宜兰县国中小携手计画课后扶助补救教材研发

宜蘭縣國中小攜手計畫課後扶助補救教材研發主題名稱認識100以內的質數設計教師五結國中林明瑩老師興中國中盧芳瑋老師授課節數1節先備經驗因數與倍數的定義、能判別100以內2、3、5、7的倍數分年細目7-n-01能理解質數的意義，並認識100以內的質數錯誤成因不會判斷2、3、5與7的倍數分不清何為質數和合數，學生也會誤認1為質數(質數是大於1的數)學生容易對較陌生或較大的數判斷錯誤，例如45、51、57、81、87、91、97。教具附件：月曆(每人一個月)、百數表教學活動注意事項【活動一】複習2、3、5與7的倍數(利用月曆掛圖當例子找出2、3、5與7的倍數)【2的倍數】尾數為偶數(0、2、4、6、8)【5的倍數】尾數為0、5【3的倍數】各位數字的和為3的倍數(每個數加起來除以3餘0(被3整除))【7的倍數】直接除以7，整除。(公式較為複雜)每個學生手上都有一個月的月曆表請學生先用紅筆圈出2，再用鉛筆圈出表上其他2的倍數的數，另外舉出31~100的三個2的倍數請學生先用紅筆圈出5，再用鉛筆圈出表上其他5的倍數的數，另外舉出31~100的三個5的倍數(帶出易犯錯的45)請學生先用紅筆圈出3，再用鉛筆圈出表上其他3的倍數的數，再舉例百數表內容易錯誤的數51、53、57、81、87、91、93、97請學生先用紅筆圈出7，再用鉛筆圈出表上其他7的倍數的數，再舉例百數表內容易錯誤的數49、53、77、91、93、97【活動二】利用活動一引出質數與合數的定義質數：大於1的整數，除了1和本身之外，沒有其他因數合數：大於1的整數，除了1和本身之外，還有其他因數1不是質數也不是合數，用鉛筆在月曆表上圈出1介紹活動一用紅筆圈的數就是質數判斷在月曆表上剩下的數是否為質數，並用紅筆圈出1~31的質數＊複習如何找出1~31的質數，並列在黑板上:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31【活動三】利用百數表複習活動一、二的概念，並經由刪除2、3、5與7的倍數(伊拉托斯尼斯Eratosthenes法)之後得到100以內的質數拿出百數表，所有的人依據活動一的方法，刪除2、3、5與7的倍數。用活動二的概念，刪除1後找出100以內的質數。將其結果背誦起來2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97檢核試題默背100以內的質數判斷26、27、28、29四數中，哪些是質數？哪些是合數？判斷50、51、52、53四數中，哪些是質數？哪些是合數？判斷43、61、69三數中，哪些是質數？哪些是合數？判斷67、71、77三數中，哪些是質數？哪些是合數？默寫100以內的質數參考資料與下載1.月曆下載網址：2.百數表的執行檔7-n-01附件:一、月曆表二、百數表123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100主題名稱質因數分解設計教師吳沙國中李宜恭宜蘭國中黃智剛授課節數3節先備經驗整數乘除運算、短除法、指數觀念分年細目7-n-02能理解因數、質因數、倍數、公因數、公倍數及互質的概念，並熟練質因數分解的計算方法。錯誤成因學生在做質因數分解或短除法時，常會有不知何時要停止繼續分解的困擾。缺乏指數觀念。對圖形認知無法與根本觀念連結。不了解因數、質數、倍數、質因數的定義。教學活動注意事項【如附件】檢核試題【如附件】質因數分解重點一因數與倍數的判定壹、因數的判定ㄧ、假设甲除以乙，餘數是0，則乙就是甲的因數；而甲就是乙的倍數。＜說明＞12÷4＝34及3是12的因數；12為4及3的倍數。3×4＝123及4是12的因數；12為3及4的倍數。二、1為任意整數的因數，而任意整數皆為1的倍數。0為任意非0整數的倍數，而任意非0整數皆為0的因數。＜說明＞∵0×1＝0；0×2＝0；0×3＝0；0×4＝0；……，∴0為任意非0整數〔1、2、3、4……〕的倍數，換句話說，0的因數有1、2、3、4……，無限多個。三、任意整數皆為本身的因數與倍數。＜說明＞18的因數中，除本身外，最大的因數為多少？【解】：利用短除法：由短除法觀察可知，18的因數有1、2、3、6、9、18。故18最大的因數為18，而除本身外，最大的因數為9。例題：7＝7×1，則以下敘述何者錯誤？(Ａ)1是7的因數(Ｂ)7是7的倍數(Ｃ)1是7的倍數(Ｄ)1是1的倍數例題：求54的因數有哪些？貳、常用倍數的判定方式◎2的倍數：一個整數的個位數字〔尾數〕是0、2、4、6、8即是。例如：18、26、104、9996……。◎3的倍數：一個整數的各個數字和是3的倍數即是。例如：18、54、105、9996……。◎4的倍數：一個整數的未尾兩個數字是4的倍數或均為0即是。例如：24、264、1040、999600……。◎5的倍數：一個整數的個位數字〔尾數〕是0、5即是。例如：15、160、1040、9995……。◎9的倍數：一個整數的各個數字和是9的倍數即是。例如：18、108、918、99963……。◎11的倍數：一個整數的奇數位的數字和與偶數位的數字和之間的差假设為11的倍數或0即是。例如：121、770、90981……。＜說明1＞試在以下各數中找出哪些是3的倍數，哪些是11的倍數，哪些是5的倍數？245，380，363，225，495，1384，11010，32450【解】：∵在363中，〔3＋6＋3〕÷3＝12÷3＝4整除；∴363為3的倍數，同理還有225，495，11010。∵在363中〔3＋3〕－6＝0，又0為11的倍數；∴363為11的倍數，同理還有495，32450。∵5的倍數個位數必為“0”或“5”，∴5的倍數有245，380，225，495，11010，＜說明2＞假设7932□不含2的因數，不含3的因數，也不含11的因數，則□可為以下何數？(Ａ)1(Ｂ)4(Ｃ)7(Ｄ)9。【解】：假设7932□含2的因數□可為0、2、4、6、8；假设7932□含3的因數□可為0、3、6、9〔∵7＋9＋3＋2＝21〕；假设7932□含11的因數□可為1〔∵7＋3＝10；9＋2＝11〕故不含2、3、11的因數，□可為5、7。答案選(Ｃ)。例題：一個六位數24357□有質因數2和3，則□＝【】。例題：以下哪一個敘述不正確？〔A〕11是264的因數〔B〕7不是144的因數〔C〕14是362的因數〔D〕13是195的因數。重點二質數與合數一、質數：一個大於1的整數，除了1和本身外，沒有其他因數者，即稱為質數。〔1〕2、3、5、7、11、13……都是質數。〔2〕質數必須是大於1的整數，故0與1都不是質數。〔3〕質數有無限個，除了2為偶數外，其餘都是奇數，而最小的質數為2。〔4〕小於50的質數有15個，小於100的質數有25個。二、合數：一個大於1的整數，除了1和本身外，還有其他因數者，即稱為合數。三、0與1都不是質數，也不是合數。＜說明1＞以下選項何者正確？〔A〕1是最小的質數〔B〕0是任意整數的倍數〔C〕91為質數〔D〕2是最小的合數【解】：〔A〕2是最小的質數；〔B〕0不是0的倍數；〔C〕91＝7×13〔D〕最小的合數為4。＜說明2＞設甲數為正整數，且所有小於甲數的正整數中，共有8個質數，則甲數可為以下何者？(Ａ)26(Ｂ)25(Ｃ)24(Ｄ)21。【解】：∵由小而大第8個質數為19，第9個質數為23，∴甲數可為20，21，22，23。例題：將n個邊長為1的小正方形，拼成一個長、寬皆大於1的矩形，且不會剩下，則n不可能為那個數？(A)81(B)85(C)87(D)89例題：大於24且小於71的正整數中，最大質數為a，最小質數為b，求a－b＝？重點三質因數分解一、質因數：如果一個整數的因數是一個質數，則該因數即為這個整數的質因數。〔1〕1沒有質因數，而任一個質因數，只有一個質因數，即本身。〔2〕0為2、3、5、7……的倍數，故任何質數皆為0的質因數。＜說明1＞〔1〕5是125的質因數嗎？〔2〕8是144的質因數嗎？【解】：〔1〕125÷5＝25，恰可整除，∴5是125的質因數，〔2〕144÷8＝18，恰可整除，∴8是144的因數，但8本身非質數，故8不是144的質因數。二、因數分解：將一個整數寫成兩個或兩個以上的整數乘積時，即將該整數因數分解。＜說明1＞12＝2×6＝4×3＝2×2×3也就是將整數12作因數分解成2×6；4×3或2×2×3。＜說明2＞有42張大小相同之正方形紙片，今將其排成正方形，請問可排出多少種不同長寬之長方形？【解】：∵長方形面積＝長×寬，∴42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7。〔注意：1×42與42×1屬相同之長方形，所以只能算1種〕。故共可排出4種長方形。三、質因數分解：將一個整數寫成兩個或兩個以上質數連乘積時，即將該整數質因數分解。＜說明1＞將60質因數分解？∴60＝2×2×3×5。＜說明2＞將210質因數分解？∴210＝2×3×5×7。四、標準分解式：〔1〕意義：一個整數經過質因數分解後，較小的質因數寫前面，較大的質因數寫後面，假设遇有相同的質因數連乘時，以指數記法表示，這種式子即為標準分解式。＜說明1＞如上述說明，將60質因數分解後得到60＝2×2×3×5，寫成標準分解式為22×3×5。＜說明2＞試用短除法將以下各數寫成標準分解式：〔A〕546〔B〕3780。【解】：〔A〕〔B〕∴546＝2×3×7×13∴3780＝22×33×5×7例題：將7590寫成標準分解式？例題：一正整數a分解成質因數相乘，計算過程如圖，則何者是正確的(A)b＝22×32×52×7(B)c＝32×52×7(C)e＝32×52×7(D)f＝5×7〔2〕假设某數整理成標準分解式後，則其質因數的個數就是其底數的個數。＜說明＞∵60＝22×3×5，∴60的質因數為2、3、5等三個。例題：寫出595所有的質因數？例題：試問105與34×52×75所有共同的質因數有哪幾個？〔3〕假设某數為a×b×c×…形式，且欲求其標準分解式，只要將a、b、c…等數分別整理成標準分解式，再整合之。＜說明＞如果a＝24×25×26，則a的標準分解式為何？【解】：24＝23×3；25＝52；26＝2×13，∴a＝24×25×26＝〔23×3〕×〔52〕×〔2×13〕＝24×3×52×13。例題：設P＝25×24×23×22×21，則P有幾個相異質因數？例題：試問105與12×13×14所有共同的質因數為哪幾個？【單元評量】1.〔〕756＝2a×3b×7c，則a＋b＋c＝？(Ａ)4(Ｂ)5(Ｃ)6(Ｄ)2.〔〕一個百位數字為5，十位數字為2的三位數，如果它可以被3與7整除，則此三位數的個位數字為何？(Ａ)2(Ｂ)3(Ｃ)5(Ｄ)7。3.〔〕在1到100的正整數中，含3的因數，但不含2的因數共有幾個？(Ａ)16(Ｂ)17(Ｃ)33(Ｄ)89。4.〔〕假设長方形的面積為28平方公分，邊長都是整數，則周長最大是多少公分？(Ａ)22公分(Ｂ)32公分(Ｃ)42公分(Ｄ)58公分。5.〔〕小綺想把18個維尼熊分堆，每堆的個數要相同，而且不能剩下，並且每堆至少要2個，請問她有幾種分法？(Ａ)4(Ｂ)5(Ｃ)6(Ｄ)7。6.〔〕判斷以下何者不是1599的因數？(Ａ)13(Ｂ)41(Ｃ)123(Ｄ)203。7.〔〕(甲)所有偶數都是合數，(乙)所有奇數都是質數，(丙)1是質數，(丁)20～30間共有2個質數；以上四個敘述中，正確的有幾項？(Ａ)0(Ｂ)1(Ｃ)2(Ｄ)3。8.〔〕一個六位數有42375□有質因數2或3，則□可能為以下何數？(Ａ)2(Ｂ)4(Ｃ)6(Ｄ)8。9.〔〕如果2a×52是23×32×54的因數，則a(Ａ)1(Ｂ)2(Ｃ)3(Ｄ)4。10.〔〕一個保險箱的密碼是一個三位數，分別為個位為a，十位為b，百位為c，且a、b、c隱藏在700的質因數分解中，700＝2a×b2×c1，則此密碼為何？(Ａ)257(Ｂ)527(Ｃ)725(Ｄ)75211.〔〕小綺把大小相同的正方形紙片拼成矩形。當她有6張紙片時，她有兩種拼法：；。當她有12張紙片時，她有三種拼法：；；，則以下哪一種數量的紙片，她只能有一種拼法？(Ａ)91(Ｂ)101(Ｃ)187(Ｄ)221。12.〔〕以下選項的敘述中，何者正確？(Ａ)31的因數有1和31，所以31不是質數(Ｂ)35的十位數和個位數都是質數，所以35是質數(Ｃ)2雖是偶數，但也是質數(Ｄ)23沒有任何因數，所以23是質數。13.〔〕以下數字0、1、2、9、31、36、47、85、99，請問在這9個數中，最小的質數和最大的質數分別為？(Ａ)0、99(Ｂ)2、47(Ｃ)1、47(Ｄ)2、31。14.〔〕邱老師問甲、乙、丙三位學生關於41580這個數字的因數分解，甲答复「41580這個數字一定有2、5這兩個因數。」乙答复：「4＋1＋5＋8＋0＝18，所以3一定是41580的因數。」丙答复：「41580的標準分解式為22×33×5×7×11。」請問錯誤的是誰？(Ａ)甲(Ｂ)乙(Ｃ)丙(Ｄ)皆對。15.〔〕小綺將24的因數由小而大排列，則她所排列出的因數中，第五個因數是多少？(Ａ)12(Ｂ)8(Ｃ)6(Ｄ)4。主題名稱-a是正數?是負數?設計教師羅東國中林有鈿東光國中陳曉蕾授課節數1節先備經驗認識負數並了解正負數的定義。能理解數線及正確計算數線上兩點的距離。能熟練使用性質符號法則。分年細目7-n-04能認識負數，並能以「正、負」表徵生活中性質相反的量7-n-05能認識絕對值，並能利用絕對值比較負數的大小錯誤成因學生在學習相反數及絕對值時，因未含有未知數，所以為求方便，在求相反數時，正數就加負號，負數就去負號；求絕對值時，絕對值內為正數就直接去絕對值，為負數就去負號及絕對值。這樣的運算經驗在非文字運算上並無大礙，但當遇到文字的相反數及絕對值時，由於對絕對值的概念不夠清楚再加上常認為有負號的數就是負數，因此使用上述的經驗法則時卻常造成計算錯誤，令學生相當受挫。教學活動注意事項【活動一】相反數的定義：數線上，位於原點兩側，且與原點距離相等的兩個數互為相反數。例：2與原點相距2單位，-2也與原點相距2單位，且2與-2分別位於原點兩側，故2與-2互為相反數。求相反數的方法：外表上相反數就只差一個負號，換句話說，求相反數就是變號(改變其性質符號)，所以在求負數的相反數時，應當仿照求正數的相反數時加上負號(變號)的方式來求得，不宜直接去掉負號，如：2的相反數為-2，則-2的相反數應為-(-2)=2。【活動二】絕對值的定義：在數線上，點A(a)與原點的距離稱為a的絕對值，記作|a|。例如：點A(5)與原點的距離為5，所以|5|=5，點B(-5)與原點的距離也是5，所以|-5|=5。絕對值的求法：例題：寫出2、-2、的絕對值。解一：因為是實際數字，可考慮以上三數與原點的距離，即可求出2、-2、的絕對值分別為2、2、3.5.。解二：也可使用代數運算：因為2、皆為正數，所以2的絕對值=|2|=2、的絕對值，簡單來說，當求正數的絕對值時，可直接去掉絕對值符號即可。因為-2為負數且距離為0或正數，所以求-2的絕對值時可直接將-2變號(改變性質符號)求得，換句話說，-2的絕對值實際上就是-2的相反數，故-2的絕對值=|-2|=-(-2)=2。–a到底是正數？是負數？其實這樣的問題，應當從a為正數、0或負數來考慮：當a為正數時，依性質符號法則，負正得負，所以-a為負數。當a為0時，-a=0，所以-a不為正數也不是負數。當a為負數時，依性質符號法則，負負得正，所以-a為正數。|a|等於多少？解：一樣得分a為正數、0或負數三種情況來討論：當a為正數或0時，依照絕對值的求法，直接去掉絕對值符號，即|a|=a。當a為負數時，依照絕對值的求法，應當變號，即|a|=-a。可再強調變號的方式就是在該數前面再加上一個負號。宜不斷協助學生進行概念的澄清，要求學生不應簡化相反數概念的建立。兩個互為相反數的數，它們的絕對值會相等。不論正數或負數，它們的絕對值都是正數。0的絕對值為0宜強調讓學生不要看到負號就先入為主以為該數為負數檢核試題的相反數可記為，故=__________，同理，的相反數可記為__________，故的相反數=___________。的相反數=___________。點A(-8)與原點的距離=__________。點B(8)與原點的距離=__________。||==_________。數線上與原點距離為7的點有幾個？___________。絕對值為6的數有哪些？_________。選擇題：()以下哪些數的絕對值與其它三者不相等？(A)(B)(C)(D)。是非題：()的相反數必為正數。假设，則的絕對值=____________。主題名稱指數為整數的補救教學設計教師三星國中鄭景旭國華國中楊孟樺授課節數1節先備經驗能具備乘法運算能力。分年細目7-n-10能理解指數為非負整數的次方，並能運用到算式中。錯誤成因學生常將指數當成乘法運算，例如當成3×3相乘，原因來自對指數的定義不夠熟悉；常將含括號的指數當成一樣的計算方式，例如與()混淆，原因來自對括號意義認知錯誤；常將指數的性質符號混淆，例如與均視為負數，原因來自對指數的奇偶數是否會影響性質符號，觀念不清楚；常將一個不為0的整數，它的零次方當成0處理，原因來自不了解其推導過程；常將負指數當成負數處理，例如當成2×(－2)處理。如何引導學生學習正確的指數律觀念呢?教學活動注意事項【活動一】有一個細胞，第1天後分裂為2個；第2天後又分別分裂為2個，總共分裂為個；第3天後又分別分裂為2個，總共分裂為個。照這樣的分裂方式繼續下去，第10天後，總共會有多少個細胞呢?當然是個為了讀寫方便，我們將連續10個2相乘簡記成，讀做「二的十次方」。在數學上，當同一個數連乘次時，我們可簡記成，讀做「的次方」，其中為底數，為指數。又如：，簡記成，讀做「負五的二次方」，其中為底數，為指數。又如：，簡記成，讀做「負的五的二次方」，其中為底數，為指數。【活動二】(1)你認為與的值應該是多少呢?(2)延續上面的規律，你認為與的值應該是多少呢?(3)延續上面的規律，你認為與的值應該是多少呢?結論:為了延續正整數指數的運算規則，我們規定:1.一個不為0的整數，它的零次方等於1例如：，，等。是不為0的整數，n為正整數時，=例如：，等。老師在舉例指數的定義時，不宜舉、等的例子，不然會產生、，這種指數與乘法的混淆。老師在教與，應特別強調讀法與意義之不同，防止學生在以後計算時產生誤解與混淆。用例題來讓學生了解指數的意義，注意括號所在的位置，並算出指數的值。藉由他們自己觀察，去釐清他們的概念。藉由問題探索來讓學生了解指數的奇偶數是會影響性質符號，澄清學生的錯誤觀念，例如與均視為負數是不對的。藉由問題探索，推導一個不為0的整數，它的零次方等於1而非0的錯誤觀念；並認識負指數的意義，勿將負指數當成負數處理，例如當成2×(－2)處理。檢核試題一、選擇：〔〕3個7連乘可以記為多少？

(A)3×7(B)7＋7＋7(C)3×3×3×3×3×3×3(D)7×7×7〔〕以下何式之值為54？

(A)5＋5＋5＋5(B)4＋4＋4＋4＋4(C)5×5×5×5(D)4×4×4×4×4〔〕小雄班上實施獎勵辦法，表現優良可得1個「○」，累積10個「○」可換得1顆「☆」，而累積10顆「☆」，便可得一份禮物。小雄假设想得到禮物，至少須得幾個「○」？

(A)10個ˉ(B)20個ˉ(C)21個ˉ(D)100個〔〕以下等式何者錯誤？

(A)(－6)2＝62(B)－62＝－(－6)2(C)－(63)＝(－63)(D)－(－6)2＝62〔〕以下各式的計算過程，何者錯誤？

(A)(－4)2＝(－4)×(－4)＝＋(4×4)＝16

(B)－(42)＝－(4×4)＝－16

(C)－42＝(－4)×(－4)＝＋(4×4)＝＋16

(D)(－43)＝(－4)×(－4)×(－4)＝－(4×4×4)＝－64〔〕以下四個算式何者正確？

(A)(－2)＋(－2)＋(－2)＝(－2)3(B)(－2)3＝－6

(C)42表示4個2相乘(D)(－10)5＝－10000〔〕以下敘述何者錯誤？(Ａ)8個8相加等於82(Ｂ)〔8＋22－〔8－22＝82(Ｃ)8個8相乘等於82(Ｄ)1＋2＋……＋7＋8＋7＋……＋2＋1＝82。〔〕(甲)74＝7×7×7×7；(乙)7個3的連乘積可記為73；(丙)34＝43；(丁)27＝2×7＝14；(戊)5×2＝2＋2＋2＋2＋2。上列五個式子中，正確的有幾個？(Ａ)1個(Ｂ)2個(Ｃ)3個(Ｄ)4個。二、填充：在以下空格中填入＞、＝或＜：

(1)24ˉˉˉˉ42。

(2)－32ˉˉˉˉ(－3)2。

(3)50ˉˉˉˉ(－5)3。

(4)(－3)3ˉˉˉˉ(－3)4。

(5)(－2)2ˉˉˉˉ2－2。請寫出以下各指數中的底數與指數。

(1)38

答：底數為ˉˉˉˉ，指數為ˉˉˉˉ。

(2)512

答：底數為ˉˉˉˉ，指數為ˉˉˉˉ。

主題名稱指數律根本概念澄清設計教師員山國中黃資華員山國中褚煜凱授課節數1節先備經驗能理解指數的意義及具有根本的四則運算能力分年細目7-n-11能理解同底數的相乘或相除的指數律錯誤成因學生常常無法理解兩數相乘，底數相同時，要指數相加；兩數相除，底數相同時，指數相減。特別透過此活動引導學生，建立正確的指數運算概念。教學活動注意事項【活動一】指數的計算，與四則運算的直觀看法稍有出入，兩數相乘要轉換成指數相加；兩數相除要轉換成指數相減，因此，以簡單整數的例子講解正確觀念之外，還要找出非例以突顯出概念計算的特徵。首先，給予指數律的根本定義：

假设a,b為整數,m,n為正整數，則：(其中)【活動二】(1)利用實例說明觀察指數律乘法的運算，協助學生記憶運算規則。多舉一些類似的例子，並讓學生動手操作練習。(2)利用實例說明觀察指數律次方的運算，協助學生記憶運算規則。多舉一些類似的例子，並讓學生動手操作練習。(3)利用實例說明觀察指數律除法的運算，協助學生記憶運算規則。多舉一些類似的例子，並讓學生動手操作練習。(4)結論利用實例逐步演練，能夠建立學生正確的概念，讓學生知道，兩數相乘，如果底數相同，指數不可以相乘，而是相加；兩數相除，如果底數相同，指數不可以相除，而是相減。學生建立概念之後，再搭配類題練習，以達到指數律的教學目標。有些學生看到公式可能會直接背誦，但要透過實際例子，讓學生了解定義的根本概念，才會記憶深刻。學生容易誤以為學生容易誤以為學生容易誤以為檢核試題〔〕23與以下何者的值相同？

(A)2＋2＋2(B)3＋3(C)2×3(D)2×2×2〔〕以下哪一個選項的算式與24相等？

(A)2＋2＋2＋2(B)4＋4

(C)2×2×2×2(D)4×4×4×4〔〕以下哪一個式子的值為28？

(A)24×22(B)216÷22(C)25×23(D)82〔〕假设23×2＝29，則A應為何數？

(A)3(B)4(C)6(D)8〔〕請問(35)2＝？

(A)37(B)310(C)325(D)35〔〕化簡(－2)×82的結果與以下何者相同？

(A)2×(－2)2(B)(－2)×24

(C)(－2)×25(D)－27〔〕以下何者錯誤？

(A)(－2)2＞(－2)3(B)23＞24

(C)(－2)3＜23(D)(－2)1＜(－2)0〔〕請問36÷33的結果為多少？

(A)36＋3(B)36÷3(C)36－3(D)36×3〔〕以下哪一個結果與其他三個不同？

(A)2×2×2×2×2×2(B)43(C)82(D)2×6〔〕以下哪一個選項是正確的？

(A)46÷23＝23(B)85÷25＝45

(C)36÷32＝33(D)145÷75＝2主題名稱科學記號表示法設計教師利澤國中賴可歆礁溪國中張美蕙南澳高中蔡耀瑋授課節數2節先備經驗1.四則運算。2.能用口語唸出很大的數(使用個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬……)及小數點後的數。3.能分辨或計算100＝10×10；1000＝10×10×10；＝×；＝××。分年細目7-n-12能用科學記號表示法表達很大的數或很小的數錯誤成因學生在做底數相同，指數不同的加減計算，常會將指數直接相加減，造成運算結果錯誤；在作a×10形式的計算，n不相同，常直接將前方的a相加減，造成另一種形式的錯誤。教學活動注意事項【活動一】1.在國小時，同學學過十進位表示法，現在請同學用口語唸出3500000000許多的零使同學很難算準，究竟是三億五千萬?還是三十五億?2.地球到太陽有多遠？大約是一億五千萬公里，這麼遠的距離以數字表達為何？答案是150000000公里數學上有一種表示方法，可以輕鬆的幫助你辨識數的大小。示範：1.3500000000＝3.5×1000000000＝×102.一億五千萬公里＝150000000公里＝×100000000公里＝×10公里以上這兩個數的表示方式×10、×10，就稱為科學記號表示法。當我們將一正數表示成a×10，其中1≦a＜10，n為正整數，當n越大時，該正數就越大。同學到這裡有疑問嗎?如果沒有，就準備上來大展身手囉!請用科學記號表示法寫出以下各數:27000000004600000000007100000005000000000000以上四個正數哪一個最大?哪一個最小?【活動二】用科學記號表示的數如何做加減呢?首先，同學們用小學的加法，很容易可以算出:3★＋5★＝8★因此，也很容易理解3X＋5X＝8X接下來，我們把省略的乘號寫出來3×X＋5×X＝8×X再把X換成□，算式就會變成:3×□＋5×□＝8×□然後我們把□換成10，就得到以下算式:3×10＋5×10＝8×10………科學記號的加法同理×10＋6×10＝×10減法也是相同道理。同學到這裡有疑問嗎?如果沒有，就準備上來再展身手囉!【活動三】學生上台練習題：1.4.5×10＋3×10＝2.7×10＋2.3×10＝3.4.5×10—3×10＝4.9.2×10—5×10＝5.8.6×10—3.1×10＝【活動四】從上面的題目，我們知道當10的次方相同時，可以輕易的做加減；但是，如果10的次方不相同時要怎麼算呢?例如:2×10＋8×10＝?以下何者是正確的:1.2×10＋8×10＝10×102.2×10＋8×10＝10×103.2×10＋8×10＝28×104.8×10＋2×10＝82×105.2×10＋8×10＝10×10【活動五】紙鈔的值不等於張數的相加如果現在同學有2張綠色鈔票(千元鈔)及8張紅色鈔票(百元鈔)等不等於10張綠色鈔票或10張紅色鈔票的價值?千元鈔1000元就等於10元百元鈔100元就等於10元2張千元鈔及8張百元鈔用算式表示為2×10＋8×1010張綠色鈔票用算式表示為10×1010張紅色鈔票用算式表示為10×10因為，2張千元鈔及8張百元鈔不等於10張千元鈔所以，2×10＋8×10≠10×10因為，2張千元鈔及8張百元鈔不等於10張百元鈔所以，2×10＋8×10≠10×10當然也不會等於28×10〔28張千元鈔〕或82×10〔〕甚至於10×10〔〕小學時，我們學過化為同單位；因此，在這題我們知道:2張千元鈔及8張百元鈔就等於28張百元鈔，寫成算式為28×10元，改成科學記號表示法就是2.8×10元。也就是說，2×10＋8×10＝28×10＝2.8×10同學到這裡有疑問嗎?如果沒有，就準備上來再展身手囉!學生活動：學生能以個、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬……唸出很大的數。藉此引導學生在各種科學領域的探討過程中，很大或很小的數，會造成閱讀或書寫的困難(容易多寫或少寫0的錯誤)，為了簡潔表達這些數值，我們會用各種單位及10的次方表達。引導學生將一正數表示成a×10，其中1≦a＜10，n為正整數，此即為科學記號表示法。在黑板上佈題，讓學生自動上台做題目，增強剛剛學到的運算技巧。(老師幫寫對的同學打勾並蓋一格積點卡；寫錯的同學，於講解後再出一題給他寫，務必給予成就感老師帶領學生一起尋找答案。從小學的簡單經驗連結到國中的代數，再轉換到科學記號，同學的接受度較高。對同學作觀念提醒:3X中，3和X中間省略的是乘號，亦即3X=3乘以X。在黑板上佈題，讓學生自動上台做題目，增強剛剛學到的運算技巧。老師幫寫對的同學打勾並蓋一格積點卡，寫錯的同學，於講解後再出一題給他寫，務必給予成就感)先讓同學思考思考。從生活經驗切入，是同學最容易理解的。在黑板上佈題，讓學生自動上台做題目，增強剛剛學到的運算技巧。老師幫寫對的同學打勾並蓋一格積點卡，寫錯的同學，於講解後再出一題給他寫，務必給予成就感)檢核試題1.()請選出最大的數？(A)123(B)1230(C)12300(D)1230002.()請選出最大的數？(A)10000(B)1×10(C)5×10(D)9×103.()請選出最小的數？(A)3000(B)1×10(C)1.5×10(D)9×104.()請選出最小的數？(A)400(B)4×10(C)4×10×105.29000000000＝_________〔用科學記號表示〕6.180000＝_________〔用科學記號表示〕7.5×10＋×10＝_________8.×10＋×10＝________9.4×10－×10＝_________10×10－×10＝_________11.5×10＋3×10＝_________12.7×10＋×10＝_________主題名稱正比反比根本概念澄清設計教師羅東國中陳俊志授課節數1節先備經驗能熟練符號的意義，及其代數運算。能用符號算式記錄生活情境中的數學問題。分年細目7-n-13能理解比、比例式、正比、反比的意義，並能解決生活中有關比例的問題。錯誤成因學生常認為兩個數量之間，假设一個數值變大另一個數值跟著變大的話，則這兩個數量就成正比關係；相反的，假设一個數值變大另一個數值跟著變小的話，則這兩個數量就成反比關係。這樣的認定跟國小只有學習正數運算有關，如何引導到正確的正比反比觀念呢？教學活動注意事項【活動一】「生活情境中的數量關係」，以和不變(即x+y=k)、差不變(xy=k)、積不變(xy=k)、商不變(xy=k)等四種關係，而其中的積不變關係特別稱為反變，商不變特別稱為正變。教正反變的概念，除了特別找出各式各樣的例子之外，還要找出非例以突顯出概概念的特徵。給予正比與反比的根本定義，(1)、假设、成正比關係，則可以得到關係。(2)、假设、成反比關係，則可以得到關係。【活動二】利用實例說明正比關係(1)，符合關係式，、成正比關係1235102050100246102040100200觀察數值的變化，當變大，跟著變大。(2)，符合關係式，、成正比關係1235102050100-2-4-6-10-20-40-100-200觀察數值的變化，當變大，反而變小。(3)，不符合關係式，所以、不成正比關係1235102050100357112141101201觀察數值的變化，當變大，跟著變大。(4)結論：根據與兩個關係式的比較，其數值的變化是剛好相反的，當變大，值的變化，變大，反而變小，而且兩個關係是都符合正比關係。根據與兩個關係式的比較，其數值的變化都是當變大，的值跟著變大，不過不符合正比關係。正比的關係並不能從數值的變化得到，必須觀察是否符合正比關係才能確定。【活動三】利用實例說明反比關係(1)，符合關係式，、成反比關係123510205010021觀察數值的變化，當變大，跟著變小。(2)，符合關係式，、成反比關係1235102050100-2-1------觀察數值的變化，當變大，反而變大。(3)，不符合關係式，所以、不成反比關係12345681098765420觀察數值的變化，當變大，跟著變小。(4)結論：根據與兩個關係式的比較，其數值的變化是剛好相反的，當變大，值的變化，變小，反而變大，而且兩個關係是都符合反比關係。根據與兩個關係式的比較，其數值的變化都是當變大，的值跟著變小，不過不符合反比關係。反比的關係並不能從數值的變化得到，必須觀察是否符合反比關係才能確定。可舉生活情境中存在的數量關係。例如：時間、速率、買賣，說明兩個數量之間的關係。再引導出正反比的概念。學生常認為兩個數量之間，假设一個數值變大另一個數值跟著變大的話，則這兩個數量就成正比關係；相之。是否正確？列舉三個例子說明，假设一個數值變大另一個數值跟著變大的話，則這兩個數量不一定成正比關係列舉三個例子說明，假设一個數值變大另一個數值跟著變小的話，則這兩個數量不一定成反比關係檢核試題以下關於x與y的敘述何者正確？

(A)假设x值增加，而y值隨著增加時，則x與y成正比

(B)假设x值減少，而y值隨著增加時，則x與y成反比

(C)假设x與y成正比，則當x值增加時，y值隨著增加

(D)以上皆非以下各組的兩個數量，哪一組成反比？

(A)兒子的歲數與父親的歲數(B)面積一定時，長方形的長與寬

(C)圓的半徑與面積(D)同一本書，已讀的頁數與未讀的頁數以下各組的兩個數量，哪一組成正比？

(A)正方形的邊長與周長(B)華氏溫度與攝氏溫度

(C)學生的身高與體重(D)距離一定，速度與時間以下哪一個關係式表示y與x成反比？

(A)y＝3x(B)y＝2x－1(C)4x＋3y＝12(D)5xy＋1＝0以下哪一個關係式表示y與x成正比？

(A)y＝7x(B)y＝2x－5(C)4x＋3y＝1(D)4xy＋1＝0以下各組的兩個數量，哪一組成反比？

(A)時間一定，距離與速度

(B)閱讀一本哈利波特，已看過的頁數與還剩下的頁數

(C)一天當中，晝長與夜長

(D)距離一定，時間與速度以下敘述中，何者x與y不成正比？

(A)半徑為x公分，周長為y公分的圓形

(B)超市裏1瓶牛奶賣20元，姊姊買x瓶，共付了y元

(C)三角形的底為x公分，高為y公分，面積是100平方公分

(D)以每小時x公里等速前進的汽車，行駛3小時後，共行駛了y公里以下各組的兩個數量，哪一組成正比？

(A)兒子的歲數與父親的歲數(B)華氏溫度與攝氏溫度

(C)速度一定，距離與時間(D)同一個班級，每天出席的人數與缺席的人數以下各敍述何者正確？

(A)正方形的邊長與面積成正比

(B)當高固定時，三角形的面積成正比

(C)當x值愈大，y值隨之愈小，則y與x成反比

(D)當x值愈大，y值隨之愈大，則y與x成正比以下各敘述何者正確？

(A)當x值愈大，y值也隨著愈大，則y與x成正比

(B)一天24小時中，晝長與夜長成反比

(C)當高固定時，三角形的面積與底成正比

(D)當面積固定時，長方形的長與寬成正比主題名稱如何將生活中的問題以數學符號描述設計教師壯圍國中賴麗如文化國中林旻靜授課節數1節先備經驗具備根本的數、量概念。能透過具體觀察及探索、察覺簡易數量模式。能熟練符號的意義，及其代數運算。分年細目7-a-02能用符號算式記錄生活情境中的數學問題錯誤成因學生對於生活化的數學應用問題，經常對其語意混淆不清，搞不清楚哪一段的敍述是列式的關鍵，以致看到數字不是隨意湊出算式，就是乾脆放棄。教學活動注意事項【活動一】聯結國小的舊經驗，體會生活中的問題與數學的關係：

恩恩今年13歲，經過幾年後算式恩恩的年齡2年後13+2155年後13+51810年後13+1023□年後13+□13+□x年後13+x13+x練習將簡短的文字敍述轉換成代數式文字敍述代數式比□大2□+2比□小3□-3□的5倍5×□把□平分成4等份比□的8倍大38×□+3在此，我們仍然可以將□換成不同數字，舉例說明其運算關係，再請同學答复有□時的運算式。其中，我們把□畫在小紙張上，反面寫上常用的數學代數符號，當同學熟悉列式時，可翻至代數那面，再請同學答复；亦即如下：文字敍述代數式比x大2x+2比y小3y-3k的5倍5×k(5k)把t分成4等份比z的8倍大38×z+3(8z+3)【活動二】舉出生活中與學生相關的話題，先以簡短的題意，請同學說明其代數式鉛筆一支x元，買了7支共要_________元。全班有30人，假设女生有y人，則男生有_________人。

(男生=全班－女生)有5個學生一起去看電影，總共花了k元，平均每人花_________元假设珍奶每杯x元，椰奶每杯y元：

則(1)3杯珍奶要元。

(2)2杯椰奶要元。

(3)3杯珍奶和2杯椰奶共要____元。長方形的長為x公分，寬為y公分，

則周長為_________公分；面積為____________平方公分。兄弟兩人相差5歲，

假设哥哥x歲，則弟弟________歲

假设弟弟y歲，則哥哥________歲【活動三】挑戰篇幅較長的題目可以利用另一個合理數字代替未知數或代數，再找出其關係式。如：

一盒巧克力分給學生，假设每人分5塊，還剩下3塊，如果學生有a人，那麼一盒巧克力有塊。

可假想學生有10人，每人分5塊，即有5×10塊；

還剩下3塊，故共有5×10+3；

將10再置換為a，可得5×a+3即5a此處聯結國小的學習經驗，將代數符號引入解題過程。簡單說明文字敍述與數學運算的關係，如「比…大(多)…」、「比…小(少)…」、「共有」通常為加減的關係；「倍」或「平分」則為乘除的關係。複習代數式的簡記學生常在看到題目時，不知道題目中的數字之間是什麼運算關係，以致常胡亂拼湊，可以試想成其它合理數字，再將其換成符號代替。篇幅長的題目通常讓學生的思緒更加混亂，可利用數字代替後再找到正確代數式。檢核試題〔〕1、蘋果一顆k元，芭樂每顆比蘋果廉价19元，則芭樂一顆多少錢？〔A〕k－19〔B〕k＋19〔C〕k÷19〔D〕k×19理由：〔〕2、胖虎體重是宜靜體重的4倍，假设宜靜重y公斤，則胖虎體重為何？〔A〕y－4〔B〕y＋4〔C〕y×4〔D〕y÷4理由：〔〕3、一包糖果分給學生，假设每人拿4顆，則不夠5顆，如果學生有t人，那麼一包糖果有幾顆？〔A〕4×t＋5〔B〕4×t－5〔C〕〔t－5〕×4〔D〕〔t＋5〕×4理由：〔〕4、師父對徒弟說：「我的年齡比你年齡的3倍還多2歲」，假设徒弟今年p歲，則師父今年幾歲？〔A〕k÷2-3〔B〕k×2＋3〔C〕k×3－2〔D〕k×3＋2理由：〔〕5、同題3，假设師父今年r歲，則徒弟今年幾歲？〔A〕r＋2÷3〔B〕r－2×3〔C〕〔r－2〕÷3〔D〕〔r－3〕÷2理由：主題名稱移項法則的概念澄清設計教師凱旋國中林怡君冬山國中蕭惠英授課節數1節先備經驗能熟練符號的意義。能用符號算式記錄簡單的生活情境中的數學問題。分年細目7-a-05能利用移項法則來解一元一次方程式。錯誤成因學生常誤把等量公理的除法局部以移項法則來計算。(2X=6，X=6/-2=-3;或2X=6，X=6-2=4這兩種計算錯誤)教學活動注意事項【活動一】等量公理的意義:等號左右兩邊的式子中，同時加、減、乘、除一個數(除數不為零)，等號仍然成立，稱為等量公理。移項法則的意義:把等號一側的某項移到另一側，稱為移項法則。【活動二】利用實例說明等量公理及移項法則在加法及減法的應用(1)例一:X-5=6，X-5+5=6+5，X=6+5，X=11假设省略第二步驟，則看起來相當於把原先等號左邊的「-5」移到等號右邊變成「+5」。例二:X-30=65，X-30+30=65+30，X=65+30X=95假设省略第二步驟，則看起來相當於把原先等號左邊的「-30」移到等號右邊變成「+30」。(2)例三:X+3=6，X+3-3=6-3，X=6-3，X=3假设省略第二步驟，則看起來相當於把原先等號左邊的「+3」移到等號右邊變成「-3」。例四:X+5=26，X+5-5=26-5，X=26-5，X=21假设省略第二步驟，則看起來相當於把原先等號左邊的「+5」移到等號右邊變成「-5」。【活動三】以學生常犯的錯誤舉例，再利用實例說明等量公理及移項法則在乘法及除法的應用(1)例五:X÷2=6，X=6×(-2)X=-12驗算:X以-12代入，-12÷2=-6，不等於原式的6，X÷2=6X=6－2X=4驗算:X以4代入，4÷2=2，不等於原式的6，正確的解法如下:X÷2=6，X÷2×2=6×2，X=6×2X=12驗算:X以12代入，12÷2=6，和原式相等。所以並非是移項到另一邊用減法，也並非移項就要變號。例六:X÷7=3，X=3×(-7)X=-21驗算:X以-21代入，-21÷7=-3，不等於原式的3，X÷7=3，X=3－7X=－4驗算:X以－4代入，-4÷7不等於原式的3，正確的解法如下:X÷7=3，X=3×7X=21驗算:X以21代入，21÷7=3，等於原式的3，所以並非是移項到另一邊用減法，也並非移項就要變號(2)例七:2X=6，X=6÷(-2)，X=-3驗算:X以-3代入，2×(-3)=-6，不等於原式的6，2X=6，X=6－2，X=4驗算:X以4代入，2×4=8，不等於原式的6，正確的解法如下:2X=6，X=6÷2，X=3驗算:X以3代入，2×3=6，等於原式的6。所以並非是移項到另一邊用減法，並非移項就要變號，例八:5X=55，X=55÷(-5)，X=-11驗算:X以-11代入，5×(-11)=-55，不等於原式的55，5X=55，X=55－5，X=50驗算:X以50代入，5×50=250，不等於原式的55，正確的解法如下:5X=55，X=55÷5，X=11驗算:X以11代入，5×11=55，等於原式的55。所以並非是移項到另一邊用減法，並非移項就要變號(3)結論:移項法則的意義:把等號一側的某項移到另一側，稱為移項法則。學生易誤以為移項法則的意義是把等號一側的某項移到另一側並變