考研数学线性代数基础23课时2018线代讲义

第一章行列 行列式的概念及性 特殊形式的行列式计 行列式按行（列）展 克拉默法 第二章矩阵及其运 矩 矩阵的运 伴随矩 逆矩 矩阵的初等变 2.5矩阵的 2.7分块矩 第三章n维向量与向量空 n维向量的概念及其运 线性组合与线性表 向量组的线性相关与线性无 向量组的秩与矩阵的 向量空间、子空间与基、维数、坐 规范正交基与Sidt正交 第四章线性方程 线性方程组的表示形式和解向 方程组解的判 基础解系的概念及其求 线性方程组解的结 公共解与同 第五章矩阵的特征值与特征向 矩阵的特征值与特征向 相似矩阵的概念与性 矩阵的相似对角 实对称矩 第六章二次 二次型及其标准 合同矩 正定二次型与正定矩 第一章行列式1排列与逆n个数1,2,"n所构成的一个有序数组，通常用j1j2"jnn阶排列，显然有n!n级排列。和称为这个排列的逆序数，记做W(i1,i2,)。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列以32415.对将一个排列中的某两个数的位置互换而其余的数不动，这一变换即为一次对换【例1】求下列排列的逆序（2）n(n)"12.n

是所有取各自不不同列的n个元素的乘a1j1a2j2"n的代数和j1j2jn是1,2"n的一个排列j1j2jn是偶排列时，上式带有正号；当j1j2"jn是奇排列时，上式带有负号，也就是可写成

(1)W(jj"j)a " j12

12n1j12 an2 n简记为det(aijaijn【例2】利用定义计算下列行列式

j12"

表示对所有n级排列求和。行列式D通常 D

a2n 3行列式与它的转置行列式相等， DT任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号注：行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行即 kai kain k ai ain 注：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以得到行列式几号行列式中如果两行（列）元素成比例，则此行列式等于零行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行式之和 a12 #########b1b2" ""######### an2 an2 （行的各元素乘以同一数然后加到另一列（行对应的元素上去，行列式不变。即##"####"##ai"ai"########a a a an

a kai aj 3】如果

a23， 2a23，则

（B）- （D）- 【例4】计算 0abaa0abaa0ab0a【例5】计算 特殊形式的行列式计一般n阶下三角行列式

aa 类似地，上三角行列式的值也成立同样的结论

11

a2

aa

11 关于副对角线，计

a11 a1,n "

n(n"a "

2,n

(1)

1n2,n 对角行列

" "

OO 0"00"O0"00"O0###"00

n(n OO两种特殊的 斯展开

1 n

(1)mnA 阶范德蒙德（Vaene）行列11"1"

(x–x n≥i!"xn xn xn" ”表示全体同类因子的乘积。即n阶范德蒙德行列式等于x1,x2",xn这n个 xj(1≤j i≤n).的乘积. 【例6】计算 【例7】计算

3n 行列式按行（列）展"a1"a1""#"## 中划去元素a所在的第ij列，剩下的(n1)2个元素按原来的排法构成一个n1阶行称为元素aij的式，

a1,j a1,j ####ai ai1,jai1,j1aiai1,1ai1,jai1,j1ai#### an,jan,j (1)ij称为元素aij的代数式注：只改变aij所在行或者列中的值，并不影响其代 式Aij，并且有关 °M ®M

当ij为偶数时当 j为奇数¯行列式按行（或列）行列式等于它的任一行（或列）的各个元素与其对应的代 式乘积之和，#

#ai2

""##"##a"ai1Ai1ai2Ai2"ainAin，i1,2,"",n #

a1 a2

a1

a2

j1,2,"",行列式中的某一行（或列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数式乘积之和ai1Aj1ai2Aj "ain 0,izj或【例8】

a1iA1ja2iA2j"ani 0,izj 1中代 式A12=-1，则A21 3040222203040222207005322①求第4行各元素代数式之和②求第4行各元素式之和 1.4克拉1.4克拉默法如果线性方程a12"a1na"a®#¯an2"ann的系数行列式不等于零，°

2n #

a2nz 那么，方程组

Dj

,,",其中注

D

a1j a2j anj

a1j a2j anj

如果线性方程组的系数行列式Dz0，则方程组一定有解，且解是如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零a12 a1n0a22 a2n0° °¯an1x1an2 ann 0【例10】如果齐次线性方程O 0,有非零解，试求O°° ¯ 【例11】易知其次线性方程­3O O 有非零解，求O的值 1O ¯ 【例12】解下列线性方程­ a a an 1 1 ° a an ® 2 2 a

"2"""na " ¯ n n 其中aizajizj,i, 1,,",n 第二章矩阵及其运算矩矩阵及其相关矩由m×n个数 （i=1,2,…,m，j=1,2,…,n排成m行n列的数ª a1n« a« 2n« # ¬ m mn称为m行n列矩阵，简称为mun矩阵，简记为A，也记为Amun或(aij)mun。若m=n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵。当m 1时，即A a11，此时矩阵为一个数a11。

a2 am 当矩阵元素 全为实数时，此矩阵称为实矩阵 a2"an)称为行矩阵，又称行向量；同理，只有一列的阵称为列矩阵，又称列向量同型矩 如果m=s，n=t则称A与B是同型矩阵 零矩所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做Ｏ矩阵相A{aij}mun和B{bij}mun ,",m; ,",n,则称矩ABA b b

a2 AA注：矩阵的行列式与矩阵是两个不同的概念，前者是一个数，后者是一个数表单位矩主对角线上元素1，其余元素均0n阶方阵n阶单位矩阵，记作ＥＥｎ（n阶«1

» »转置矩

# ªa«a设 «

a1n

am1 2是将A的行和列对应互换得« # « #«

¬ m mn ¬ mn的num矩阵，称它A的转置矩阵，记AT对称矩如果 A，即 i,j)，则A是对称矩 称矩如果 A，即 i,j)，则A是称矩阵 B,OA也是（反）对称矩阵，但不一定是（反）对称伴随矩设A{aij}是n阶方阵，由行列式|A|中的每个元素aij的代数式Aij所构成的矩 ªA11A21

«An1« A « n2« # ¬ nn 称之为矩A的伴随矩阵。记A注意：伴随矩阵A*在位置(i,j)上的元素是矩阵A在位置(j,i)上的代数式对角矩An阶矩阵，如aij0(izj，则称其为对角矩阵，记为注：同阶的对角矩阵的和、差、积仍是对逆矩A是n阶矩阵，若存在矩阵B，使AB=BA=EA是可逆矩阵，并称矩阵BA的逆矩阵；A的逆矩阵唯一A1正交矩设A是n阶矩阵，如AAT=ATA=E,则称A是正交矩阵。注：A是正交矩阵等价于A1 AT.矩阵的运矩阵的加定设 {aij}和 {bij}是mun的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A+B，定为ª a1nb1n« b {c A+ « 2 2n ¬ m m mn注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运 ( 矩阵减 {aij}， {aij}，A称为矩阵A的负矩阵，显然有A( 由此规定矩阵 A( ª a1nb1n« b ( « «

2n#»#»定

¬ m m mn数O与矩阵 ，ª Oa1nOAOO(a(OaOAOO(a(Oa«2nij«##%#¬¬

Oam

(OP) (OP) （iii）O( （iii）O( 1ª321【例１】设 2» «121«»«»«¬13410

，且(2 X X 0X矩阵与矩阵相定设A {aij}是一个mus矩阵，B {bij}是一个sun矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积为一个mun的矩阵C {cij}mun，其中s ai1b1 ai2b2 ais ¦aikk( 1,2,"m; 1,2,"n)并把此乘积记

C=AB的行数AB的列数C=AB在ijAiBj列对应元素的矩阵的A是n阶矩阵，定义 A, Ak A(Ak) E.由于乘法成立分配律结合律，矩阵相乘的注意事

Ak AkAl，(Ak 称A与B是可交换的；不可将关于数的代数恒等式或命题等价到矩阵相乘，例如，设A，B，Cn阶方阵，(A BAB2z 2 B2；( (AB)(AB)zA2B2(AB)kzAkBk（k为自然数；( B)z O不是一定有 O或 O；若AzO，而A( Y O，不能得 ( O OAB)（其中O为数 AC， BA

【例2】设

»,

»ABBA

3 0 a12 0 0a【例3】设 a», , « 0»aa¬2a¬2«0c¬32¬3

« 22 « b 矩阵转置的运(AT A( BT OAT),O是常数( BT(AT ,【例4（2002）设D(1,2,1)T， ,2

DET，则 方阵的行列式的运算规 On A 【例5】已知A,B均为n阶方阵，则必 （A）( 2 （B）( AT（C） 0时， 0或 （D） 0或 【例6】计算

»»O3 【例7】设 »，求A 【例8】设 »，则A2 ，A3 0»«¬1 伴随矩阵定

§ A21 ¨ A设A是n阶矩阵，则 ¨ n2¸¨ ¸ 伴随矩阵的性

© nnAn阶方阵，A*A A*A|A| |A|n1;ntA* An2A* AT*­n,若r( r(

°若r( n¯°0,若r(A)n¯若A可逆，则A* 1A,A* A1*, AAA kn1( B* 【例9】设 »，矩阵B满足： E,则 1：：逆矩逆矩阵的定A是n阶矩阵，若存在矩阵B，使AB=BA=EA是可逆矩阵，并称矩阵BA的逆矩阵；A的逆矩阵唯一A1【例10（2001）设n阶矩阵A满足 A 0，则(AE) 逆矩阵的相关AAz0Az0AA

11A 逆矩阵的运算若A可逆，则A1亦可逆，并且(A1) A若A可逆，Oz0，则OA亦可逆，并且(OA) 1A1O|A1 1|AA、BAB亦可逆，且AB1B1A1。推广AAA)1A-1A-1A1A11 A可逆，则AT亦可逆，且AT)1A1)T若A可逆，则|A1 |A

，An A1（因为|A||A1||AA1||E|1：：矩阵可逆的充n阶方阵A可 Az0 "s齐次方程组Ax=0只有零解逆矩阵的求定义若AB=BA=E，则A 1A A*AA的伴随矩阵1A行(A#E)o"（E#AªBOº OºªOBº ª C1«C1«C«BO¬¼¬¼¬¼¬¼§2¨【例11】设A¨ ¸，求A1¨1 ¨ 矩阵的初等变下面三种变换称为矩阵的初等变互换矩阵中两行（列）元素（记rimo 或cimocjk乘矩阵的某一行（列kuri或kuci kurj或 ucj行阶梯形矩阵与行最简 «

4»将

4»进行初等变换，得到 «

3 «

– »

«0«

»

0矩阵 称为行阶梯形矩阵，具有以下特点零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方各非零行左起第一个非零元素的列指标由上至下是严格矩阵 也称为行最简形矩阵，具有以下特点每个非零行左数第一个非零元是1，并且它所在列的其它元素都是0初等矩阵的概定初等矩阵。 % % m第i««01««01"00»»E(i,«««#0#0#1#0»»。«10"00mj» ¬1¬¼ º«»E 1km第i行,kz0««1»»« % % E E

kc

mi, m第j «

性质 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵E-1(i, E(i,j)；E-1

E(i())；E kr krk性质2初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵

ET(i,j)E(i,j)；ET E(i(k))；Ekrijji例如

E

~

«« «¬0

0»0»

1«1

3PAA»

§13E

110,

001A P

¸ ¨00 ¨0 P1 （C）P

PP2 2定 0矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B则称矩阵A与B等价记作A#B若A# »0 A的等价标准形，其中Err阶单位矩阵，rAA~B，B~CA~CA A是munmP，nQ PAQ= 2.5非零子式的最高 1 【例13（2001）设矩阵A ¸，r( 3，则 ¨ 1 A为mun阶矩阵，则r(A)dmin^mr( B)dr( r(B)r(AB)dmin^r(A),r(B)` r( r(AC)r( r(AT r(AT r(AAT)设A是mun阶矩阵，B是nus阶矩阵， O，则r( r(B)dn【例14（2010）设A是mun阶矩阵，B是num阶矩阵， E，r( r( r( n, r( n, 2.7定矩阵分块是将矩阵用任意的横线和纵线切 a14A A « 24 a34 a14 a aa a

a»；令 A，A

14，

a@« 24 a a a ¬ 22 ¬ 24Aº¬ 34Aº

ª12 A¬ 22 a14 ªa aa a

a»；令 A，A

13« 24 «a a a ¬21 ¬ 23¬ 34 ªa14º a@ a@ >@ «a AªA则

A¬ 23，a，a a14 ，a，aaA a

»。令 « «A« 24

«¬a31a32 ªa14º

« « a23， a24，则A « ««

«

关于分块矩阵的运算法ª A2º B2ºªA1 A2B2

»+

» B¬ 4¼¬ 4¼¬ 4ªA YºªAX AY(ii) »¬CD¼¬ZW¼

ªAT«CT

«B

CT ªB O » nO ªB ªB OºªO ª B«O « C1»,«C «B ¼ 15（2009）A，B2

C1O¼2,

*§ A·* 3，则 第三章nn维向量的概念及其运1.n维向量的（1）nn（实a1a2,"an组成的有序数组，称n（实向量（用希腊字母α， (a1,a2,"an)，其中第i个数ai称为向量α的（第i个）分量§a1¨ ¨a2¨#¨©an为n维列向量。那么n维行向量就是 (a1,a2"an)，显然它们可以分别看成nu1的零向所有分量都为零的向量。一般记作02.n维向量的设 (a,a,a)T， (b,b,"b （1）负向量：称向量(a1a2a)Tn为向量D的负αβ1b, b,2nb)T为向量DEn向量减法：γα α(β)=(a1–b,a–b"a–b)T为D和(E)的加法1 n

kα (ka1,ka2,a

)T为向量D和数k1122向量内积：α, a a1122

αT βT向量相等：两向量大小相等，方向相同称为两向量相等题。特别的，若α, 0，则称α,β正交 长度定义：||α (α, αT a2 正交定义：(α,β)αT βT a a "a 01 2 n A AT |A|1β1=(1,a,0),β2(12b，求,a,bβ1β202】3(α1α)2(α2α)5(α3α)α ª4 « « «», «», «» «1» «5» «« « « ¬1若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量线性组AD1、D2"、Dmk1k2km量k1D1k2D2 设有向量组A：D1、D2"、Dm和向量E是同维向量，如果存在实数O1、O2}、Om，使得EλDλ2D λmDm，则称向量E可以由向量组A线性表出，或者说ED1、D2"、Dm的线性组合 向量组等如果向量组（I）D1、D2"、Dm中每个向量都可由向量组（II）E1,E2"Em线（（向量组的任意两个极大无关任一向量组和他的极大无关两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价线性表示充要非零列向E可由D1,D2,s线性§x1

非齐次方程(D,D,,¨

r(D,D,D r(D,D,,,E s¨# ¨©xs若D1,D2,s线性无关，D1,D2,",s,E线性相关，则E可 D1,D2,线性表示线性表示求,(D1,D2,, 【例3】β可由向量组α1α2"存在一组不全为零的数k1,k2"k，使等式 k2 "kmαm成存在一组全为零的数k1,k2"k，使等式 k2 "kmαm成 4】β可由向量组α1α2"线性表示，但不能由向量组（Ⅰα1α2"m"αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示αm可由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）αm可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示向量组的线性相关与线性无向量组的线性线性相关定义 k2D2 kmDm 若k1D1k2D2"ksD 0，则k1,k2,"ks全为零，称D1,D2D线性无关线性相关性的向量组D1、D2"、Dm线性相齐次方程组(D,D )«»0*有非零解 m«#«x¬m向量组的秩rD1,D2D m（向量组的个数存在某Di（i=1,2，...,s）可由其余 线性相关的性含有零向量的向量组一定线只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量n线性相关充要向量组D1,D2,s线性相 有个向量可由其余向量线性表§x1¨齐次方程(D,D,,)¨2x¸0有非零 r(D,D,D s¨# ¨©xs特别地nn维向量D1,D2,",nr(D1,D2,",Dn |D1,D2,",Dn 线性相关充分向量组含有零向量或成比例的向量必相部分相关，则高维相关，则以少表多，则推论：n+1个n维向量必相关向量组的线性对于向量组D1、D2"、Dm，如果 k2D kmD 0，必 0，则称向量组D1、D2"、Dm线性无关。或者说，只要k1k2"不全为零，必有k1D1k2D2"kmDmz0，则称向量组D1、D2"、Dm线性无关。 向量组D1、D2"、Dm线性无齐次方程组(D,D )«»0只有零解 m«#«x¬m向量组的秩rD1,D2D m（向量组的个数每一个向量Di（i=1,2，...,m）s-11若向量组D1,D2D线性无关，则它的任一个部分组Di1

",i

必线性关若向量组D,D

线性无关，则它的任一延

ªD1ºªD2ºªDmº m«E«E«E¬1¬2¬m性无关阶梯形向量组一定线性无关两两正交、非零的向量组必线性无关线性相关性与线性表出向量组D1,D2DD1,D2DEE可D1,D2D线性表出，且表示法唯一若向量组D1,D2DE1E2"Etmt，则D1,D2Dm线性相关注：多数向量可由少数向量线性表出，则多数向量线性相关若向量组D1,D2D可由向量E1E2"Et线性表出，且D1,D2D线性无关，则mdt。【例5】设α1,α2"均为n维向量，那么，下列结论正确的 (A)若k1α1k2α2" 0，则α1,α2"线性相k1k2"k，都有k1α1k2α2"kmαmz则α1α2"线性无关 若α1,α2" 线性相关，则对任意一组不全为零 k1,k2 ，都k1α1k2 " 【例6n维向量组α1α2"s3dsdn线性无关的充要条件是A)存在一组不全为零的数k1k2"ks，使k1α1k2α2"ksαszα1,α2"中任意两个向量都线性无""【例7】已知α1,α2,α3线性无关，证明 α2, 2α3, α3线性无【例8】设 O5,1,3, 1,O5,3, 3,3,O3 时，α1,α2,线性相关； 时，α1,α2,α3线性无关：：向量组的秩与矩阵的极大线性无关组和向量在向量组D1,D2,s中，如果存在一个部分组Di,DiD 线性无关，且再添加 组中任意向量Dj，向量组Di,Di",D，Dj一定线性相关，则称向量组Di,Di",D 向量组D1,D2,s的一个极大线性无关组（i）只由一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，规定它的秩为0（i）一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大线性无关组所包含的向量的个数都是r，即个数r向量组D1,D2,s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为(D1,D2,s)=r向量组的秩与矩阵的秩（1）r（A）=A的行秩（A的行向量组的秩）=A的列秩（A的列向量组的秩经初等变换，向量组的秩均不变向量组（I）可由向量组（II）rIdrII。特别的，等价的向量组具注：秩相同的向量组不一定等价【 9】求向量组的极大线性无关组，并线性表示其余向量§ § §5 §¨ ¨ ¨ ¨D¨1¸

¨1¸

¨2¸

¨3 ¨3¸

¨1¸

¨8¸

¨1¨ ¨ ¨ ¨©1 ©3 ©9 ©7：：向量空间、子空间与基、维数、坐向量空间与子向量空VnV是向量空间子空称W是V的子空间。基、维数、坐基及维V是向量空间Vr个向量线性无V中任一向量都可r个向量线性表出，则称r个向量为向量V的一组基，r称为向量空V的维数，并Vr维向量坐设D1,D2,",Dnn维向量V的一组基，那么EV，有唯一的一组数TxDxD"xDE,称有序数组xx"x是向E在基D,D,T1 2 n的坐标基变换与坐标基变换及过渡矩

若D1,D2,",n与E1,E2"En是n维向量空间V的两组基，则基变 C1n«»E,E"E=D,D «»

2n D n« # ¬ nnC是可逆矩阵，称为由基D1,D2,",nE1E2"En坐标变换若向量J是n维向量空间V的任一向量，它在基D1,D2,",n与基E1,E2"En的坐标分别为X=x,x"xT，Y=y,y"y T，即 " y2 "yn则向量坐标变换为 CY或 C1E1,E2"En的过渡矩阵。 ，其中C是从基D1,D2,",n到基 1及坐标变换，要会求过渡矩阵，由于 D,D1,2,DnE,E1,2,En除可1 求 D,D

再作乘法 外，亦可用初等行变D1,D2,D#E1E2,"EnoECC规范正交基与Sidt正交正交基与规范正交向量空间中一组基中的向量如果两两正交，就成为正交若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交Sidt正D1,D2,s线性无关，则可构造E1E2"Es使其两两正交Ei仅是a,a"a的线性组合（i=1,2,...,s再把E单位化，记JEi，则J,J, 是规

正交向量组其中ED， D2,E1 E, D–D3,E1E–D3,E2 E, E, ED–Ds,E1E–Ds,E2E Ds,Es E, E, E, s s s 【例10】将下列向量Sidt正交化D(0,1,2)T,D(1,0,1)T,D(1,1, 第四章线性方程组线性方程组的表示形式和解向线性方程组的矩阵表示­a11x1a12 a1n °线性方程组a a22 a2n线性方程组"¯a amn ª a1n ªx1 « a «x «b，令 « 2n «2»， b，« # «# «#

«x «b¬ m mn ¬n ¬m线性方程组的向量表示对系数矩阵A按列分块，方程组又可用向量形式x1D1x2D2"xnDnb§ a1n¨其中A¨

a2n¨ #¨ am

amn 如果n维向量[(c,c"c)T满足方程组Axb，即A[b，则称[是 b一个解向量

齐次方程组有非零解的 0有非零解的充分必要条件是r 的列向量线性相 0 0有非零解的充分条件是 n(即方程个数<未知数个数)注：齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（也就是系数 如AB0，则B的每一列都是Ax 0的解，当Bz0时，蕴含Ax0有非零解，进而有rA rBdn.非齐次方程组有解的判增广矩n个未m个方程的非齐次线性方程组­a11x1a12 a1n °®®

a22

"¯am1x1am2"amnª"a1n ªb1ªx1« a «b «x， 令 « 2n «2»， «， « # «# «#

« « ¬ m mn ¬m ¬n 定义增广矩阵ª b1« b « 2 2« # ¬ m m设A是mun矩阵，方程组 有唯一 有无穷多 无 r(A) 齐次方程组和非齐次方程组解的关如 当Ax0只有零解， 【例1（2002）A是mun阶矩阵，B是当nm当nm当mn当mn

ABx § 1·§x1·§1 ¸¨¸¨【例2（2001）方程组¨ 1¸¨x2¸¨1¸无穷多解，则 ¨ ax¸¨ ¹©3¹ （1）若[1,[2是 0的解，则 k2[2是 若[是 0的解，K是 b的解，则[K是 若K1,K2是 K2是 0的解设K1,K2"K是Axb的解，则当¦ki 0时k1K1k2K2"ksKs为Ax 解；当¦ki1时k1K1k2K2"ksKs为Axb的解；设K1,K2"K是 K1"K个线性无关的解基础解系的概念及其

为 0的s-线性方程组的齐次方程组Ax0恒有解（必有零解。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量。因此 0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组解空间，解空间的维数是

[1、[2、}、s是方程组的s个解向量，则对任意的k1、k2、}、ks[k1[1k2[2}ksξs仍是方程组的解向量。若[1、[2、}、[r是方程组的r个解向量，方程组的任意解向量都可由[1、[2}、[r线性表示。则称[1、[2}、[r为方程组一个基础解系。所谓基础解系，其实就是Ax 0的解向量组的一个极大无关组。 设[1、[2[rAx0的基础解[1、[2}、[rAx0的解Ax0的任一解都可以由[1、[2[r【例3】设A是mun阶矩阵，B是nus阶矩阵， r( r(B)d基础解系的求在求基础解系时，可对A作初等行变换变换成为阶梯形矩阵通常称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有r(A)个主元）的行列式，那么其他各列的未知数就是自由变量§ 4 【例4】设Ao¨ 3¸,求Ax0 ¨ 0 的基础解系

D2,D3：：1.通解的概设r( r，[1,[2,[r为 0的基础解系，则 0的通解k1[1k2[2"knr[nr，其中k1k2"knr为任意常数【例6】An阶矩阵，r(A)=n-若A的各行元和为0，则Ax=0的通解 若A的代数式A11z0，则Ax=0的通解 如n元线性方程组Ax b有解，设[1、[2}、[r是相应齐次方程组Ax 系，[0是Ax b的某个已知解，则[0 称为非齐次方程组Ax b的特解，k1[1 }kr ξ0是 b的通解【例7（2011）设A为4u3阶矩阵，K1,K2,K3是非齐次方程Ax 则Ax E的通解为K k(KK K 3k(KK K 3k(KK k(KKK K

k(KK k(KK 公共解的定 0的解，又是方程组 0的解，则称D为其公共解非零公共解充：：Ax0Bx0

§

0有非零

§n同解充要条

¨ ¨©B ©B§ 0与 0同 r( r¨¸r©B8】A是mun 0与 r(AT r(【例9】设A是mun阶矩阵，r( n，B是nus阶矩阵，证 0与 0同解r( 矩阵的特征值与特征特征值与特征向量的概Ax成立，那么，这样的数O称为方A的特征值，非零x称为方A的对应于特征值O特征方程与特征多项式方程组|OEA|0是以O为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值．其左端|OE A|是O的n次多项式，记作f（O称为方阵A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个A的非零特征值为【例2】设A是3阶矩阵，A的各行元和均为5，则A必有特征值特征值和特征向量的一对于抽象的矩阵，要根据特征值与特征向量的定义与其性质推导出特征值的取值对于具体的数字矩阵，应先根据特征方程|OEA|0求出矩阵A的全部特征值ii1,2n），其中可能有重根。然后对每个不同的特征值Oi，分别解齐次方程组OiEAx0。设rOiEAri，如果求出方程组的基础解系（A关于特征值Oi的线性无关的特征向量）[1,[2",[r，则矩阵A属于Oi的全部特征向量为ik1[1k2[2"knr[nr，其中k1k2"kr是不全为零的任 § 0 【例3】求矩阵A¨ 0¸的特征值与特征向量465 465 特征值与特征向量的性质及结：：如果D1,D2都是特征值Oi对应的特征向量，则D1,D2的线性组合k1D1k2D2（非0时）仍是属于Oi的特征向量。属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当OiAk重特征值时，矩阵A属于Oi的线性无关的特征向量的个数不超过k个。即：设O是A的特征值，则它的重数tnr(OE。u设n阶矩阵 O1，O2"un (i)O1 a11 ann.；即 i i（ii）O1O2

A， i注：这两个在相似、证明可逆求行列式的值等方面很适用AAT具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特AAA可逆A1的特征1 ；A*的特征值

A,A,AO1 O1 总结:设D是矩阵A属于特征值O总结:设D是矩阵A属于特征值O【例4】设A，B为3阶相似矩阵，2E 0，且1，－1为B的两个特征值，则行列式A2AB 相似矩阵的概念与性相似矩阵的概：：设A，B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P1AP 或说矩阵A与B相似，记作A~B。相似矩阵的性反身性AAA相似A与B相似，则BAA与BB与CA与CABfA)fB（）.5】A，BA2与B2相似AAB与BA相似AT与BT相似AA1与B1相似 相似矩阵的相相似矩阵的秩和行列式都相相似矩阵有相同的可逆性，且可逆时其逆也相/dia（l，2"，lAn个特征值

On 若n阶矩阵A与B相似，则A与B具有相同的迹（ ¦aiii i若n阶矩阵A与B相似，由 P1AP，要联想到以下结论 P1 kE)P P1AnPAkE~ kE，进而知 kE)以及r kE)An~Bn，进而可以用相似求方幂 P1AnA~BA，BA1~B1A~BAT~BT 矩阵的相似对角矩阵可相似对角化的概nA与对角矩阵AA~对角化注：若P1AP/，则A的全部特征值，P的每一列是对应的特征向矩阵可相似对角化的充分必要条推论：n阶矩An个特征值互不相等A与对角阵相（2）对于矩阵A的每一个ni重特征值Oi，其线性无关的特征向量的个数恰好等 特征值的重根数ni，亦即r(OiEA) nni.A~，且O0是ni重特征值，则O0应有ni(O0E 0的基础解系应含有nr(O0EA) ni个向量，故可以通过秩r(O0EA)来判断A是否能对角化。A（1）AnA先求A的特征值O1，O2"Onp1，p2"，p 构造可逆矩阵 p，p2"，p

，则P1 O n 【例6】（2010）设A为4阶实对称矩阵， O，r( § ¨

§ ¨ 0

0 §

§ 0

0 实对称矩实对称矩阵的元素aij实对称矩阵的实对称矩阵必可相似对角化特征值全是实数，特征向量都是实向量不同特征值的特征向量相互正交ni重特征值必有ni个线性无关的特征向量，或者说秩r(OiE ni用正交矩阵化A为相似标准形的步相似，只是要保证P是正交矩阵，为此当求出特征向量之后应改造特征向量。当A的特征值互不相同时，仅需要把特征向量单位化就可构造矩阵P正交化法进行处理，这样才能构造出正交矩阵P注：做题的时候切记要单位化，或者对重特征值要进行判断值不同的特征向量没有正交性，即使用Sidt正交化后，k1D1k2D2亦不再是特征向量，也就不能构造矩阵P。 正交矩阵Q解特征方|OEA|0，得矩A的n个特征值O1O2,"解齐次方程(OiE- 0得属于特征值Oi的线性无关的特征向量对不同特征值的特征向量分别Sidt正交化，得正交矩阵 (J1,J2,n§11·§11

r( 2,

¨0

¸ 0¸01 1 1 1 ¹ A的特征值与特征向量 第六章二次型二次型及其标准二次型及其矩nx1，x2"，xn的二次齐次多项式函数（即每项都是二次的多项式 f(x1,x2,"xn ¦¦aijxixj, ai1j 令 x,x" T,A=(a),则二次型可用矩 f(x,x,"x xT 其中A是n阶实对称矩阵（ A）,称A为二次型f(x,x,"x)的矩阵，矩阵 注：二次型矩阵是实对称矩阵，且二次型的矩阵是唯一【例1】（2004）二次 f(x,x,x x (x–x x 的 二次型的标准如果二次型矩阵中只含有变量的平