45常见曲面的参数方程

6X+Y22=X+Y22=122§4.5常见曲面的参数方程本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。掌握旋转曲面的参数方程的建立。掌握直纹面的参数方程。本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。线数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。(一)旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标设旋转曲面的轴为Z轴，母线r的参数方程是则此旋转曲面可由r上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点P(X,Y,Z)与纬圆的参数方程是|11|11ZZ11111P对应的参数是t，则11((f(t))+(g(t))1再让t在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程1|(X=(f(t))2+(g(t))2cos9|〈Y=(f(t))2+(g(t))2sin9 X=f(t)Y=0Z=h(t)时,(4.5.1)成为6))(X=f(t)cos9 "" 22得其参数方程为 它与§2.1中的球面参数方程的形式是相同的。示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P为空间任意一点，把(4.5.3)中的常数a换为变数r，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即(r>0(X=r(r>0 (22)反之，有XX(4.5.4)5.5)作是平面极坐标在空间中的一种推广。6XaY0Zt，绕Z轴旋转所生成的。由(4.5.2)得其参数方程为Zt02 坐标系。设P为空间任意一点，它到Z轴的距离为r，过P作以Z轴为轴，半径为r的圆把(4.5.6)中的常数a换为变数r，即得柱坐标与直角坐标间的关系式Xrcosr0Zt反之，有rXY2cosXtZ(4.5.7)(4.5.7)sinXX极坐标在空间中的另一种推广。像广义极坐标一样，柱坐标r也可以推广到负值情形。在一个坐标系下，若让一个坐标固定而其它坐标变化，则所得轨迹叫做坐标曲面；若一个坐标变化而其它坐标固定，则所得轨迹叫做坐标曲线。例如在柱坐标系下，坐标曲面，rr(常数)是以Z轴为轴，半径等于|r|的圆0600(常数)是平行于XOY面的平面。显然，坐标曲线可看作是两个不同类的坐标曲面的交0000交线，因而是位于平面Z=Z上，中心在Z轴，半径为|r|的圆。00我们已经看到，用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线，有时是比较简单明了的。但要注意，在不同坐标系下，同一方程可能表示不同的图形。例如方程r=r，在球坐标系下表0r00(二)直纹面的参数方程因为直纹面的母线是直线，所以其参数方程为其中U为族的参数，一个U值对应族中一条直母线。当曲面看作是运点轨迹时，就是由所有母线上的点构成的，故(4.5.9)即为它的方程。线都有公共点，可称为直纹面的导线。为柱面〈|Y=n(U)+mV(4.5.10)面6010121)PX,Y,Z)平行于两个不00001112220010101则由(4.5.10)得到平面的参数方程并取G为参数，得导线的参数方程为。习题4－5X2、已知径线的参数方程与旋转轴，写出旋转曲面的参数方程3、一锥面以(0,0,3)为顶点，以椭圆+=1,Z=25