，故答案为：【变式训练3-2】、（2022·新疆石河子一中高二阶段练习（理））从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：x2023252730z22.4334.6由上表可得经验回归方程，则当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为（）A．B．10C．6D．【答案】D【分析】根据线性回归方程的性质求出，由此可求，【详解】由表格数据知：，，因为数对满足，得，∴，即，∴，∴x＝60时，，故当x＝60时，蝗虫的产卵量y的估计值为，故选：D.例4．（2023·全国·高三专题练习）全国两会召开前夕，许多人大代表关心雾霾治理，倡导绿色发展，击碎十面“霾伏”.通过不懈努力，近两年某市空气质量逐步改善，居民享受着在藏天白云下出行和锻炼.PM2.5的值是表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高空气污染就越严重，如表是某人朋友圈内室外锻炼的人数与PM2.5值的一组数据.PM2.5的值x110100806050室外锻炼人数y（人）9095100105110(1)请用相关系数r（精确到0.01）说明y与x之间具有线性相关关系；(2)若室外锻炼人数与PM2.5的值存在线性关系，请根据上表提供的数据，当PM2.5的值为40时，估计室外锻炼人数（四舍五入）；(3)将表格中的x与y数据看作五个点的坐标（x，y），从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆（x﹣80）2+（y﹣90）2＝100外的概率.参考公式：，，参考数据：，，，5.10，15.81.【答案】(1)说明见解析(2)112(3)【分析】（1）由题意，利用相关系数计算公式，利用给定数据，可得答案；（2）利用回归直线方程系数的计算公式，可得答案；（3）根据古典概型的概率计算公式，根据圆的性质以及组合数的计算，可得答案.【详解】（1）（110+100+80+60+50）＝80，（90+95+100+105+110）＝100，.∴y与x之间具有较强的负线性相关关系.（2），，∴y与x的线性回归方程为：y＝﹣0.31x+124.8.当x＝40时，y＝﹣0.31×40+124.8≈112.当PM2.5的值为40时，室外锻炼人数估计为112人.（3）5个点中，只有点（80，100）在圆上，其余4点都在圆外，∴这五个点中任意抽取两个点，两个点都在圆外的概率为P.【变式训练4-1】、（2022·全国·高二课时练习）有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额的10年数据，如表所示．第n年12345678910居民年收入（亿元）32.231.132.935.837.138394344.646A商品销售额（万元）25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0画出散点图，判断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同．参考数据：，，，，．【答案】答案见解析【分析】根据表中数据画出散点图即可，再根据参考数据以及相关系数的公式求值即可.【详解】画出散点图如下．从散点图看，A商品销售额与居民年收入的样本数据呈现线性相关关系．．可以推断居民年收入与A商品销售额正相关，即居民年收入越高，A商品销售额也越大．题型三:回归方程的应用（曲线型）例5．（2022·全国·高三专题练习）为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：天数123456繁殖个数612254995190(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．3.5062.833.5317.50596.5712.09（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有线性关系（即为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】(1)选择为回归方程较宜(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）【分析】(1)根据散点图趋势选择；(2)将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，结合所给数据求解.【详解】（1）作出散点图如图所示．由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线的周围，故选择为回归方程较宜．（2）（i）证明：由已知：令，则，则，，即．所以繁殖个数的对数关于天数具有线性关系．（ii）由（i）知繁殖个数的对数关于天数可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，，，得到关于的线性回归方程为，又，因此细菌的繁殖个数关于天数的非线性回归方程为．【变式训练5-1】、（2023·全国·高三专题练习）多年来，清华大学电子工程系黄翔东教授团队致力于光谱成像芯片的研究，2022年6月研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越，为制定下一年的研发投入计划，该研发团队为需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量x，和年销售额，的数据（，2，，12），该团队建立了两个函数模型：①②，其中均为常数，e为自然对数的底数，经对历史数据的初步处理，得到散点图如图，令，计算得如下数据：206677020014460312500021500(1)设和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；②参考数据：.【答案】(1)模型的拟合程度更好(2)（i）（ii）预测下一年的研发资金投入量是亿元【分析】（1）由题意计算相关系数,比较它们的大小即可判断；（2）（i）先建立关于的的线性回归方程,再转化为y关于的回归方程；(2)利用回归方程计算时x的值即可.【详解】（1）由题意进行数据分析：则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好（2）（i）先建立关于的线性回归方程.由，得，即.由于所以关于的线性回归方程为，所以，则.（ii）下一年销售额需达到80亿元，即，代入得，，又所以，解得，所以预测下一年的研发资金投入量是亿元四、四、分层训练A组基础巩固1．（2010·吉林·模拟预测（理））某医疗研究所为了检查新研发的疫苗对某种病毒的预防作用，把1000只已注射疫苗的小白鼠与另外1000只未注射疫苗的小白鼠的感染记录作比较，提出原假设：“这种疫苗不能起到预防该病毒传染的作用.”并计算得，则下列说法正确的是（）A．这种疫苗对预防该病毒传染的有效率为1%B．若某人未使用疫苗，则他有99%的可能性传染该病毒C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防该病毒传染的作用”【答案】C【分析】由已知，根据题意给的卡方值，应用独立性检验的基本思想可以得到结论.【详解】由已知，，说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到防范病毒的作用不合理的程度约为99%，所以有99%的把握认为这种疫苗能起到预防病毒的作用.故选：C.2．（2022·全国·模拟预测）某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有的男生选择“立定跳远”，有的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占，则参照附表，下列结论正确的是（）附：0.100.050.0252.7063.8415.024，n＝a＋b＋c＋d．A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关C．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关【答案】C【分析】本题利用独立性检验列表分别求出男生和女生人数后，利用相关系系数的计算公式求解即可逐项判断【详解】解：由题意得：设该校男生人数为x，女生人数为y，则可得如下表格：立定跳远坐位体前屈总计男生x女生y总计x＋y由题意知，即，又x＋y＝700，解得则，所以有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关.故选C．3．（2022·四川成都·三模（理））在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：女男总计要查看营养说明152540不查看营养说明201030总计353570附：，其中．0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）．A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系【答案】C【分析】由题可得，进而即得.【详解】由题可得，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系.故选：C.4．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向全体学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制成等高条形图（如图所示），则下列说法正确的是（）0.050.013.8416.635参考公式：，．A．参与调查的学生中喜欢攀岩的女生人数比喜欢攀岩的男生人数多B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C．若参与调查的男、女生人数均为100人，则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关D．无论参与调查的男、女生人数为多少，都能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关【答案】C【分析】A选项，根据男生女生参加调查人数相同和喜欢攀岩的人数比例，得到喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生多；B选项，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，从而作出判断；C选项，列出列联表，计算卡方，与6.635比较大小得到结论；D选项，如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算，故D选项错误.【详解】对于选项A：因为参加调查的男、女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A错误；对于选项B：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B错误；对于选项C：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：喜欢不喜欢合计男8020100女3070100合计11090200所以，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关，C正确；对于选项D：如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算，D错误．故选：C．5．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如下数据：（附：计算得到的观测值为.）喜欢音乐不喜欢音乐喜欢体育2010不喜欢体育5150.050.0250.100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（）A．估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占B．从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为C．从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系【答案】C【分析】根据古典概率公式即可判断AB，根据对立事件定义可判断C，由独立性检验定义可判断D．【详解】对A选项，估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占，正确；对B选项，每个个体被抽到的概率为，正确；对C选项，“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人喜欢音乐”为对立事件，则C错；对D选项，由，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系，故D正确．故选：C6．（2022·上海市奉贤中学高二期末）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，6810126m32则下列说法中错误的有（）A．变量之间呈现负相关关系B．变量之间的相关系数C．的值为5D．该回归直线必过点【答案】B【分析】根据线性回归方程的系数，可判断A；计算，，代入线性回归方程可求得m的值，判断C；利用相关系数公式求得相关系数，判断B;根据线性回归方程必过样本中心点，可判断D.【详解】对于A∶根据线性回归方程为,可知回归系数，故判断之间呈现负相关关系，A正确；对于C，根据表中数据，计算，，代入回归方程得，解得，C正确；对于B︰变量之间的相关系数，B错误；对于D∶由以上分析知，线性回归方程一定过点，∴线性回归方程过点，D正确，故选：B．7．（2022·全国·高二课时练习）下面各图中，散点图与相关系数r不符合的有（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据散点图和相关系数的知识确定正确选项.【详解】对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以相关系数r＝－1，A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以相关系数r＝1，B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以相关系数，C正确；对于D，散点图中，x，y之间的相关关系非常不明显，所以相关系数r＝0，D正确.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）甲､乙､丙､丁四位同学各自对两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数，如下表：甲乙丙丁则试验结果中两变量有更强线性相关性的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性．故选：B．9．（2022·全国·高三专题练习）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了6组观测数据，y（单位：个）与温度x（单位：℃）得到样本数据（，2，3，4，5，6），令，并将绘制成如图所示的散点图.若用方程对y与x的关系进行拟合，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【分析】令，可得z与x的回归方程为，根据散点图，可得z与x正相关，所以，根据纵截距大于0，可得a的范围，即可得答案.【详解】因为，令，则z与x的回归方程为.根据散点图可知z与x正相关，所以.由回归直线图象可知：回归直线的纵截距大于0，即，所以，故选：A.10．（2022·河南南阳·高二期末（文））2022年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了1至5月份5G手机的实际销量，如下表所示：月份x1月2月3月4月5月销售量y（千只）0.50.61.01.41.7若y与x线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）A．由题中数据可知，变量x和y正相关，且相关系数一定小于1B．由题中数据可知，6月份该商场5G手机的实际销量为2（千只）C．若不考虑本题中的数据，回归直线可能不过，，…，中的任一个点D．回归直线一定过点【答案】B【分析】根据回归方程的性质逐个判断即可【详解】对A，根据表格数据可得，变量x和y正相关，又y每个月的增量不均匀，故x和y不完全满足线性关系，故相关系数一定小于1，故A正确；对B，6月份该商场5G手机的实际销量未知，只能估计，故B错误；对C，不考虑本题中的数据，回归直线是由最小二乘法得出，可能不过，，…，中的任一个点，故C正确；对D，根据回归直线的计算方法可知，回归直线一定过点，故D正确；故选：B11．（2020·安徽蚌埠·三模（文））某企业为了调查其产品在国内和国际市场的发展情况，随机抽取国内、国外各100名客户代表，了解他们对该企业产品的发展前景所持的态度，得到如图所示的等高条形图，则________（填“能”或“不能”）有以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.附.0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828【答案】能【分析】根据条形图得出列联表，计算卡方，结合附表进行判断.【详解】由题意可得列联表如下：不乐观乐观合计国内代表4060100国外代表6040100合计100100200则，所以有以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关.故答案为：能.【点睛】本题主要考查独立性检验，根据题意列出列联表，计算卡方是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.12．（2022·全国·高二课时练习）年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近个月来手机的实际销量，如下表所示：月份年月年月年月年月年月月份编号销量/千部若与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法：①；②与正相关；③与的相关系数为负数；④月份该手机商城的手机销量约为万部．其中正确的是________．（把正确的序号填在横线上）【答案】①②【分析】将月份编号的平均数代入线性回归方程，则可计算出销量的平均数，利用总销量可得值；由回归方程中的的系数为正可知，与正相关；将代入，可得7月份该手机商城的手机销量．【详解】由表中数据，计算得，∴，于是得，解得，则①正确，由回归方程中的的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，则②正确，③错误，月份时，，（万部），则④错误，故答案为：①②13．（2023·上海·高三专题练习）已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：468102356由上表可得线性回归方程，则______．【答案】##【分析】根据表格数据求，代入回归方程求参数a，结合得，由方程的形式可知，即可求c.【详解】由表格数据知：.由，得，则.∴，由，得，∴，即.故答案为：.14．（2022·山西·运城市景胜中学高二期中）某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表：使用年数x（单位：年）23456维修总费用y（单位：万元）1.54.55.56.57.5根据上表可得经验回归方程为.现有一对测量数据，则该数据的残差为______万元.【答案】【分析】根据回归直线经过样本点的中心，先求出，在根据残差的定义求解.【详解】由表格，得，，因为回归直线方程为，所以，则，即，时，，∴残差为.故答案为：.15．（2022·河北·模拟预测（理））人工智能教育是将人工智能与传统教育相融合，借助人工智能和大数据技术打造一个智能化教育生态，通过线上和线下结合的学习方式，让学生享受到个性化教育．为了解某公司人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到该公司2017年一2021年人工智能教育市场规模统计表，如表所示，用表示年份代码年用1表示，2018年用2表示，依次类推），用表示市场规模（单位：百万元）．123454556646872(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)该公司为了了解社会人员对人工智能教育的满意程度，调研了200名参加过人工智能教育的人员，得到数据如表：满意不满意总计男90110女30总计150完成列联表，并判断是否有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关？附1：线性回归方程：，其中，；附2：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)(2)列联表见详解，有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关【分析】（1）利用公式求出，，即可得出结论；（2）求得，与观测值比较，即可得出结论．【详解】（1）由题意得，，，，，，，所以关于的线性回归方程为．（2）由题意得如下列联表：满意不满意总计男9020110女603090总计15050200，所以有的把握认为社会人员的满意程度与性别有关．16．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））随着人脸识别技术的发展，“刷脸支付”成为了一种便捷的支付方式，但是这种支付方式也带来了一些安全性问题．为了调查不同年龄层的人对“刷脸支付”所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示：年龄频数30751056030持支持态度2466904218(1)完成下列列联表，并判断是否有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性；年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度不持支持态度总计(2)已知某地区“万嘉”连锁超市在安装了“刷脸支付”仪器后，使用“刷脸支付”的人数y与第x天之间的关系统计如下表所示，且数据的散点图呈现出很强的线性相关的特征，请根据表中的数据用最小二乘法求y与x的回归直线方程．i1234567第天24812222638使用人数19324044525354参考数据：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参考公式：，，．【答案】(1)有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性，理由见解析(2)【分析】（1）将列联表补充完整，求出卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先计算出，，代入公式计算出，，得到线性回归方程.【详解】（1）列联表如下：年龄在50周岁以上（含50周岁）年龄在50周岁以下总计持支持态度60180240不持支持态度303060总计90210300则，故有99.9%的把握认为年龄与所持态度具有相关性；（2）由题意，，，又，，所以，所以，故y与x的回归直线方程为.17．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．不受影响受影响合计A区B区合计(1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：【答案】(1)0.86；(2)2×2列联表见解析，没有95%的把握.【分析】（1）根据茎叶图中数据及中位数的概念直接计算得解；（2）由茎叶图判定不受影响、受影响的企业数，据此列出2×2列联表，计算得出结论.【详解】（1）A区供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为，所以所求中位数为；（2）2×2列联表：不受影响受影响合计区7310区4610合计11920没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.B组能力提升18．（2022·全国·高三专题练习）某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高（）60708090100110120130140150160170平均体重（）6.137.91012.21517.520.926.931.138.647.355.1表格中的数据形成图所示的散点图．则在以下函数模型中，描述这个地区未成年男性平均体重y（单位：）与身高x（单位：）的函数关系最合适的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据散点图及函数图象可排除AC，再由特殊值可排除D，即可求解.【详解】根据所给散点图，结合一次函数、对数函数的图象可知，选项AC不符合；取时，由可得，当时由可得，与实际值差距很大，故不适合，故D不符合；故选：B19．（2023·全国·高三专题练习）如图是一组实验数据的散点图，拟合方程，令，则关于的回归直线过点，，则当时，的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先令可得，由关于的回归直线过点，可得从而求得，再由的范围求得的范围，进而求得的范围.【详解】根据题意可得，由关于的回归直线过点，可得：，所以，所以，由可得，所以，所以，所以，故选：D20．（2022·江苏省苏州实验中学高二期中）2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法错误的是（）A．B．变量x，y线性负相关且相关性较强C．相应于点（9.5，10）的残差约为-0.4D．当x=8时，y的估计值为14.4【答案】C【分析】A由样本中心在回归方程上求参数；B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；C利用残差的定义求残差；D将8代入回归方程求估计值.【详解】由表格知：，，所以，可得，A正确；由相关系数且回归方程斜率为负，则变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；由，故残差为，C错误；由，D正确；故选：C21．（2022·河南洛阳·高二期中（文））某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下关系：x24568y3040705060已知y与x的线性回归方程为，则当广告支出费用为5万元时，残差为（）A．40B．30C．20D．10【答案】C【分析】根据回归方程求出时的值，即可求出残差.【详解】当时，，所以残差为.故选：C.22．（2022·甘肃·临洮县文峰中学高二期中（文））下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额（单位：万元）的折线图．根据该折线图判断，下列结论正确的是（）A．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B．为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C．投资额与年份负相关D．投资额与年份的相关系数【答案】B【分析】根据折线图数据变化趋势，结合回归分析思想即可逐项判断.【详解】因2009年之前与2010年之后投资额变化较大，故为预测该地2022年的环境保护建设投资额，应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠，所以A错误，B正确；随年份的增长，投资额总体上在增长，所以投资额与年份正相关，，故CD错误．故选：B．23．（2021·河北·模拟预测）有两个分类变量和，其中一组观测值为如下的2×2列联表：总计1550总计204565其中，均为大于5的整数，则__________时，在犯错误的概率不超过的前提下为“和之间有关系”.附：【答案】9【分析】由题意，计算，列出不等式求出的取值范围，再根据题意求得的值.【详解】解：由题意知：,则，解得：或，因为：且，，综上得：，，所以：.故答案为：9.24．（2022·浙江绍兴·一模）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.(1)求的值，并估计该校学生分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；(3)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，请判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？（参考公式：，其中）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)，平均数为(2)分布列见解析，(3)有【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出，再利用中间值做代表求出样本平均数；（2）先根据分层抽样得到从中抽取7人，中抽取3人，再得到随机变量的可能值及相应的概率，得到分布列及数学期望；（3）利用公式求出卡方，并与5.024比较后得到结论.【详解】（1）由题意知，解得，样本平均数为.（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.（，1，2，3），所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望.（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的25人，其中女生10人；得出以下列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生152540女生105060合计2575100，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关.25．（2022·全国·模拟预测）教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．时间5月22~5月31日6月1~6月10日6月11~6月20日6月21~6月30日7月1~7月10日7月11~7月20日7月21~7月30日时间代码x1234567销量y/千件9.49.69.910.110.611.111.4(1)从这7次统计数据中随机抽取2次，求这2次的销量之和超过21千件的概率．(2)根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数，．【答案】(1)(2)有，【分析】（1）计算从7种中任取两种的方法总数，再列举合题意的取法，计算所求概率；（2）根据表中数据，计算相关系数r，根据是否接近1，判断变量线性相关性强弱，利用回归方程公式求回归方程.【详解】（1）从7次统计数据中任意选取2次有种选法，其中满足条件的有，，，，，，共6种，所以所求概率．（2）由表格数据，得，，所以，，，所以相关系数．因为相关系数，接近1，所以y与x具有线性相关关系，且正相关性很强．因为，所以，所以y关于x的线性回归方程为．26．（2022·全国·高三专题练习）国庆期间，某市文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应.下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格（单位：元）与购买人数（单位：万人）的数据如下表：旅游类别城市展馆科技游乡村特色游红色景点游登山套票游园套票观海套票套票价格（元）394958677786购买数量（万人）16.718.720.622.524.125.6在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中，.根据所给数据，求关于的回归方程；附：①可能用到的数据：，，，.②对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为，.【答案】【分析】根据已知条件所给的数据，散点在直线附近，则利用所给数据和公式代入即可.【详解】因为散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为，由，，则，，所以变量关于的回归方程为，因为，，所以，故，综上，关于的回归方程为；27．（2022·全国·高三专题练习）根据中国海洋生态环境状况公报，从2017年到2021年全国直排海污染物中各年份的氨氮总量（单位：千吨）与年份的散点图如下：记年份代码为，，对数据处理后得：60.51.52107617(1)根据散点图判断，模型①与模型②哪一个适宜作为关于的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程，并预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量（计算结果精确到整数）.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】(1)模型②适宜作为关于的回归方程.(2)关于的回归方程为，预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨【分析】（1）可根据散点图判断出非线性回归方程模型.（2）根据表中数据和参考数据代入公式求出回归方程，并可预测2022年全国直排海污染物中的氨氮总量.【详解】（1）根据散点图的趋势，可知模型②适宜作为关于的回归方程．（2），.故关于的回归方程为，即关于的回归方程为，2022年对应的年份代码为，，故预计2022年全国直排海污染物中的氨氮总量为3吨．28．（2022·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x/℃21232527293133平均产卵数y/个7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，（计算结果精确到0.01）(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，假设该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p．若当时，该地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率最大，求的值．参考数据52151771371781.33.6附：回归方程，，．【答案】(1)适宜作为卵数关于温度的回归方程类型，关于的回归方程为；(2)当时，.【分析】（1）根据散点图判断更适宜作为关于的回归方程类型；对两边取自然对数，求出回归方程，再化为关于的回归方程；（2）由对其求导数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的值.【详解】（1）解：由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.对两边取自然对数，得，令，，，则，由数据得，，，所以，，所以关于的线性回归方程为，则关于的回归方程为；（2）由得，因为，令得，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，.29．（2022·全国·高三专题练习）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代码x12345678保有量y/千辆1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70参考数据：，，其中(1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程：(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同.若2021年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2026年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.参考公式：对于一组数据，v1），），…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；【答案】(1)作图见解析，选择的函数模型是，；(2)2028年.【分析】（1）根据题中所给公式，结合对数函数的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质，结合对数运算性质进行求解即可.（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是，令，则因为，所以，，，所以；（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，），解得，设从2021年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，则有x，设从2021年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有，所以，解得，故从2021年底起经过7年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.30．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）某网络电视剧已开播一段时间，其每日播放量有如下统计表：开播天数x（单位：天）12345当天播放量y（单位：百万次）335910(1)请用线性回归模型拟合y与x的关系，并用相关系数加以说明；(2)假设开播后的两周内（除前5天），当天播放量y与开播天数x服从（1）中的线性关系.若每百万播放量可为制作方带来0.7万元的收益，且每开播一天需支出1万元的广告费，估计制作方在该剧开播两周内获得的利润.参考公式：，，.参考数据：xiyi＝110，＝55，＝224，≈10.5.注：①一般地，相关系数r的绝对值在0.95以上（含0.95）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.②利润＝收益－广告费.【答案】(1)线性回归方程为，每日的播放量和开播天数线性相关性较强；(2)133万元.【分析】（1）利用最小二乘法原理求出线性回归方程，再利用相关系数判断相关性的强弱；（2）利用利润公式直接求解.【详解】（1）解：由题得.所以.所以.所以线性回归方程为.相关系数，所以每日的播放量和开播天数线性相关性较强.（2）解：设利润为，则所以估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为万元..答：估计制作方在该剧开播两周内获得的利润为万元..C组真题实战练31．（2011·湖南·高考真题（文））通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828参照附表，得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】A【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A32．（2011·陕西·高考真题（理））设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是A．直线l过点B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同【答案】A【详解】试题分析：回归直线一定过这组数据的样本中心点，两个变量的相关系数不是直线的斜率，两个变量的相关系数的绝对值是小于1的，是在﹣1与1之间，所有的样本点集中在回归直线附近，没有特殊的限制．解：回归直线一定过这组数据的样本中心点，故A正确，两个变量的相关系数不是直线的斜率，而是需要用公式做出，故B不正确，两个变量的相关系数可能为负，故C不正确，所有的样本点集中在回归直线附近，不一定两侧一样多，故D不正确，故选A．点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点的性质，考查相关系数的做法，考查样本点的分布特点，是一个基础题．33．（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：；（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)；【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.【详解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）(i)因为，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以34．（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,乙机床生产的产品中的一级品的频率为.（2）,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.35．（2022·全国·高考真题（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为（2）则（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为36．（2020·海南·高考真题）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计641680101020合计7426100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.37．（2020·全国·高考真题（理））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的