2021高三数学第8章 第2讲空间几何体的表面积和体积含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三人教B版数学一轮（经典版）课时作业：第8章第2讲空间几何体的表面积和体积含解析课时作业1．（2019·吉林长春二测）一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为（）A．32 B。eq\f(64，3）C.eq\f（32，3) D．8答案B解析几何体的直观图如图所示,棱锥的顶点在底面上的射影是底面一边的中点,易知这个几何体的体积为eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f（64,3)。故选B.2．(2018·全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(）A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2）π D．10π答案B解析根据题意，可得截面是边长为2eq\r(2）的正方形,结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为eq\r（2）的圆，且高为2eq\r（2)，所以其表面积为S＝2π（eq\r(2））2＋2π×eq\r（2)×2eq\r（2)＝12π.故选B。3．如图,一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．16πC．24πD．25π答案C解析由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2，2,4,将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝eq\r（22＋22＋42)＝2eq\r(6)，则R＝eq\r（6）,故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.4．如图所示,某几何体的正(主)视图是平行四边形，侧(左)视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为（)A．6eq\r(3) B．9eq\r（3)C．12eq\r(3） D．18eq\r(3）答案B解析由三视图，得该几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高h＝eq\r(22－12）＝eq\r(3)，所以该几何体的体积V＝3×3×eq\r（3）＝9eq\r(3)。5．正三棱柱的底面边长为eq\r（3），侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为()A．4π B．8πC．12π D．16π答案B解析由正弦定理,得eq\f（\r（3），sin60°)＝2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r＝1,∴外接球的半径R＝eq\r（12＋12)＝eq\r(2），∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π。故选B.6．如图，网格纸上小正方形的边长为2,粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A。eq\f(4π,3） B。eq\f（32π，9)C。eq\f(32π，3） D．32π答案C解析由三视图知,该几何体的底面是圆心角为120°的扇形,故该几何体的体积为底面半径为4,高为6的圆锥的体积的三分之一，故所求体积V＝eq\f（1,3）×eq\f（1,3)π×42×6＝eq\f（32π，3）。故选C。7．(2019·福州模拟）已知圆锥的高为3,它的底面半径为eq\r(3）.若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于()A.eq\f(8π，3） B。eq\f（32π，3)C．16π D．32π答案B解析如图,设球心到底面圆心的距离为x,则球的半径r＝3－x。由勾股定理，得x2＋3＝（3－x)2，解得x＝1，故球的半径r＝2，V球＝eq\f(4，3）πr3＝eq\f(32π，3）。故选B.8．(2019·江西七校联考）若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是（）A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π答案A解析该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形（边长为2)，正四棱柱的高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.9．(2019·黑龙江哈尔滨三中模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．2C.eq\f(4,3) D。eq\f（2,3)答案D解析由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为eq\f（1,3)×eq\f（1，2)×2×2×1＝eq\f（2,3）。故选D。10．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是（)A。eq\f（11,3)B。eq\f（8，3)C.eq\f(16，3）D.eq\f（22,3）答案D解析根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－eq\f(1，3)×eq\f（1，2）×1×2×2＝eq\f(22，3）.11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异"．意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台、半球,则满足祖暅原理的两个几何体为(）A．①② B．①③C．②④ D．①④答案D解析设截面与下底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2）；②中截面圆的半径为R－h,则截面圆的面积为π（R－h)2；③中截面圆的半径为R－eq\f（h，2），则截面圆的面积为πeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（R－\f(h,2)))2；④中截面圆的半径为eq\r(R2－h2），则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D。12．（2019·唐山五校联考）把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形框架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（)A．10eq\r（3）cm B．10cmC．10eq\r（2)cm D．30cm答案B解析依题意，在四棱锥S－ABCD中，所有棱长均为20cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r（2）cm，易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10cm，在等腰三角形OAS中,OA＝OS＝10eq\r(2)cm，AS＝20cm,所以O到SA的距离d＝10cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径R＝10cm，故选B.13．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．答案10解析设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以VE－BCD＝eq\f（1,3）×eq\f(1，2）ab×eq\f（1，2)c＝eq\f（1,12）abc＝10.14．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型．如图,该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0。9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案118.8解析由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6cm和4cm，故V挖去的四棱锥＝eq\f（1，3）×eq\f（1，2）×4×6×3＝12（cm3)．又因为V长方体＝6×6×4＝144(cm3），所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132（cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0。9＝118。8(g)．15．（2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为eq\r（2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5）。若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为________．答案eq\f(π,4）解析由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为eq\r(2)，所以底面正方形对角线的长为2，所以圆柱的底面半径为eq\f(1，2）。又因为四棱锥的侧棱长均为eq\r(5）,所以四棱锥的高为eq\r（（\r（5））2－12）＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）2·1＝eq\f（π，4)。16．（2020·河南八市重点高中联盟测评）已知一个高为1的三棱锥,各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形,则三棱锥的表面积为________,若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．答案3eq\r(3)eq\f（4π，81)解析该三棱锥侧面的斜高为eq\r(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，3）×\r(3)）)2＋12)＝eq\f（2\r（3），3），则S侧＝3×eq\f（1，2)×2×eq\f(2\r（3),3）＝2eq\r(3)，S底＝eq\f（1,2）×eq\r（3）×2＝eq\r（3），所以三棱锥的表面积S表＝2eq\r(3)＋eq\r（3)＝3eq\r（3）.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r,则三棱锥的体积V锥＝eq\f(1，3）S表·r＝eq\f（1，3）S底·1，所以3eq\r(3)r＝eq\r（3)，所以r＝eq\f(1,3），所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝eq\f（4，3）πr3＝eq\f(4π，81).17．如图所示,在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧(左）视图如图所示．(1)求证：AD⊥平面PBC;（2）求三棱锥D－ABC的体积．解(1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AC，又AC⊥BC，AC∩PA＝A，BC⊄平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又AD⊂平面PAC,∴BC⊥AD。在Rt△PAC中,PA＝AC＝4，D为PC的中点,∴AD⊥PC。∵BC∩PC＝C,AD⊄平面PBC，∴AD⊥平面PBC.（2)由三视图，可得BC＝4，由（1)知，PA⊥AC，D为PC的中点,BC⊥平面PAC，又三棱锥D－ABC的体积即为三棱锥B－ADC的体积，∴VD－ABC＝VB－ADC＝eq\f（1，3)×eq\f（1,2)×eq\f(1,2)×4×4×4＝eq\f（16，3)。18．(2016·江苏高考）现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1）若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1）由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f（1,3)A1Beq\o\al（2,1)·PO1＝eq\f（1,3)×62×2＝24(m3)．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3）．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．（2）设A1B1＝am，PO1＝hm，则0<h<6，O1O＝4h.连接O1B1。因为在Rt△PO1B1中，O1Beq\o\al(2，1)＋POeq\o\al（2，1)＝PBeq\o\al(2,1），所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2）a））2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋eq\f(1，3)a2·h＝eq\f(13,3）a2h＝eq\f（26，3)（36h－h3)，