大连理工大工自控课件电子教案chapter

第五章频率响应法5.1频率特性的基本概念5.2系统的开环频率特性5.3频率法中的稳定性分析5.4系统的闭环频率特性5.5频率特性与瞬态响应其微分方程是RC网络第一节频率特性的基本概念式中T=RC（5－1）网络的传递函数为如果激励信号是一个正弦电压,即

由式(5-1)可得式中第一项为输出电压的瞬态分量,

第二项为稳态分量。

取拉氏反变换,得电容两端的输出电压（5－2）随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是显见，和∠都是输入电压频率w的函数。前者称为RC网络的幅频特性,后者称为RC网络的相频特性。01/T2/T3/T01/T2/T3/TRC网络幅频和相频特性∠将上式展成部分分式为

则系统输出c(t)的拉氏变换为

C(s)=系统对正弦输入信号r(t)的响应为

假定输入信号其拉氏变换在一般情况下传递函数G(s)可写成下列形式

式中系统r(t)c(t)一般的线性定常系统系统的传递函数其中系统对正弦输入信号的稳态响应特性。频率特性：其振幅比依赖于角频率w的函数G(w)称为系统的幅频特性；其稳态输出信号对正弦输入信号的相移f(w)称为系统的相频特性。系统的频率特性G(jw)可以通过系统的传递函数G(s)来求取：第二节系统的开环频率特性

频率特性的对数坐标图

频率特性的极坐标图系统的开环频率特性通常有三种表达形式:1.通过频率特性G(jw)的模|G(jw)|与相∠G(jw)在极座标中表示的图形,称为极座标图(Polarplot)或奈魁斯特图(Nyquistplot)

。

2.通过半对数座标分别表示幅频特性和相频特性的图形,称为对数坐称图(Logarithmicplot)或伯德图(Bodeplot)。

3.用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形称为对数幅相图（Log-magnitude-phasediagram）或尼柯尔斯图(Nicholschart)

。一、频率特性的极坐标图

开环系统的传递函数是由一系列具有不同传递函数的典型环节所组成0（一）典型环节的极坐标图1、比例环节幅频特性:相频特性:传递函数:

G(s)=K2、惯性环节传递函数幅频特性：相频特性：（一）典型环节的极坐标图0K03、积分环节传递函数幅频特性：相频特性：（一）典型环节的极坐标图4、微分环节传递函数

G(s)=Ts

相频特性：0（一）典型环节的极坐标图幅频特性：01.05、振荡环节传递函数：幅频特性：相频特性：（一）典型环节的极坐标图6、滞延环节0传递函数：幅频特性：相频特性：（一）典型环节的极坐标图(二)系统的开环幅相频率特性曲线开环系统的频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积极坐标形式：求系统的开环幅相特性：分别求出系统各串联环节频率特性的幅值及相角,然后算出不同频率下开环系统频率特性的幅值及相角,从而就可绘制极坐标图。020例5-1系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。

当时幅值：相角：当时幅值：相角：例5-2系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制其奈氏图。

0－KT当时幅值：相角：当时幅值：相角：渐近线横坐标：例5-3系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。

0当时幅值：相角：当时幅值：相角：例5-4系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。

K幅值和相角分别为:先绘制惯性环节G1(jw)的极坐标图

在每一个频率w上幅值保持不变,相角再增加-wt,即得该系统的奈氏图二、频率特性的对数坐标图

(一)对数频率特性图的坐标0.10.20.40.60.8124681020406080100一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）0.10.20.40.60.812468102040608010040200-20-40若系统的开环传递函数为G(s),则开环对数幅频特性曲线的纵轴是20lgG(w)。对数幅频特性的横轴是频率w,采用lgw分度,单位为孤度／秒,用rad／s表示。表示频率特性的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线统称为伯德图。1、比例环节传递函数:

G(s)=Kdb40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.0120LgK对数幅频特性20lgG(w)=20lgK相频特性

j(w)=0（二）基本环节的BODE图1、比例环节db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.012、积分环节传递函数:

G(s)=1/s对数幅频特性20lgG(w)=-20lgw相频特性

（二）基本环节的BODE图db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.013、微分环节传递函数:

G(s)=s对数幅频特性20lgG(w)=20lgw相频特性

（二）基本环节的BODE图db100-10-20-300.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.0510204、惯性环节传递函数:对数幅频特性，为对数幅频特性的高频段相频特性

渐近线精确曲线转角频率（二）基本环节的BODE图当，为对数幅频特性的低频段当，为对数幅频特性的转角频率5、振荡环节传递函数:

db100-10-200.10.20.412410-30=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=0.2相频特性

对数幅频特性当>>1时,即高频段渐近线当<<1时,即低频段渐近线渐进线（二）基本环节的BODE图6、滞延环节传递函数:对数幅频特性:相频特性

db200-200.10.20.412410（二）基本环节的BODE图7、一阶微分环节传递函数:G(s)=Ts+1幅频特性:相频特性

db3020100-100.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.051020（二）基本环节的BODE图（三）系统的开环对数特性曲线绘制系统开环对数坐标图的一般步骤和方法:写出以时间常数表示、以典型环节频率特性连乘积形式的系统频率特性。(2)求出各环节的转角频率(Breakfrequency/Cornerfrequency),并从小到大依次标注在对数坐标图的横坐标上。(3)计算20lgK的分贝值,其中K是系统开环放大系数。过w=1,20lgK这一点,做斜率为-20NdB/dec的直线,此即为低频段的渐近线,其中N是开环系统包含串联积分环节的个数。(4)绘制对数幅频特性的其它渐近线,方法是从低频段渐近线开始,从左到右,每遇到一个转角频率就按上述规律改变一次上一频段的斜率。如有必要再利用误差曲线修正,得到精确对数幅频特性的光滑曲线。(5)给出不同w的值,计算对应的ji(w)，再进行代数相加,算出系统的相频特性曲线。

dB0.10.20.4124100-404020-20例5-5试绘制下列传递函数的对数坐标图。

w1=0.5

w2=2

w3=8

3、过w=1,20log4=12dB这一点,作-20dB/dec的直线(N=1),即为该系统低频渐近线。4、沿低频渐近线开始,从左到右,在每个环节的转角频率处相应改变系统渐近线斜率。

1、将此传递函数改写为用时间常数表示的形式,其频率特性为：2、计算各环节的转角频率：2、各环节的转角频率：2、各环节的转角频率：※对于最小相位系统而言,幅频特性和相频特性之间有着确定的单值关系。

最小相位传递函数：在复平面S的右半面既没有极点、也没有零点的系统开环传递函数。※若w时,幅频特性的斜率为-20(n-m)dB/dec,

其中n,m分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数,而相角等于-90°(n-m),则系统是最小相位系统。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统。※具有相同幅频特性的系统,最小相位系统的相角变化范围最小。

0.050.10.20.51.02.051020（四）最小相位系统(Minimumphasesystem)两个系统的传递函数分别为：第三节频率特性的稳定性分析

奈魁斯特判据

的物理意义

映射定理

奈魁斯特稳定判据

(NyquiststabilityCriterion)一、映射定理

奈魁斯特判据的数学基础是复变函数理论中的映射定理,又称幅角定理。

设有一复变函数为式中

z1,z2

……

zm——为F(s)的零点

p1,p2

,……pn——为F(s)的极点

K——放大系数ReImF（s）平面S平面s平面与F(s)平面的映射关系ReIm封闭曲线包围z1时的映射情况S平面F（s）平面如果s平面上的封闭曲线以顺时针方向包围函数F(s)的Z个零点和P个极点,则F(s)平面上的映射曲线相应地包围坐标原点N次,

Ｎ

=Z-P若Ｚ>P,N为正值，包围方向为顺时针;若Ｚ<P,N为负值，包围方向为逆时针。这种映射关系,称为映射定理。

二、奈魁斯特稳定判据

设系统的特征方程为

F(s)=1+G(s)H(s)=0

系统的开环传递函数可以写为代入特征方程,可得

奈魁斯特轨迹映射图闭环系统稳定的充分和必要条件是：系统特征方程式的根,即F(s)的零点,都位于S平面的左半平面,或者说F(s)的所有零点都不在S平面的右半平面内。

F（jw）=1+G(jw)H(jw)G(jw)H(jw)奈魁斯特稳定判据:对于开环稳定系统(即P=０,G(s)H(s)在右半S平面无极点),当且仅当开环频率特性曲线G(jw)H(jw)不通过也不包围(-1，j0)

点时,即N=0,闭环系统才是稳定的。(2)对于开环不稳定系统(即P≠0,G(s)H(s)

在右半S平面含有P个极点),当且仅当开环频率特性曲线G(jw)Η（jw）逆时针包围(-1,j0)点的次数N等于开环传递函数

G(s)H(s)在右半S平面的极点数P时,即

N=-P,

闭环系统才是稳定的。

例5-6系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。

0100例5-7系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。

0100例5-8系统开环传递函数是G(s)H(s)=试分析不同K值时系统的稳定性;(2)确定当T1=1，

T2＝0.2和K=0.75

时系统的幅值裕量。当K<(T1+T2)/T1T2时,G(jw)H(jw)曲线不包围(-1,j0),此时闭环系统是稳定的;当K=

(T1+T2)/T1T2时,G(jw)H(jw)曲线正好通过(-1,j0)点,此时系统处于稳定边界,属于临界不稳定系统;当K>(T1+T2)/T1T2时,G(jw)H(jw)曲线包围了(-1,j0)点,此时闭环系统是不稳定的。

开环系统的幅相频率特性为:(2)系统的幅值裕量定义为开环福相频率特性G(jw)H(jw)曲线与负实轴交点处幅值的倒数,即

将T1=１，T2=0.5和K=0.75代入,则

以分贝数表示,则

三、奈魁斯特判据

的物理意义-1奈魁斯特稳定判据的数学表达式

：当∠G(jw)H(jw)=-180°时，奈魁斯特判据

的物理意义：G(s)H(s)R(s)C(s)G(s)H(s)1/H(s)R(s)C(s)把非单位负反馈变成单位负反馈-1ErttttΔrΔcΔcec四、相对稳定性(Relativestability)开环系统特率特性G(jw)H(jw)与(-1,j0)点的远近程度可用来表示闭环系统的稳定程度。

w=0

w=Imwc

f(wc)

w

g-1Rewc

w

g稳定系统1/Kgf(wc)

Imwc

w=0

w=w

g-1Re不稳定系统wc

w

g1/Kg2.幅值裕量（Gainmargin）Kg

频率wg称为系统的相角交界频率相角裕量(Phasemargin)g=180°+f(wc)式中wc称为系统的交界频率，或者剪切频率例5-10一单位反馈控制系统,试求当K=10和K=100时,系统的相角裕量和幅值裕量。R(s)C(s)

wcw

g0.050.10.20.51251020

0.050.10.20.512510202、K＝100由图可得系统的相角裕量和幅值裕量分别为

g=-25°

Kg=-12db1、K＝10由图可得系统的相角裕量和幅值裕量分别为

g=21°

Kg=8db第四节系统的闭环频率特性

闭环频率特性与开环频率特性关系

等M圆图

等N圆图

尼柯尔斯图

（一）、闭环频率特性与开环频率特性关系

对于单位反馈系统,闭环频率特性与开环频率特性之间的关系为：OAP-1,j0当w＝w1时,开环幅相频率闭环频率特性（二）、等M圆图

等M圆是在复平面上表示闭环频率特性等幅值的一族圆。如果将开环频率特性表示为G(jw)=U(w)+j(w)，则闭环频率特性为

幅频M为配方整理后得

圆心和半径分别为

－4－3－1－22－11－2021ReIm0.80.6M＝0.4M＝1.21.61.43.01.32.0M＝5.0（三）、等N圆图等N圆是复平面上表示闭环频率特性等相角的一族圆。如果将开环频率特性表示为G(jw)=U(w)+j(w)，则闭环频率特性为

相角为令则整理后得配方整理得圆心和半径分别为配方整理后得

圆心和半径分别为

－3－1－22－11－201ReIm（四）、尼柯尔斯图

尼柯尔斯图可以用将等M圆和等N圆转换到对数幅值和相角坐标图上的方法获得。由两组曲线组成：一组是对应于闭环频率特性的幅值(20lgM)为定值时的轨迹;另一组是对应于闭环频率特性的相角(q)为定值的轨迹。尼柯尔斯图的横坐标是开环频率特性的相角,纵坐标是开环对数频率特性的幅值20lgG(w)。ReM=1.1－4－3－1－22－11－2021Im0.8M=0.6M＝1.2M=1.4M=1.1M=2.0－3－4由等M圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线－3－1－22－11－201ReIm由等M圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线201.510.5由等M圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线

例5-10

试绘制下列系统开环频率特性的闭环对数坐标图。

先作出该系统的开环对数坐标图。再利用该图绘制开环对数幅相图,并将它绘在尼柯尔斯图上。根据开环对数幅相图与等M线和等q线的交点或切点,可以求出闭环对数坐标图。用尼柯尔斯图由开环对数幅相图求闭环对数坐标图开环对数幅相图与6.3dB等M线相切,即谐振峰值Mr为6.3dB,谐振频率wr为0.9rad/s,而带宽频率wb为1.7rad/s。第五节频率特性与瞬态响应

二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系

高阶系统的频域性能指标及近似处理

（一）、二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系

二阶系统闭环传递函数的标准形式是

式中

z—阻尼比;wn—无阻尼自然频率。二阶系统的闭环频率特性

1.谐振频率wr

当0≤z≤0.707时,若M()在某一频率处有极大值。

00.20.40.60.81.00.20.40.60.81.0二阶系统的wr

、wd与z

的曲线2.谐振峰值Mr

二阶系统超调量的计算公式是