2020-2021九年级培优 易错 难题平行四边形辅导专题训练含详细答案

九年级培优错难题平行四边形辅导专题训练含详细答案一、平四边形1．如图，将矩形纸片ABCD沿角线AC折，使点B落到的位置与CD交于点E.（）证eq\o\ac(△,：)CEB′（）AB=8DE=，点P为线段AC上任意一点PGAE于G，PHBC于求PG+的.【答案】（）明见解析；2）【解析】【分析】（）折叠的质知，

，，，则由得到

；（）

，可得

，又由

，即可求得

的长，然后在中，利用勾股定理即可求得

的长，再过点作

于，角平分线的性质，可得【详解】

，易证得四边形

是矩形，继而可求得答案（）

四边形

为矩形，，

，又

，；（）

，，，，在

中，

，过点作

于，，，，，，、、共，

，，

四边形

是矩形，，.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知.此难度较大，意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用2．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是形，点O（，），点（，）点（，3）．以点为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形，点O，，的对应点分别为D，，．（）图，当点D落BC边上时，求点的坐标；（）图，当点D落线段BE上时，与BC交点H．①求eq\o\ac(△,)ADBAOB；②求H的标．（）为形对线的交点，eq\o\ac(△,)KDE的积求S的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（）（，）；2）详解析；H（34．≤S≤4

，）（）【解析】【分析】（）图，在eq\o\ac(△,)中出CD即可解决问题；（）根据HL证即可；②，AH=BH=m则HC=BC-BH=5-m，eq\o\ac(△,)中根据AH=HC+AC，建方程求出m即可解决问题；（）图中，当点D在段BK上eq\o\ac(△,)DEK的积最小，当点在BA的长线上时eq\o\ac(△,)′E′K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（）图中，

（，0），（，），=5，OB=3，四形是形，AC=OB=3，OABC，OBC=C=90°，矩是由矩形AOBC旋得到，=AO，在eq\o\ac(△,)ADC中，CD

2

AC

2，BDBCCD，D（，）（）如图中，由四边形是矩形，得到ADE，点在段上，=90°，由（）知AD=AO，又AB，=90°，eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AOB（）②如②中eq\o\ac(△,)ADBAOB，得到BAD=BAO，又在矩形中OABC，CBAOAB，BAD=CBA，BHAH，设AH=BHm则BCm，在eq\o\ac(△,)AHC中AH=HC+2，m

=3+（m），m

，BH

，

H（

，）（）图中，当点在段BK上时eq\o\ac(△,)DEK的面积最小，最小=

•DE•=×3×（

3034）4

，当点D在BA的长线上时eq\o\ac(△,)DE的面积最大，最大面积

×D′×3×（

34）4

．综上所述，

34≤S≤4

．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．3．已知：在菱形中，E，F是BD上两点，且AE．求证：四边形AECF是形．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得ABCD，＝，＝，SAS可eq\o\ac(△,)，得

AF＝，eq\o\ac(△,)CDF可得＝，平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是形．【详解】证明：四形是形ABCD＝，ADF＝CDFAB＝，＝CDF，＝ADFCDF（）AF＝，ABCDCFABE＝CDF，AEFCFEAEB＝CFD，＝CDF，＝ABE（）AECF，AECF四形AECF是行四边形又AF＝，四形AECF是形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判4．如图，四边形中，BCDD=90°，是的已知，=2.（）BC=，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（）当B=70°时AEC的数（）eq\o\ac(△,)ACE为角三角形时，求边BC的长【答案】（）

；（）AEC（）的长为2或

.【解析】试题分析：1）A作AHBC于，到四边形ADCH为形．eq\o\ac(△,)BAH中，由勾股定理即可得出结论．（）中T，连接TE，是形中位线，得ET，，AET．又ADAE=1，得到=ADE．垂平分，得DET=35°，

可得到结论．（）两种情讨论①当AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，eq\o\ac(△,)ABH即可得到结．②当CAE时，易eq\o\ac(△,)，相似三角形应边成比例即可得到结论．试题解析：解：1）A作AHBC于．BCD=90°，四边形ADCH为形．eq\o\ac(△,)BAH中=2，BHA，y=2y2x

，则

2x

（）中T，联结TE，是形中位线，得ET，，AETB=70°又ADAE=1，AED=ADE．垂平分CD，得==35°，．（）两种情讨论①当AEC，易eq\o\ac(△,)CAE，得BCE=30°，则eq\o\ac(△,)中，B=60°，AHB，，得BH=1，于是BC=2．②当CAE时，易eq\o\ac(△,)，

2

AB

2

2

，则

AC

x

1

x117xx

（舍负）易知<90°，以BC的长为

．综上所述：边的长为2或

．点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．5．已知eq\o\ac(△,)中边AB=OB=1，ABO=90°问题探究：（）AB为，在eq\o\ac(△,)的右边作正方形，如图1）则点O与的距离为．（）AB为，在eq\o\ac(△,)的右边作等边三角形ABC，如图2）求点O与点C的

离．问题解决：（）线段DE=1，线段DE的两个端点，E分在射线OA、上滑动，以DE为向外作等边三角形DEF，图（）则与F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．【答案】、；、【解析】【分析】

232；、.2试题分析：、图1中连接，eq\o\ac(△,)中，根据OD=

2

CD

2计即可．、如图中，作CEOB于，于F，连接OC．eq\o\ac(△,)OCE中根据OC=

OE

2

CE

2计算即可(3)、如图3中，当时OF的最大，设OF交DE于H，OH上取一点，使得OM=DM连接．分别求出、OM、即可解决问题．【详解】试题解析：、图1中连接，四形是方形，，C=90°在eq\o\ac(△,)ODC中C=90°，OC=2，CD=1

2

CD

2

2

2

5(2)、图2中作CE于，AB于，接OC．E=，四形BECF是矩形，BF=CF=

，CF=BE=，

22在eq\o\ac(△,)OCE中，OC=

2

2

3

2

=

2

．(3)、图3中当OFDE时，的值最大，设交DE于H，在上一点，使得OM=DM连接DM．FD=FE=DE=1，DE，，，DOE=22.5°，，MOD=，

，DM=OM=，

DF

233，=2

．OF的最大值为

．考点：四边形综合题．6．如图，正方形ABCD中，AD=6，点是对角线BD上意一点，连接，过P作PE交直线AB于．（）求：PC=PE;（）延AP交直线CD于点F.①如2，点F是CD的中点，eq\o\ac(△,)APE的积；②若ΔAPE的面积是

，则DF的长为（）如3，在AB上连接EC交BD于M,作E关BD的对称点，接，，过点P作PNCD交EC于点，接QN，，MN=面积是

2

，则MNQ的

【答案】（）；（2），或；）

【解析】【分析】（）用正方每个角都是90°对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得;（）eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的高，由面积法容易求出这个高的从而得eq\o\ac(△,)PAE的和，并求出面积第2小思路一样，通过面积法列出方程求解即;（）据已经件证eq\o\ac(△,)是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面.【详解】(1)证：点P在对角线BD上，ADPPE，EPB+EBP+EPB=45°+90°-BPC=135°-BPC,＝∠DCP=BPC-PDC=BPC-45°,BPC-45°)=BPC,PAE,PC=PE;（）如图，过点分别作PHAD,PG垂分别为H、延长交AB于点M.四形是方形，在对角线上，四形是方形，

AB,设PH=PG=a,F是CD中点6，FD=3,SnADF

=9,SnADF

=

Sn

n

=

ADDFPG

,

,解a=2,又PA=PE,

n

=

MP

,②设HP＝由可

n

=

b6

,解得b=2.4或3.6SnADFnn

=

ADDFPG

,

1DFDF22

,当b=2.4时，；当＝时，DF＝即DF的为4或9;（）图，EQ关BP对，1＝22+3＝4,易eq\o\ac(△,)PNQPNC,6,7=8,EM=QM,NQ=NC,7=90°,MNQ是角三角形,

222222设列程组72

,可得

ab=,

S

VMNQ

,【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键要注意运用数形结合思.7．在平面直角坐标系中为原点，点（﹣，）点C（，），若正方形OABC绕点顺针旋转，得正方形′B′C，记旋转角为：（）图，当α＝45°，求BC与A的交点D的标；（）图，当α＝60°，求点的坐标；（）P为线段BC的中点，求AP长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（）(6

；（）(333,3

；（3）AP3【解析】【分析】（）α＝时延长OA经点B在eq\o\ac(△,)BA中，＝，＝2，求得BD的，进而求得的长，即可得出点的标；（）点C作x轴线MN交轴于点M过点B作的垂线，垂足为，明OMCC，可得C＝OM＝3，′N＝′M＝，可出点的坐标；（）接，AC相交于点K，K是的点，因为为线段的点，所以PK＝

OC＝3，点在以为心3为径的圆上运动，即可得出AP长取值范围．【详解】

解：（）（﹣，）C0），（，），四形是边长为6的正方形，当＝45°，如图，长OA经过点B，OB6

2，＝＝OBC45°，′B

62，＝

6）

2122，CD6﹣（

12）

6，BC与′B的交点的标为（

62，）；（）图，过点C作轴线MN交轴点M，过′作MN的垂线，垂足为N，′B＝90°，′M＝90°﹣′C＝C，′C，OMC＝C′NB＝90°，OMC′（）当＝60°，A90°，OC＝＝30°，C＝＝33′N＝＝，点B的坐标为3；（）图，连接相交于点，则K是OB的点，

P为段BC的中点，PK＝

OC＝3，P在为圆心3为半径的圆上运动，AK＝

2，AP最大值为

3，的小值为2，AP长的取值范围为

3

.【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．8．(1)问发现如图1,点E.分别在正方形ABCD的BC、上，连接EF、=+DF，试说明理由；(2)类引申如图2,在边形中ABAD,=90°,点E.F分别在边、CD上EAF=45°，B，D都是直角，则B与D满足等量关系时，仍有BE+DF；(3)联拓展如图3,eq\o\ac(△,)ABC中BAC=90°,AB=,点D、均边BC,且猜想BD、、满足的等量关系，并写出推理过程。【答案】（）见解析；2详见解析；（）见解.【解析】试题分析：1）eq\o\ac(△,)ABE绕逆时针旋转90°eq\o\ac(△,)可使AB与重合，证出，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出案；（）eq\o\ac(△,)ABE绕A逆针旋转至ADG可使AB与重合，证eq\o\ac(△,)AFEAFG，

根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；（）eq\o\ac(△,)ACE旋到的位置，连接，证eq\o\ac(△,)AFEAFG（）则EF=FGC=ABF=45°eq\o\ac(△,)是角三角形，根据勾股定理即可作出判断．试题解析：理是：如图1，AB=ADeq\o\ac(△,)ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使与AD重，如图，ADC=B=90，FDG=180，F.D.G共，则，AE=AG，∠∠BAE=90=45=EAF，即，eq\o\ac(△,)EAFeq\o\ac(△,)GAF中，，，，；(2)D=180时，EF=BE+DFAB=ADeq\o\ac(△,)ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使与AD重，如图，BAE=DAG，BAD=90，BAE+∘，，ADC+B=180，FDG=180，F.D.G共，eq\o\ac(△,)AFEeq\o\ac(△,)AFG中，，，，

EF=FG，即：，故答案为：B+ADC=180；(3)BD

+CE=DE

.理由是：eq\o\ac(△,)旋到ABF的置，连接，则∠CAE.BAD+CAE=45，又CAE，∠DAE=45，则eq\o\ac(△,)ADF和ADE中，AD=AD，∠DAE，，ADFADE，ABF=45，BDF=90∘，BDF是角三角,BD

+BF

=DF，BD

+CE=DE2.9．在矩形纸片中，，BC=8，将纸片折叠，使点D与点B重，折痕为，连接DF．（）eq\o\ac(△,)BEF是等腰三角形；（）折痕EF的．【答案】（）解析；2）

.

【解析】【分析】（）据折叠=BEF，据矩形的性质得出，求出DEFBFE，出BEFBFE即；（）作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=6，=BM，据折叠得出BE，根据勾股定理求出DE在eq\o\ac(△,)中，由勾股定理求出即可．【详解】（）现纸片折叠，点D与点B重合，折痕为EF，DEFBEF．四形是形，ADBC，DEFBFE，=，BE=BF，eq\o\ac(△,)是等腰三角形；（）作EMBC于M，则四边形ABME是矩形，所以EM=6，=BM．现纸片折叠，点D与重合，折痕为，DEBE，=，EF．四形是形，BC，AD=，BAD．在eq\o\ac(△,)中==BM=

+2BE，（﹣BE）+62BE，得：BE=﹣=．

=DE=BF，=8DE﹣在eq\o\ac(△,)中由勾股定理得=故答案为：．

=

．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能熟记折叠的性质是解答此题的关键．10．图，抛物线

交x轴的正半轴点A点B（，a）抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接ABBC以、为边记点C纵标为，（）的及点A的坐标；（）点恰好落在抛物线上时，求n的；（）与物线的交点为，连接AE，BEeq\o\ac(△,)AEB的积为时，n．直写出答案）

【答案】（）

，A3，）；（）【解析】试题解析：1）点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的，令=0即可求出点的坐标．（２）求出点D的标即可求解；（）eq\o\ac(△,用)的积为7，式计算即可得解试题解析：1）由，

时，（舍去），（分A（3，0）（）作轴于G，轴H.CDABCD=AB

，，

12nn2n212nn2n2（）11．图1所示，1在正三角形中，是BC边（不含端点、）任意一点P是BC延长线上一点，是的平分线上一点，AMN=60°，求证：AM=MN．（）将1）中正三角形”为正形，是的分线上一点若，AM=MN是成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（）将2）“正形改为“正边形AA“，它条件不变，请你猜想：当AMN=_____°时结论AM=MN仍成立．（不求证明）【答案】

(n0n【解析】分析：1）证明AM=MN，证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上一点，AE=CM，接，用ASA即证eq\o\ac(△,)AEMMCN，然后根据全等三角形对应边成比例得出．（）（），要证明，证AM与MN所的三角形全等，为此可在AB上一点，使AE=CM，接，用ASA即证eq\o\ac(△,)≌MCN，后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN详（）明在边AB上取AE=MC，接ME．在eq\o\ac(△,)ABC中，B=BCA=60°，．NMC=180°-AMN-AMB=180°-AMB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，．是的分线上一点，，．eq\o\ac(△,)AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCNAEMMCN（，

n-2n-2n-2n-2n-2n-2n-2n-2AM=MN．（）：结论立；理由：在边上截取，连接．正形中BCD=90°．NMC=180°-AMN-AMB=180°-AMB=MAB=MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，BEM=45°，AEM=135°．是的分线上一点，NCP=45°，MCN=135°．eq\o\ac(△,)AEM与MCN中，MAE=NMC，AE=MC，AEM=MCNAEMMCN（，AM=MN．（）（）（）知当AMN等n边形的内角时，结论AM=MN仍成立；即AMN=

0

时，结论M=MN仍成立；故答案为

0

．点睛：本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定，同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力．难度较大．12．图，在平面直角坐标xOy中四边形的点A在轴的正半轴上，，OC=2点D、、、G分别为边OA、、、的点，连结DE、、、．（）点C在y轴的正半轴上，当点B的标为（，）时，判断四边形DEFG的状，并说明理由（）点C在二象限运动，且四边形DEFG为形时，求点四边形OABC对线OB长度的取值范.（）在点C的运动过程中，四边形DEFG始为正方形，当点C从轴半轴经过轴正半轴，运动至轴正半轴时，直接写出点B的动路径.

【答案】（）方形（225（）2π【解析】分析（）接，，说明OBAC，OB=AC，可得四边形DEFG是方形（）四边形DEFG是形，可得OB=AC，点在y轴上时AC=，当点C在x轴上时，故得结论；（）据题意算弧长即.详解：1）方形，如图1，证明接，，明OBAC，，得四边形DEFG是正方.（）5OB如图，四边形是形，可得，当点在y轴上时AC=，点C在轴上时，5OB；（）π.如图，四边形是方形时AC，且，构eq\o\ac(△,)，得点在以0，）圆心2为径的圆上运动所以当C点x轴负半轴到正半轴运动时B点的运动路径为2.图

图2

图点睛：本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质以及弧长的计灵运用正方形的判定定理和菱形的性质运用是解题的关.13．图，eq\o\ac(△,)中，AB=7，，．点P从点出，沿方向以每秒1个位长度的速度向终点运（不与点A、重合），过点P作．折线CB于点，PQ为边向右作正方形PQMN，点P的动时间为（），正方形eq\o\ac(△,)ABC重叠部分图形的面积为（方单位）．（）接写出方形的边PQ的（用含t的代数式表示）．

1212212122（）点M落在边BC上，求t的值．（）与之间的函数关系式．（）图，点运动的同时，点H从点B出，沿的向做一次往返运动，在B-A上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒4个单位长度，当点H停运动时，点P也之停止，连结MH．设MH将正方形分成的两部分图形面积分别为S、（平方单位）（＜＜），直接写出当≥3S时t的值范围【答案】(2)t=

．当＜≤

时，S=

．当＜，．当＜7时，

．（）

或

或．【解析】试题分析：1）两种情况讨论：当点在段上时，当点Q在段BC上．（）据AP+PN+NB=AB，出关于的方程即可解答；（）＜≤（）

时，当或

＜≤4，当4＜＜时或．试题解析：1）点Q在段AC上，t．当点在线段上，．（）点M落在边BC上，如图，由题意得：t+t=7，解得：

．∴当点M落在边BC上时，求t的为

．

（）＜

时，如图，S=当

．＜≤4，如⑤，．当4＜7时如图，．（）

或

或．．考点：四边形综合题14．知：如图，四边形ABCD和边形AECF都矩形AE与BC交点，与AD交于点．（）证eq\o\ac(△,：)≌CDN；（）形和形AECF满足何种关系，四边形是形证明你的结论．【答案】（）明见解析；2）ABAF时四边形AMCN是菱形．证明见解析；

【解析】试题分析：1）已知条件可得四边形