2021-2022学年四川省泸州市海潮中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年四川省泸州市海潮中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，如果，那么cosC等于

（

）

参考答案：D2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（）A. B. C. D.参考答案：C分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果.【详解】所有“重卦”共有：种；恰有2个阳爻的情况有：种恰有2个阳爻的概率为：本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题.3.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（

）

A.

B.中学yjw

C.

D.

参考答案：D略4.执行右图所示的程序框图，则输出的的值是(

)A．8

B．6

C．4

D．3

参考答案：A略5.已知集合，，则=（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是(

)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．钝角三角形参考答案：A7.过点（0，1）且与曲线在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为(

)A．

B．C． D．参考答案：A8.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（

）

A． B． C． D．参考答案：C9.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知函数，若互不相等，且

，则的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是AD1、BD的中点，则＝

.（用向量abc表示）参考答案：a－c12.数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an=．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】=，1==，=，=，观察可知．【解答】解：=，1==，=，=，可知：通项公式an是一个分数，分子为2n+1，分母是n2+1，∴这个数列的一个通项公式是an=，故答案为：．13.已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．

参考答案：2略14.两平行线：4x+3y－1=0，8x+6y－5=0间的距离等于

.参考答案：15.已知函数，若，则实数a=_______参考答案：3【分析】由题得到关于a的方程，解方程即得实数a的值.【详解】因为，所以，所以，所以.因为a＞0，所以a=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.如果函数满足对任意的，都有成立，那么实数a的取值范围是______．参考答案：[2,3)【分析】由已知可知在上单调递增，结合分段函数的性质即可求解．【详解】∵满足对任意的，都有成立，∴在上单调递增，根据分段函数的单调性可知，，解可得，，故答案为：[2，3）．【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的简单应用，解题的关键是注意对端点值的处理．17.函数在时有极值，则

参考答案：11三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆:的离心率为，且经过点.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，若，求（O为坐标原点）面积的最大值及此时直线l的方程.参考答案：（1）；（2）的最大值为，【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，根据列方程，得到的关系式.求出面积的表达式，利用配方法求得面积的最大值，进而求得直线的方程.【详解】（1）由题意解得故椭圆的方程为.（2）因为，若直线斜率不存在，则直线过原点，，，不能构成三角形，所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，设，，由，得，所以，.因为，所以，即，得，显然，所以.又，得，点到直线的距离.因为面积，所以，所以当时，有最大值8，即的最大值为，此时，所以直线的方程为.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系的应用，考查三角形面积的最值的求法，属于中档题.19.（本小题10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA.(Ⅰ)求A；(Ⅱ)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.参考答案：而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20.(本小题满分10分)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．参考答案：设双曲线方程为

1分由椭圆，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)，

3分∴对于双曲线C：c＝2.

4分又为双曲线C的一条渐近线，∴

6分解得，

9分∴双曲线C的方程为.

10分21.（12分）如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明平面PCD⊥平面PAC，只要证明CD⊥平面PAC，只要证明CD⊥AC、CD⊥PA即可；（2）当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，证明四边形BEGC是平行四边形，利用线面平行的判定可证BE∥平面PCD；（3）作FM⊥PD，连接CM，则可证∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角，求出FM、CM的长，即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的，∴AD=2BC作CF⊥AD，垂足为F，则F为AD的中点，且AD=2CF，所以∠ACD=90°∴CD⊥AC∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；（2）E是PA的中点当E是PA的中点时，取PD的中点G，连接BE、EG、CG，则EG∥AD∥BC，EG=AD=BC∴四边形BEGC是平行四边形∴BE∥CG∵BE?平面PCD，CG?平面PCD∴BE∥平面PCD（3）解：作FM⊥PD，连接CM，则∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD∴平面PAD⊥平面ABCD∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴CF⊥平面PAD∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，∴∠CMF为二面角A﹣PD﹣C的平面角设CF=a，则在△PAD中，，∴FM=∴CM=∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为【点评】本题考查面面垂直，考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直、线面平行的判定定理，作出面面角．22.已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），利用导数函数的几何性质求解b的值；（2）b=a2+2，求函数f（x），求其导函数，讨论在区间[1，4]上的最大值；（3）根据函数g（x）的不动点新定义，求其f（x）定义域，当a＞0时，g（x0）=x0讨论函数f（x）有两个不同的不动点；同时求函数f（x）的极值点，即可知道两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点．【解答】解：（1）对f（x）进行求导：f'（x）=+2ax+b当a=1时，f（x）=lnx+x2+bx，f'（x）=+2x+b当x=1时，f（1）=1+b，f'（1）=3+b故切线方程为：y﹣（1+b）=（3+b）（x﹣1）点（2，6）满足切线方程，故b=1．（2）由题意，f（x）=alnx+ax2+（a2+2）x，x＞0则：f'（x）=+2ax+a2+2=当a=0时，f（x）=2x，f'（x）=2＞0，f（x）在[1，4]上为增函数，故最大值为f（4）=8；当a＞0时，f'（x）＞0，f（x）在x＞0上为增函数，故最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；当a＜0时，令f'（x）=0，则导函数有两个零点：x1=﹣，x2=﹣．（i）当a＜时，∵，∴x1＜x2，

f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增；①当﹣＜＜1＜4≤﹣时，即a≤﹣8，此时最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣8≤a＜﹣2，此时最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣﹣a；③当＜＜≤1＜4时，即﹣2≤a＜﹣，此时最大值为f（1）=a2+a+2；（ii）当a=﹣时，，f'（x）≤0，f（x）在[1，4]上单调递减，最大值为f（1）=4﹣；（iii）当﹣＜a＜0时，，∴x1＞x2f（x）在（0，﹣），（﹣，+∞）上单调递减，（﹣，﹣）上单调递增；①当时，即≤a＜0，最大值为f（4）=4a2+（16+ln4）a+8；②当﹣＜＜1＜﹣≤4时，即﹣1＜a≤，最大值为f（﹣）=aln（﹣）﹣a﹣；③当﹣＜＜﹣≤1＜4时，即﹣＜a≤﹣1，最大值为f（1）=a2+a+2；（3）由题意知：f（x）=?由①②化简后：alnx﹣a﹣ax2=x?则说明a（lnx﹣x2﹣1）=x有两个根；∵a＞0，x＞