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文档简介
2021-2022学年四川省泸州市海潮中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中,如果,那么cosC等于
(
)
参考答案:D2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有2个阳爻的概率是()A. B. C. D.参考答案:C分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数,根据古典概型概率计算公式求得结果.【详解】所有“重卦”共有:种;恰有2个阳爻的情况有:种恰有2个阳爻的概率为:本题正确选项:【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题,属于基础题.3.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是(
)
A.
B.中学yjw
C.
D.
参考答案:D略4.执行右图所示的程序框图,则输出的的值是(
)A.8
B.6
C.4
D.3
参考答案:A略5.已知集合,,则=(
).A.
B.
C.
D.参考答案:A略6.关于x的方程有一个根为1,则△ABC一定是(
)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形参考答案:A7.过点(0,1)且与曲线在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(
)A.
B.C. D.参考答案:A8.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(
)
A. B. C. D.参考答案:C9.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略10.已知函数,若互不相等,且
,则的取值范围是(
)(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,设=a,=b,=c,E、F分别是AD1、BD的中点,则=
.(用向量abc表示)参考答案:a-c12.数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=.参考答案:【考点】数列的概念及简单表示法.【分析】=,1==,=,=,观察可知.【解答】解:=,1==,=,=,可知:通项公式an是一个分数,分子为2n+1,分母是n2+1,∴这个数列的一个通项公式是an=,故答案为:.13.已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下,俯视图是边长为2的正三角形,侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正(主)视图面积为________.
参考答案:2略14.两平行线:4x+3y-1=0,8x+6y-5=0间的距离等于
.参考答案:15.已知函数,若,则实数a=_______参考答案:3【分析】由题得到关于a的方程,解方程即得实数a的值.【详解】因为,所以,所以,所以.因为a>0,所以a=3.故答案为:3【点睛】本题主要考查分段函数求值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如果函数满足对任意的,都有成立,那么实数a的取值范围是______.参考答案:[2,3)【分析】由已知可知在上单调递增,结合分段函数的性质即可求解.【详解】∵满足对任意的,都有成立,∴在上单调递增,根据分段函数的单调性可知,,解可得,,故答案为:[2,3).【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用,解题的关键是注意对端点值的处理.17.函数在时有极值,则
参考答案:11三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知椭圆:的离心率为,且经过点.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆C相交于A,B两点,若,求(O为坐标原点)面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案:(1);(2)的最大值为,【分析】(1)根据椭圆的离心率和经过的点,以及列方程组,解方程组求得的值,进而求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,根据列方程,得到的关系式.求出面积的表达式,利用配方法求得面积的最大值,进而求得直线的方程.【详解】(1)由题意解得故椭圆的方程为.(2)因为,若直线斜率不存在,则直线过原点,,,不能构成三角形,所以直线的斜率一定存在,设直线的方程为,设,,由,得,所以,.因为,所以,即,得,显然,所以.又,得,点到直线的距离.因为面积,所以,所以当时,有最大值8,即的最大值为,此时,所以直线的方程为.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查根与系数关系的应用,考查三角形面积的最值的求法,属于中档题.19.(本小题10分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC-ccosA.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.参考答案:而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.20.(本小题满分10分)双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.参考答案:设双曲线方程为
1分由椭圆,求得两焦点为(-2,0),(2,0),
3分∴对于双曲线C:c=2.
4分又为双曲线C的一条渐近线,∴
6分解得,
9分∴双曲线C的方程为.
10分21.(12分)如图,直角梯形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的.梯形ABCD所在平面外有一点P,满足PA⊥平面ABCD,PA=AB.(1)求证:平面PCD⊥平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.(3)求二面角A﹣PD﹣C的余弦值.参考答案:【考点】与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)证明平面PCD⊥平面PAC,只要证明CD⊥平面PAC,只要证明CD⊥AC、CD⊥PA即可;(2)当E是PA的中点时,取PD的中点G,连接BE、EG、CG,证明四边形BEGC是平行四边形,利用线面平行的判定可证BE∥平面PCD;(3)作FM⊥PD,连接CM,则可证∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角,求出FM、CM的长,即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的,∴AD=2BC作CF⊥AD,垂足为F,则F为AD的中点,且AD=2CF,所以∠ACD=90°∴CD⊥AC∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴CD⊥PA又∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC∵CD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAC;(2)E是PA的中点当E是PA的中点时,取PD的中点G,连接BE、EG、CG,则EG∥AD∥BC,EG=AD=BC∴四边形BEGC是平行四边形∴BE∥CG∵BE?平面PCD,CG?平面PCD∴BE∥平面PCD(3)解:作FM⊥PD,连接CM,则∵PA⊥平面ABCD,PA?平面PAD∴平面PAD⊥平面ABCD∵CF⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD∴CF⊥平面PAD∵FM⊥PD,∴CM⊥PD,∴∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角设CF=a,则在△PAD中,,∴FM=∴CM=∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为【点评】本题考查面面垂直,考查线面平行,考查面面角,解题的关键是掌握面面垂直、线面平行的判定定理,作出面面角.22.已知函数f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).(1)设a=1,f(x)在x=1处的切线过点(2,6),求b的值;(2)设b=a2+2,求函数f(x)在区间[1,4]上的最大值;(3)定义:一般的,设函数g(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,则称x0为函数g(x)的不动点.设a>0,试问当函数f(x)有两个不同的不动点时,这两个不动点能否同时也是函数f(x)的极值点?参考答案:【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)由题意a=1,f(x)在x=1处的切线过点(2,6),利用导数函数的几何性质求解b的值;(2)b=a2+2,求函数f(x),求其导函数,讨论在区间[1,4]上的最大值;(3)根据函数g(x)的不动点新定义,求其f(x)定义域,当a>0时,g(x0)=x0讨论函数f(x)有两个不同的不动点;同时求函数f(x)的极值点,即可知道两个不动点能否同时也是函数f(x)的极值点.【解答】解:(1)对f(x)进行求导:f'(x)=+2ax+b当a=1时,f(x)=lnx+x2+bx,f'(x)=+2x+b当x=1时,f(1)=1+b,f'(1)=3+b故切线方程为:y﹣(1+b)=(3+b)(x﹣1)点(2,6)满足切线方程,故b=1.(2)由题意,f(x)=alnx+ax2+(a2+2)x,x>0则:f'(x)=+2ax+a2+2=当a=0时,f(x)=2x,f'(x)=2>0,f(x)在[1,4]上为增函数,故最大值为f(4)=8;当a>0时,f'(x)>0,f(x)在x>0上为增函数,故最大值为f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;当a<0时,令f'(x)=0,则导函数有两个零点:x1=﹣,x2=﹣.(i)当a<时,∵,∴x1<x2,
f(x)在(0,﹣),(﹣,+∞)上单调递减,在(﹣,﹣)上单调递增;①当﹣<<1<4≤﹣时,即a≤﹣8,此时最大值为f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;②当﹣<<1<﹣≤4时,即﹣8≤a<﹣2,此时最大值为f(﹣)=aln(﹣)﹣﹣a;③当<<≤1<4时,即﹣2≤a<﹣,此时最大值为f(1)=a2+a+2;(ii)当a=﹣时,,f'(x)≤0,f(x)在[1,4]上单调递减,最大值为f(1)=4﹣;(iii)当﹣<a<0时,,∴x1>x2f(x)在(0,﹣),(﹣,+∞)上单调递减,(﹣,﹣)上单调递增;①当时,即≤a<0,最大值为f(4)=4a2+(16+ln4)a+8;②当﹣<<1<﹣≤4时,即﹣1<a≤,最大值为f(﹣)=aln(﹣)﹣a﹣;③当﹣<<﹣≤1<4时,即﹣<a≤﹣1,最大值为f(1)=a2+a+2;(3)由题意知:f(x)=?由①②化简后:alnx﹣a﹣ax2=x?则说明a(lnx﹣x2﹣1)=x有两个根;∵a>0,x>
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