2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)

𝐴𝐶𝐶212𝐵𝐶1(𝐶1𝐴𝐶𝐶212𝐵𝐶1(𝐶1𝐴𝐶)，记1122𝐶2020年考习题“胡归问在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如”样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：胡不归问题；阿氏圆本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学某不得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根点间线段最短然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时老人刚咽了气伙追悔莫及失声痛邻居告诉小伙子说人留之际不断念叨着“胡不归胡归”“”同“何”而如果先沿着驿道先一段，再走砂石地，会不会更早到?【模型建立】如图，一动点P在线MN外运动速度为V1，在直线上运动的速度为V2，且V1V2A、为点，点在直线MN上确点的位置使𝑉【问题分析】

的值最小𝐴𝐶𝑉

𝑉

1𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉

，即求BC+kAC的小值【问题解决】构造射线AD使∠＝，，CH＝𝐴𝐶将问题转化为求BC+CH最小值B点作⊥交MN于点AD于H点时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最.【模型总结】在求形“＂式子的值问题中关键是构造与相的线段“型问题转化为”.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的线段【长中考】如图eq\o\ac(△,，)中，＝＝，，⊥于E，是段BE上的一个动点，则

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的最小值是【2019南中】图，平行四边形ABCD中DAB=60°，AB6，，P为CD上的一动点，则PB+的小等于2𝑘√321𝑘√321【2014成都考如图，知抛物线y＝(x+2)(x-4)(k为数，0)与x轴从左至右依次8交于AB两点，与y轴于点C经过点B的线＝x+b与物线的另一交点为D.3若点的坐标为5求抛物线的函数表达式在1)的条件下，设F为段BD上点不端点，连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，沿线段FD以秒2个单位的速度运动到后停止，当点F的标是多少时，点M在个运动过程中用时最?【2018重中】物

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2

与x轴于点A，点A在的边，3与轴交于点C.点是线AC上抛线一点PF⊥轴点FPF与线段交于点将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是，PE+2

值最大时，求四边形PO1B1C周的最小值，并求出对应的点O1的标。(为出问题，刚去了两个小问2323【2019绵阳考在平面直角坐标系中，将二次函(a＞的图象向右平移1个位，再向下半移2个位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点A、点A在点B的，＝1经点A的次函数y≠的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为，的面积为求抛物线和一次函数的解析式；抛物线上的动点E在次函数的图象下方△面积的最大值并出此时点E的坐标；若点为x轴任意一点，(的结论下，求PE+PA的小5𝐴𝐵𝐵𝑆𝑆，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐵𝐷eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶𝐴𝐵𝐵𝐷𝐴𝐵𝐵𝑆𝑆，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐵𝐷eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶𝐴𝐵𝐵𝐷𝐴𝐵𝐴𝐵𝐷𝐵阿圆题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了最值问题，其中点迹是直，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆指由古希腊学家阿波罗尼奥斯提出的的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定不的的集合叫做圆如下图，已知A、两，点满＝≠，满足条件的所有的点P构的图形为圆下面给出证明法一首了解两个定理(1)角分线定理如，在中，是∠的半分线，则𝐴𝐶𝐶证明：eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐵𝐷eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶

𝐵𝐷𝐶𝐷𝑆

𝐴𝐵×𝐴𝐴𝐷𝐹𝐴𝐶

，即𝐷𝐶(2)外半分线定:如，在△中，外角CAE的平分线AD交BC的延长线于点，则𝐴𝐵𝐵𝐴𝐶𝐶证明在延线上取点E使得＝，接BD则△eq\o\ac(△,≅)CD=DE且AD平分BDE，，𝐷𝐴𝐴𝐶𝐶

.𝑀𝐴𝐴𝑃𝐴𝑃𝐴𝐴𝑀𝐴𝐴𝑃𝐴𝑃𝐴𝐴𝐵𝑃𝑃𝐵𝑃𝐴接来始氏证步:如图，：PB=k，∠的角平分线交AB于M点根角平分线定，，𝑃𝐵故点为定点，即∠的平分线交AB于点；作∠APB角平分线交直线AB于点，根据外角平分线定理，，𝐵𝑃𝐵故点定点，即∠外角半分线交直线AB于点；又∠°，定边对定角，故P点迹是以MN为径的圆。法二建不妨将点A、两置于x轴且关于原点对称，设A(-m，，则B(m，设，，PA＝，:解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共除了证明之外，我们还需了解“阿氏圆”的一些性:（）𝑃𝐵𝑀𝐵𝐵应用根点、的位置及k的值可确定MN及心O(2)△∽△，，形为OPOB.𝑃𝐴应用根圆心及半径和、其一点，可求A、另一点位置(3)

𝐴𝑂𝑃𝐵应用已半径及A、中其中一点，即可知道PA:PB值731731练习1:已A、求轨迹已知在坐标系中，点A(-1，，，，是平面一点且，P点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结.取，满足＝，N(5，满NA:NB＝，P点轨迹即是以MN为径，MN中点为心的圆练习2:已圆轨迹反求点A或B已知在坐标系中，点A(-1，是点（）为圆心，长为半的圆。平面中求一点2B使，点坐标【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与点求另外一点B.思路1:构相似三角形。考虑OP＝∙，将OP＝、＝代入可:＝，故点坐标(，222思路2:根“阿氏圆”中的特殊置当点运动到点位置时，有MA:MB＝，考虑到A(-1，、，0)，可得MB＝，考虑到、、共且B点在点侧，可得点标，补充这的圆与A及PA:PB的比值都是配套存在的，思路2虽投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的点还好用。7111𝑃11111117111𝑃1111111那这玩和值什关呢?比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值问练改)已在坐标系中，点A(10)P是以点（）圆心，长为径的圆，2Q(2，，PQ+PA的小值3【分析】问题中的PQ暂不用管，先处理好，考感到点是个圆，且要构造，大胆猜:平33面中存在一点使在上任意位置，均满足：𝑃𝐵

，即有PB=PA.33其实就是逆用“阿氏圆样题目一般就是给出圆与点位置，求另一点B的置可转化3点求法如上练习2，下的求量小值就很简单了练3于系数如图，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠C=90°，，点C为心2为径作圆，分別交AC、于、两点，点P是圆C上一个动点，则PA+PB的小值为2【分析】确定了问题关键是构造“＂已知了P点所在的，已知了A点，即在平面中找2一点使“＝2思路1:构相似三角形点与A、共，且点满:CP＝∙CA，代入、CA，即可22＝，得，即可确定M点位置，＝问转为PM+PB最值直接连BM即可211121111112111【问题剖析】（）里为什是PA?2答因圆半为，＝，值是，△CMP与△CPA的似比为所以构造的是也只能构造PA22（）果问题计为PA+kPB最值k应为多少答根圆C半与CB之比为2:3，应为.3【习如图在中∠＝BC＝＝以C为圆心半径的圆上有一个动点连接AD2AD+3BD的最小值是问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，长度的3倍为本题答案【练习图，已知正方形ABCD的边长为，圆B的径为2，点是圆B上的一个动点，则PC的大值为2【分析】当P点动到BC边时，此时PC＝，据题意要求构造，在BC上取M，使2得此时PM1，在点P运的任意时刻，均有PM＝PC，从而将同题转化为求PM2连接PD，对于PDMPD-PM＜DM，故当D、、共线时，PDPM＝为最大值11【2019山东照题如图1，平面直角坐标系中，直线＝5x+5与轴y