《等差数列的前n项和(2)》示范课教案【高中数学苏教版教学设计】

第四章数列《等差数列的前n项和(2)》教学设计教学目标教学目标1.进一步熟练掌握等差数列的前n项和公式，并会求前n项和Sn的最值；2.经历公式应用的过程，进一步理解公式中的几个基本量代表的实际意义；3.通过等差数列前n项和公式的应用，培养学生的数学运算、数学建模等核心素养.教学重难点教学重难点重点：灵活运用等差数列的前n项和公式解决问题．难点：求前n项和Sn的最值教学过程教学过程一、新课导入回顾：能否说出我们上节课学习的等差数列的前n项和公式？Sn=n注意：公式中五个量：首项a1，公差d，项数n，末项an，前n项和Sn，这五个量可以“问题1：如何选用这两个公式能使运算过程更简便呢？答案：已知首项a1、项数n、末项an，选用公式已知首项a1、公差d、项数n，选用公式S练一练：若a1=12，d=−分析：已知a1，d，Sn，选用公式解：由Sn得n=12，或n=−5（舍）.设计意图：通过回顾等差数列的求和公式并进行两个求和公式的比较，让给学生进一步熟悉上节课所学内容，为本节课作准备．二、新知探究问题2：等差数列的求和在实际生活中有什么应用呢？例：某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？追问1：各排的座位数组成的数列是特殊的数列吗？答案：是公差为2的等差数列.追问2：已知哪些条件？答案：d=2，n=20，a解：这个剧场各排的座位数组成等差数列{an}，其中公差d=2，项数n=2由等差数列的通项公式，得60=所以a1由等差数列的求和公式，得S20所以这个剧场共有820个座位.小结：解题的关键是构造合适的等差数列，遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型.注意以下两点：①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．②深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，或是求项数问题3：我们知道等差数列的通项公式是特殊的函数，那么等差数列的前n项和公式与函数的关系是什么呢？答案：由Sn当d=0，a1=0时，Sn=0②当d=0，a1≠0③当d≠0时，Sn与n思考1：提到抛物线就想到最值问题，等差数列在什么情况下有最值呢？如何确定Sn答案：①当d＞0时，{a当a1≥0时，Sn当a1<0时，Sn的最小值为所有非正项的和的值，使Sn取到最值的②当d<0时，{an}当a1≤0时，Sn当a1>0时，Sn的最大值为所有非负项的和的值，使Sn取到最值的思考2：能否从函数的角度来分析一下Sn当d≠0①当d>0时，Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当②当d<0时，Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n设计意图：通过问题探究让学生了解等差数列的求和公式的推导过程，培养学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．三、应用举例例1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=−2，S解：(方法一)由d=−2，得an+1−an=−2＜0，得a由a1=10，d可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an所以，S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…，也就是说，当n=5或6时，Sn因为S5=522×10+(方法二)由a1＝10，d＝－2，得Sn=d2n2+a1−d2n=−例2某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm（如图）.已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到1m）？

解：卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和.由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n，则59.95=解得n=显然，各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列.根据等差数列的求和公式，得S=32000π(mm)≈100(答：满盘时卫生纸的长度约为100m.例3某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰.（1）如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元（精确到1元）？（2）欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元（精确到1元）？解：（1）3年后的本息和为1000×1+2.7‰=1000≈37798(元).（2）设每月存A元，则有A1+2.7‰利用等差数列的求和公式，得A36+36×2.7‰解得A≈1323答：零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约37798元.欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约1323元.设计意图：通过例题，进一步熟悉等差数列的求和公式的应用及最值问题，掌握利用等差数列的求和公式解决相关问题．四、课堂练习1.设数列an的前n项和Sn=A.15B.16C.49D.642.数列an的前n项和S（1）求an（2）问an3.某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能的少，那么将剩余多少根圆钢？4.一支车队有15辆车，某天依次出发执行任务．第1辆车于下午2时出发，第2辆车于下午2时10分出发，第3辆车于下午2时20分出发，依此类推．假设所有的司机都连续开车，并且都在下午6时停下休息．（1）到下午6时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车的行驶速度都是60km/h，则这支车队当天一共行驶了多少路程？参考答案：1.解：a8故选A.2.解：（1）当n≥2时，an又当n＝1时，a1=S故an的通项公式为a（2）（方法一）令an≥0，得34－2n≥0所以n≤17，故数列an的前17又a17＝0，故数列an的前16项或前（方法二）由y=−x2距离332最近的整数为16，17故数列an的前16项或前173.解：根据题意，各层圆钢数比上一层多一根，故其构成等差数列：1，2，3…设共堆放了n层，能构成正三角形垛的圆钢数为Sn，则S可转化为求Sn=n1+n易知当n=19时，Sn=190；当n=故n的最大值为19.此时，将堆放19层，剩余10根圆钢.4.解：由题意，知第1辆车休息时行驶了240min，各辆车行驶的时间构成一个等差数列an，其中a1=240，公差d(1)因为a15=−10×15+250=100，(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为240+1002×15=2550所以这支车队当天一共行驶的路程为852×60五、课堂小结1.遇到