实数指数幂及其运算

关于实数指数幂及其运算1第一页，共二十一页，编辑于2023年，星期一2复习引入1初中学习的正整数指数2正整数指数幂的运算法则（1）

(2)(3)(4)

第二页，共二十一页，编辑于2023年，星期一3思考讨论规定：第三页，共二十一页，编辑于2023年，星期一4分数指数1.回顾初中学习的平方根，立方根的概念

方根概念推广：如果存在实数x使得则x叫做a的n次方根.

求a的n次方根，叫做把a开n次方,称作开方运算.第四页，共二十一页，编辑于2023年，星期一5根式一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(当n是奇数)(当n是偶数,且a＞0)让我们认识一下这个式子:根指数被开方数根式第五页，共二十一页，编辑于2023年，星期一6有理数指数幂2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.

第六页，共二十一页，编辑于2023年，星期一7⒈正分数指数幂的意义⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：(a>0,m,n∈N*,且n>1)

注意：底数a>0这个条件不可少.若无此条件会引起混乱，例如，(-1)1/3和(-1)2/6应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：

=-1；=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.用语言叙述：正数的次幂(m,n∈N*,且n>1)等于这个正数的m次幂的n次算术根.第七页，共二十一页，编辑于2023年，星期一8⒉负分数指数幂的意义回忆负整数指数幂的意义：a－n=(a≠0,n∈N*).正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，就是：

(a>0,m,n∈N*,且n>1).规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.注意：负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数,负号只是出现在指数上.第八页，共二十一页，编辑于2023年，星期一9⒋有理指数幂的运算性质我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数指数.上述关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s，均有下面的性质：⑴ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q)；⑵(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)；⑶(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).说明：若a>0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.即当指数的范围扩大到实数集R后，幂的运算性质仍然是下述的3条.第九页，共二十一页，编辑于2023年，星期一101.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂3.0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0。

0的负分数指数幂无意义。4.有理指数幂的运算性质（1）ar•as=ar+s(a>0,r,s∈Q)（2）(ar)s=ar•s(a>0,r,s∈Q)（3）(a•b)r=ar•br(a>0,b>0,r∈Q)

注意：以后当看到指数是分数时，如果没有特别的说明，底数都表示正数.第十页，共二十一页，编辑于2023年，星期一11练习:1、用根式表示（a>0)：第十一页，共二十一页，编辑于2023年，星期一12例2：求值：

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。解：第十二页，共二十一页，编辑于2023年，星期一13练习:求值：第十三页，共二十一页，编辑于2023年，星期一14例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

解：第十四页，共二十一页，编辑于2023年，星期一15例4:计算下列各式（式中字母都是正数）第十五页，共二十一页，编辑于2023年，星期一16例4:计算下列各式（式中字母都是正数）解：第十六页，共二十一页，编辑于2023年，星期一17.Ⅲ.课堂练习一1、计算下列各式：第十七页，共二十一页，编辑于2023年，星期一18

第十八页，共二十一页，编辑于2023年，星期一19小结：

②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充．而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。③对于指数幂,当指数n扩大至有理数时，要注意底数a的变化范围。如当n=0时底数a≠0；当n为负整数指数时，底数a≠0