第三章-目标规划

生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。第三章 目标规划第一节 目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。一、举例例1某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。生产有关数据表ⅠⅡ拥有量原材料（公斤）2111设备台时（小时）1210利润（元/件）810用线性规划方法求解：设Ⅰ、Ⅱ两种产品产量分别为 x1，x2maxz 8x1 10x22x1 x2 11x1 2x2 10x1,x2 0可得 Z=62元，X=（4，3）T但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素， 例如按重要性排序的下列目标：据市场信息，产品Ⅰ销售量下降，要求产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；达到并超过计划利润指标 56元。这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。 下面结合上述例题介绍有关希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。建立目标规划数学模型的基本概念。二、目标规划基本概念设x1，x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d—正偏差变量 d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量 d—表示决策值未达到目标值的部分， d+，d－≥0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d+×d－＝0。2.绝对约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“≤，≥，＝”约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d+、d－”表示，称为软约束。约束的一般形式为：CijXj di di gii式中gi——第i个目标约束的目标值；Cij——目标约束中决策变量的参数；di、di——以目标值gi为标准而设置的偏差变量。线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z=8x12，可变换为目标+10x规划问题中的目标约束：8x12+－d－；而同样，线性规划问题的+10x=56+d绝对约束：2x12≤，可变换为目标规划问题中的目标约束：12=11+x112x+xd－。建立约束需注意的问题时：（1）对于绝对约束，gi则为资源限制值，上式中不加di、di。（2）非负约束是指偏差变量非负， di、di 0，至于决策变量是否要求希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。非负，依具体问题要求决定。（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。（4）如果有明显的目标要求，可在 di和di中只选一个。3.优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标， 而决策者对于要达到的目标是有主次之分的。要求首先达到的目标赋予优先级 P1，稍次者赋予P2，。这里规定：不同级目标重要性差异悬殊， Pk＞＞Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数 wj。4.目标函数目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量 d+、d－，优先级Pk与权系数wj所构成的。与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量xj。当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。因此，目标规划问题的目标函数只能是：MinZ=f(d+，d－)。其基本形式有下列三种：要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小， 这时目标函数的形式：+ －minZ=f(d +d)要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：minZ=f(d+)要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：minZ=f(d－)由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想， 约束和目标都不看作是绝对的。决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函数。下面举例说明。例2某构件公司商品混凝土车间生产能力为 20t/h，每天工作8h，现有2个施工现场分别需要商品混凝土 A为150t，商品混凝土 B为100t，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。原材料消耗、拥有量R单位利润表AB拥有资源量水泥/t0.350.2550t砂/t0.550.65130t单位利润/元10080（1）充分利用生产能力；（2）加班不超过2h；（3）产量尽量满足两工地需求；（4）力争实现利润 2万元/天试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。解：1.确定变量设x1、x2分别为两种混凝土的产量。2.约束条件（1）目标约束：P1级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。x1 x2 d1 d1 160 其中要求d1 0P2级：要求可以加班，但每日不超过 2h，即日产量不超过 200t。x1 x2 d2 d2 200 其中要求d2 0P3级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。x1d3150其中要求d30x2d4100其中要求d40因需求量不能超过其需求，故 d3，d4=0P4级：目标利润超过 2万元。100x1 80x2 d5 d5 20000 其中要求d5 0希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。（2）资源约束水泥需求不超过现有资源：0.35x1 0.25x2 50砂需求不超过现有资源：0.55x1 0.6x2 130（3）非负约束，，、di，，，x10x20di0(i125)3.目标函数依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标， 其权数可依其利润多少的比例确定，即 100:80，故W1=5，W2=4。故目标函数为Zmin P1d1 P2d2 P3(5d3 4d4) P4d5整理得该问题的目标规划模型为：目标：Zmin P1d1 P2d2 P3(5d3 4d4) P4d5约束条件：x1x2d1d1160x1x2d2d2200x1d3150x2d4100100x180x2d5d5200000.35x10.25x2500.55x10.6x2130x1，，、di，，，0x20di0(i125)例3例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。到并超过计划利润指标 56元，求决策方案。解按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级 P1，P2，P3。然后建立目标规划模型如下：++－－minz=P1d1+P2(d2+d2)+P3d32x1+x2≤11－+x1－x2+d1－d1=01+2x22－－d2+=10x+d1+10x23－－d3+=568x+dx1，x2，di－，di+≥，i=1，，023目标规划数学模型的一般形式：L Kminz pl( wlkdk wlkdk)l 1 k 1nckjxj dk dk gk, k 1, ,Kj 1naijxj (, )bi, i 1,2, ,mj 1xj,dk,dk 0, j 1,2, ,n建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化。希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。第二节 目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划数学模型， 可采用图解法分析求解，这对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。下面用例 2加以说明。类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件。 绝对约束的作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出 di+，di－=0对应的直线，然后在直线旁相应侧标注 di+，di－，如图3-1所示。根据目标函数中的优先级对下图进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称目标规划问题的最优解为满意解）。x2B11－d1 ①+d1FCEDGd2+Ad2－②+05.5710x1d3d3③－图3-1例2的目标规划的图解由图可见，首先考虑绝对约束： 2x1+x2≤11，解的可行域为三角形0AB，然后按优先级 P1，目标函数中要求 mind1+，解域缩减至 0BC内；再按优先级P2，目标函数中要求 min(d2++d2－)，解域缩减至线段 ED上；最后按优先级P3，目标函数中要求 mind3－，因此最终满意解域为线段 GD。可求得相应坐标：G（2，4），D（10/3，10/3）。GD的凸线性组合都是该目标规划的解。目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋 P1）例中能依次满足d1+2++d－3－*2=0，d=0d=0，因此z=0。但大多数情况下并非如此，还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明。希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。例3某电子设备厂装配A、B两种型号同类产品，每装配一台需占用装配线1小时。每周装配线开动40小时，预计每周销售：A产品24台，每台可获利80元；B产品30台，每台可获利40元。该厂确定的目标为：第一目标：充分利用装配线每周开动40小时；第二目标：允许装配线加班，但加班时间每周不超过 10小时；第三目标：装配数量尽量满足市场需求。要求建立上述问题的数学模型并求解。解设x1，x2分别为产品A、B的计划产量。对于第三目标，由于每台 A产品利润是B产品的2倍，因此取其权系数分别为2，1。建立目标规划模型：minz=P1d1－+P2d2++P3(2d3－+d4－)x121－－d1+=40+x+dx1+x2+d2－－d2+=50x1+3－－d3+=24dx2+d4－－d4+=30x1，x2，di－，di+≥，i=1，，，0234x2③－+d3d3DB+d4GFH-4Ed2+-+d1d2-1024①A②Cx1图3-2例3的目标规划的图解由图3-2可见，在考虑了第一目标和第二目标之后， x1和x2的取值范希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必