15.实数全章复习与巩固(提高)知识讲解

实数全章复与巩固（提）【习标1.了算术平方根、平方根、立根的概念，会用根号表示数的平方根、立方.2.了开方与乘方互为逆运算用方运算求某些非负数的平方根用方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方.3.了无理数和实数的概念道数与数轴上的点一一对应序数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变.4.能有理数估计一个无理数的致范.【识络【点理【清堂389318实数复，识点要一平根立根项目

类型

平方根

立方根被开方数符号表示

非负数a

任意实数一个正数有两个平方根，且互为一正数有一个正的立方根；性质

相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；

一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；()

2

(

(

a

a重要结论

2

(0)(0)

a

a要二实有理数和无理数统称为实.1.实的类按定义分：第页页

正数正数数：有限小数或无限循环数实数无理数：无限不循环小数按与0的小关系分：理数正无理数实数

理数负无理数要诠1）所有的实数分成三类：有限数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（）理数分成三类：①开方开不尽的数，如

，

等；②有特殊意义的数，；③有特定结构的数，如0.1010010001…（凡写成无限不循环小数数都是无理数且无理数不能写成分数形式（）数和数轴上点是一一对应.2.实与轴的一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实的个负及质在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（）何一个实数的对值是非负数，||≥0；（）何一个实数

的平方是非负数，即

≥；（）何非负数的算术平方根是非负数，即(非负数具有以下性质：（）负数有最小值零；（）限个非负数之和仍是非负数；（）个非负数之和等于0，每个非负数都等于0.4.实的算数相反数是－一个正实数的绝对值是它本身个负实数的绝对值是它的反数；0的对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成实数混合运算的运算顺序方开方、再乘除，最后算加.同运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号.5.实的小比：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成.法则1.实数和数轴上的点一一应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，大于负，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反第页页

而小；法则3.两个数比较大小常见的法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方.【型题类一有方的题【清堂389318

实复，】1春仙校级期末）一个正数的x的平方根是2a﹣3﹣，a和x的．【路拨根据平方根的定义得出2a3+5﹣，而求出的，可得出的值．【案解】解：∵一个正数的x的平方根是2a与5a，∴﹣3+5，解得：a=﹣，∴﹣3=﹣7∴x=﹣）=49．【结华此题主要考查了平方根的义，正确把握定义是解题关键．举反：【变式】已知y【案解：由题意得：

x，求的方根。

x

解得

＝∴

＝，

y

x2

，

y

x

的平方根为3.【变式】若

33x

和3

y

互为相反数试求

xy

的值。【案解：∵

33x

和

3y

互为相反数∴7＋3y＋＝∴（y）＝3，＝1.2M是足不等式3的有整数a的和是满足不等式的最大整数．求M＋的方根．【案解】

x

372解：∵

3a

的所有整数有－，，，所有整数的和M＝－1＋1＋＋＝2∵

x

≈，是足不等式x的最大整数．∴＝第页页

323323∴＋＝，＋的方根是±2.【结华先由已知条件确定M、的值，再根据平方根的定义求出M＋的平方根．类二与数关问3、已知

是

的整数部分，

b

是它的小数部分，求

的值．【路拨一个数是由整数部分＋小部分构成.过估算

的整数部分是3，那么它的小数部分就是【案解】

，再代入式子求值.解：∵是整数部分，它的小数部分，

10∴

∴

.【结华可用夹挤法来确定，即看介哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平方这数减去它的整数部分后就是它的小数部.举反：【变式】（2015杭）若k＜＜k+1k整数k=（）A．6B7C8D【案D．解：∵k＜＜k+1k整数＜＜10，k=9．4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中时遇到比较两数大小的问题决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a－＞0，则a＞b；－＝，则a＝；若ab＜0，则＜.例如：在比较与2的小时，小东同学的作法是：∵

2

2

∴

m2m

请你参考小东同学的作法，比较43(23)

的大小【路拨仿照例题，做差后经过计判断差与0关系，从而比较大.【案解】解：∵

3

第页页

∴3＜(23)

【结华实数比较大小常用的有作法和作商法，根据具体情况加以选.举反：【清堂389318

实复，】【变式数在轴上的位置如图所示

a

1a

,

的大小关系是：；

a

0【案

1a

；类三实综应5、已知

a

、

满足

b

，解关于

的方程

。【案解】解：∵

b∴a＋＝0,b－3＝解a＝－b＝，入方程：∴

x【结华先由非负数和为0，则几个非负数分别为解出

a

、

的值，再解方程举反：【变式】设

a

、

、

都是实数，且满足

(2)a

，求代数式【案

2a

的值。解：∵(2)

∴

2，得

c∴

a

.【清堂实复，6】6、阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算

的近似.第页页

小明的方法：∵

，（）.(

2

)

2

.∴

13

.∴

13k

.解得

k

4.∴136

.问题）你依照小明的方法，估算的近似值；（2）请结合上述具体实例，概出估算

的公式：已知非负整数

a

、

、

m

，若且m数式表示)；

，m_________________(用、的代（）用2）中的结论估算【案解】

的近似值.解）∵

，

）∴

(41)

2

)

2

.∴

.∴

36k

.解得

k

512

.5∴41.12（）

，设

m

（

0

）∴

()

2

a