函数与方程4大解题方法+10大题型

函数与方程4大解题方法+10大题型基本初等函数是高考的命题热点，相关题目多单独对其考查或结合不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大；对函数的应用，主要考查函数零点个数的判断、函数零点所在区间的确定等．考点一基本初等函数的图象与性质1．指数式和对数式的8个运算公式(1)am·an＝am＋n.(2)(am)n＝amn.(3)(ab)m＝ambm，其中，a＞0，b＞0.(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(6)logaMn＝nlogaM.(7)alogaN＝N.(8)logaN＝eq\f(logbN,logba)，其中，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.2．指数函数和对数函数的图象与性质指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．考点二函数的实际应用3．函数的3种常见模型及求法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．4．判断函数零点个数的方法(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程不同的解的个数即为函数f(x)的零点的个数．(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数零点的个数．(4)利用零点存在性定理判断．

一．零点个数的判断函数的零点个数为()A．0 B．1 C．2 D．3【解析】由于函数在上是增函数，且，，故函数在上有唯一零点，也即在上有唯一零点，选B练习1.若满足，满足，函数，则关于的方程解的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵满足，满足∴，分别为函数与函数，图象交点的横坐标由于与图象交点的横坐标为2，函数，的图象关于对称∴，∴函数当时，关于的方程即，即，∴或，满足题意当时，关于的方程，即，满足题意∴关于的方程的解的个数是3.选C二．零点存在定理应用已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，选B练习1.对于函数定义域为R，若，则（）A．方程一定有一个实数解 B．方程一定有两个实数解C．方程一定无实数解 D．方程可能无实数解【解析】因为，且的定义域为，若是连续函数，则根据函数的零点存在性定理，故可得在区间上一定有一个实数解；若不是连续函数，则在区间上不一定有实数解.选D三．二分法的应用求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）A． B．C． D．【解析】不是单调函数，，不能用二分法求零点；是单调函数，，能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点；不是单调函数，，不能用二分法求零点.选B练习1.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）f（1）=-2f（1.5）=0.625f（1.25）=-0.984f（1.375）=-0.260f（1.438）=0.165f（1.4065）=-0.052A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解析】由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C练习2.用二分法求函数零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为，那么的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由零点存在性定理，可知，即，解得．四．零点与参数若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则；令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需，选B练习1．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（）．A． B． C． D．【解析】因为条件等价于函数的图象与直线只有一个交点，作出图象如图，由图可知，，选B练习2.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数当时，

函数有3个零点，即有3个不同根

画出函数与的图如图：要使函数与的图象有3个交点则，且即∴实数k的取值范围是选B练习3已知定义在上的偶函数满足，且当时，，若方程恰有两个根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】由题意得，，∴是周期函数，周期，且图象关于直线对称，∴的图象如下图所示，若直线与抛物线相切，则，由，故可知实数的取值范围是，故选C．练习4已知函数满足，当时，.若函数在区间上有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】在区间内,函数，有三个不同的零点:,设，可得，，此时，一定有，可得在上为单调递减函数，若在上有一个交点,则，解得，若时,可得，，若，可得为减函数，若，可得为增函数，此时必须在上有两个交点，，解得综上①②可得；若，对于时,，没有零点,不满足在区间内,函数，有三个不同的零点，综上：，选A五．复合函数零点问题定义域为的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则（）A． B． C． D．【解析】画出的图像如下图所示，由图可知有个解；有个解.这个解有一个为，其它四个解关于对称，所以，所以，选B练习1.已知函数，则函数图象与直线的交点个数为（）．A．5 B．6 C．4 D．3【解析】如图为函数的图象，函数图象与直线的交点个数即为方程的根的个数，令，则．即寻找直线与图象的交点个数．当时，，得，与的图象1个交点；当时，，解得或（舍），当时，，与图象的2个交点．综上所述，直线与图象一共4个交点．即满足题意的交点个数为3个．选D练习2.函数，若方程有4个不同的实根，则的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】由题意可知，，作出图象，如下图所示：可知，且方程有4个不同实根，则存在2个和，设，则，，即：有2个不等正实根，所以，且，解得选A.六．函数的实际应用埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（）A．128.5米 B．132.5米 C．136.5米 D．110.5米【解析】胡夫金字塔原高为，则，即米，则胡夫金字塔现高大约为136.4米，选C练习1.人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为.喷气式飞机起飞时，声音约为，一般说话时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（）倍.A． B． C．8 D．【解析】由，所以当时，可得当时，可得，所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的选D练习2.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）A．升 B．升 C．升 D．升【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升.而这段时间内行驶的里程数千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，选B.七、函数零点与导数的综合点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,,则单调递减；当时,,则单调递增,所以,且,有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2，选C练习1.已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（）A． B．C． D．【解析】根据题意设，则又当时，，则有，所以在上单调递减又在上是偶函数，所以，所以是偶函数所以又为偶函数，且在上为减函数，且定义域为则有，解得或即不等式的解集为选B练习2.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(

)A． B． C． D．【解析】=当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,

当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.八．方程的整数解问题已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由题知偶函数满足，所以，所以函数的周期为，且关于直线对称，当时，，因为当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取极大值，也是最大值，且，，，，，所以，由于上含有个周期，且在每个周期内都是轴对称图形，所以不等式在上有且只有300个整数解，等价于不等式在上有且只有3个整数解，所以只需在上有且只有3个整数解即可，易知这三个整数解分别为,,，有，选D.九．零点与不等式综合若，设函数的零点为的零点为，则的取值范围是()A． B． C． D．【解析】函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，函数的零点是函数与函数图象交点的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线对称，直线与直线垂直，故直线与直线的交点即是，的中点，，，当等号成立，而，故，故所求的取值范围是，．选B．练习1.已知函数，若，且，则的值为（）A． B．0 C．1 D．2【解析】作出函数图像，易知，.所以.故选A.练习2已知函数，方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】因为方程对于任意都有9个不等实根，不妨令，则方程有9个不等实根，令，解得：，，.所以，，都要有3个不同的根由可得：，所以函数为奇函数，又，由有3个不等实根，可得不是单调函数，即：令，解得：，作出的关系如下表：作出的简图如下：要使得有3个根，至少要满足，即：，解得：.即：，排除A,B,C，选D十．函数性质与零点综合已知函数，，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A． B． C． D．【解析】函数，令，可得，即函数的对称轴方程为，又的周期为，，令，可得，所以函数在上有29条对称轴，根据正弦函数的性质可知，（最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴）将以上各式相加得.故选A练习1.若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件．选D