2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市实验高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省齐齐哈尔市实验高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．已知为虚数单位，则复数()A． B． C． D．【答案】C【解析】根据复数除法运算化简复数，由此得出正确结论.【详解】依题意.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.2．命题“若，则”的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【解析】【详解】试题分析：由“若，则”的否命题为“若，则”得“若，则”的否命题是若，则.故选：A.【考点】否命题.3．用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】将命题的结论否定可得出结果.【详解】“方程至少有一个实根”的否定为“方程没有实根”.因此，用反证法证明命题“设、为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是“方程没有实根”.故选：A.【点睛】本题考查反证法，意在考查学生对反证法的理解，属于基础题.4．设，为实数，命题甲：，命题乙：，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：假设当命题甲成立，即，可得，即命题乙成立，而当命题乙成立时即，可取，显然不成立，故选A.【考点】充分必要条件.5．已知集合，，若，则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【答案】D【解析】试题分析：∵集合，集合，若，则或，故选D．【考点】交集及其运算．6．设全集U是实数集R，与都是U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【详解】根据题意，由于全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}=｛x>2或x<-2｝，N＝{x|x≥3或x＜1},因此可知或那么阴影部分表示的为,故选A.【考点】集合的表示点评：解决的关键是理解阴影部分表示的集合的含义，属于基础题．7．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元【答案】B【解析】【详解】试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5【考点】线性回归方程8．为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A．3000 B．6000C．7000 D．8000【答案】C【解析】先由频率分布直方图得到抽取的样本中底部周长小于110㎝的概率，进而可求出结果.【详解】由频率分布直方图可得，样本中底部周长小于110㎝的概率为，因此在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是.故选：C.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型.9．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.10．定义函数，若存在常数，对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为.已知，，则函数在上的均值为()A． B． C． D．10【答案】C【解析】【详解】根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得,则称函数f（x）在D上的均值为C．令x1•x2=10×100=1000当x1∈时，选定x2＝∈可得：C故选C点睛：这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．11．函数的定义域为，图象如图3所示：函数的定义域为，图象如图4所示，方程有个实数根，方程有个实数根，则（）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】由方程可知，此时有7个实根，即；由方程可知，所以，故选A.12．已知，函数的零点分别为，.函数的零点分别是，，则的最小值为（）A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】先作出函数的图象，将零点问题，转化为图象的交点问题，根据，得到，同理得到，再利用指数幂的运算得到，结合求解.【详解】函数的图象如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以的最小值是.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质的应用以及指数幂的运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在复平面内，复数1+i2−i（其中i【答案】一【解析】试题分析：1+i2−i=(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=【考点】复数的除法运算、复数的几何意义.14．，计算，，，，推测当时，有______.【答案】【解析】将题中的不等式变形为，，，，由此可归纳出一般的结论.【详解】由题意可知，，，.因此，推测出当时，有.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，解题时要将题中已知的不等式变形，考查推理能力，属于基础题.15．设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．【答案】【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．16．已知，，若，，则的表达式__________.【答案】【解析】根据题意，归纳总结即可求得函数表达式.【详解】由题可知，，，故容易得.故答案为：.【点睛】本题考查归纳推理，属基础题.三、解答题17．设关于x的一元二次方程x2（1）若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率．（2）若a是从区间[1,4]任取的一个数，b是从区间【答案】（1）34；（2）【解析】试题分析：（1）本题是一个古典概型，由分布计数原理知基本事件共12个，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a>b（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}试题解析：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a>b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P=（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|1≤a≤4，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【考点】古典概型和几何概型【思路点睛】首先，确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次，计算出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数；最后，计算P(A)=A包含基本事件数基本事件总数．首先确定事件类型为集合概型并明确其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算出基本事件区域的几何度量和事件18．已知集合，集合，集合，命题，命题.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】先求出集合和；（1）由题意得，由集合的交集运算得的取值范围；（2）先求出为真命题时的取值范围，从而求出为假命题时的范围.【详解】∵，∴集合，集合，集合.（1）由命题是假命题，可得，即得，∴.（2）当为真命题时，都为真命题，即，且，∴，解得.∴当为假命题时，或，∴的取值范围是：【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了复合命题为假命题的应用，二次函数的性质，属于基础题.19．（1）设，，证明：；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）根据题意，首先对原不等式进行变形，，再做差，通过变形、整理化简，利用已知条件判断可得结论，从而不等式得到证明；（2）首先换元，设，利用换底公式转化为关于的式子，即为，借助（1）的结论，可得证明．【详解】证明：（1）由于，，则，将上式中的右边式子减左边式子得：，又由，，则；即，从而不等式得到证明．（2）设，则，由换底公式可得：，于是要证明的不等式可转化为，其中，由（1）的结论可得，要证明的不等式成立.【点睛】本题主要考查了不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（2）证明在变形后用到（1）的结论．属于中档题.20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）吨；（2）不获利，补元.【解析】（1）求得每吨二氧化碳的平均处理成本为，利用基本不等式求得的最小值，利用等号成立的条件求得的值，由此可得出结论；（2）令，求得该函数在区间的最大值，进而可得出结论.【详解】（1）由题意可知，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为，由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立，因此，该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）令，，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，即.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损.【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数满足，当时；当时．（Ⅰ）求函数在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在上的零点个数．【答案】（Ⅰ）单调递减区间为，递增区间为（Ⅱ）时，1个零点，时，2个零点，时，3个零点，时，4个零点【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先由函数解析式分别求得在，上的单调区间，从而得到在（-1,1）上的单调区间；（Ⅱ）将函数零点个数转化为两函数图像的交点个数，通过做出函数图像，观察得到的取值和零点个数的关系试题解析：（1）由题可知由图可知，函数在的单调递减区间为，在递增区间为（2）数形结合思想当时，有1个零点当时，有2个零点当时，有3个零点当时，有4个零点【考点】1．函数单调性；2．数形结合法；3．分情况讨论的解题思想22．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【答案】（I），；（II）.【解析】试题分析：（1）由频率分布表中各小组频率和为1，求出的值；由现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家，可求的值；（Ⅱ）根据分层抽样，求出消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．，再一一列举出所有得基