2021年湖南省株洲市高考数学一模试卷(理科)及解析

3．已数是，3．已数是，）nS{a}的．13n16）共12个小每小题共60分.在每小题给个.1合{x|＜2，B={x|2x1}，则∩（）A．{x|0＜x＜2}B．x|＜2}C．{x|＞0}D{|x＜2分）已知单位，∈R，则（）A．﹣1B．．2D．﹣（5分{a递数是n项a=4，则=（）A．31．32．D．644分）如图所示三时代数学赵在周髀算经》中用图，给出了理的证．中含四个等的直三形一个小（阴直角三角形一内角为，若向图内随机抛掷1000颗米粒（大忽略不计落在正方形（阴）的米粒数约为（）A．BC．D．5005分）知x）是定义在上奇函．当x＞时，（x）=x2﹣x，则不等式（）0的解集用区间表为（）A，1））∪（1+∞），）（，）D10∪（1+∞）6分x﹣2）10展开中的系数为（）A．10．30．D．2107某三棱三图如粗线每个单元格长为该三棱柱外接表积（）Bx，（，）Bx，（，）Cx，（点Dx，（A．4πB．π．πD168已知]表示不过的最整，[][1=1，]=2执行图示程框，输出的为（）A．450BC．D9分）已知函数m，为整数）的图象如图所示，则n的值可能为（）A．m=2，﹣B．，．，n=1Dm=1，110分已知（）x＞）的图象关于点

对称，且x）在区间

上单调，则的值为（）A．1B．．．11分）知抛线

和圆，直线y=k（x1）与1，2依次相交于x1，1，（y2，）中112．已棱中112．已棱）三11，面柱棱111ijx＜x＜xx|AB•|CD的为（）A．1B．．（5分直柱ABCABC的侧棱为且底是边为的正三角形平棱侧BBCC，分别交于三点N，若eq\o\ac(△,为)（）A．．题，满分案填）5分是长为的等三角形E为边的点则=

．）已实数y足+y的大值为．分）已知双曲线经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的长，双曲线的离心为．16分）如表出个“等数”：中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列数．则在这“数阵现的数为．47a71217a101724a

jj

a

i1

a

i2

a

i3

a

ij

三解答题（本大题共小，共分.解答写出文说明、明过程或演算步.）17分，点在边，∠BCD为锐角，CD=2eq\o\ac(△,，)的面积为．（1）求cos∠的；（2）求边的长．18分如图，在几何体中，四边形为形，四边形为梯形AB∥，平面CBE与平面垂直且⊥BE．（1）求：⊥平面；（2⊥AD与平面ADEF所的余为，求的．19分）某协对A，两服务机构进行满意度查，在B两家服务机构提供过服务市民中随机抽取了人，每人分别对这两家服务机构行评分，满分均为．整理评分数据，将分数以10为组成组[0，2030，[30，40，5050，，得到A服务机构数的频数布表，服务机构分数的率分布直方：A服务机构数的频数分表分数区间

频数[0，）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]定义市服务评价的满意度指数如下：分数[30））满意度

012（1）在抽样的人中，对B服务机构评价“满意度指数”为的人数；00从在两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取进行调查，试估计其对务机构评价的意指数对服务构评价的意度指数高的概率；如果从B服务构中选择一家服务机构，你会选择哪家？说明理由．分）已椭圆

与直线﹣都过点．直线与平行，且与圆交于B两点，直线，MB与x于F．圆的；证为腰三形．21）已函数x）=lnx+（x﹣1）2（a＞0．讨论fx）单调性；若fx）区间0，1）内有唯一的零点，证明：．请在、23题任题多则第题分.[选修4-4：坐标系与参]22分）已知曲线极标程是θ以为平面角标系的点，轴为x轴的轴平直，直线的数方程是（t数．（1）线的方程直方程；（2）若直线与曲线相交于B点，且角的值．[选修4-5：不等式选讲]23已知数x）=|+1﹣|x|+，若﹣1，求不等式x）0的解；若方程（）有三同解求的取值范．3．已数是，）nS{a}的3．已数是，）nS{a}的．13n16解：q，是数．nn1311且a＞＞a2a0又12362018湖南洲市数学试卷科）参考答案解析共12个小每小题共60分.在每小题给个.1合{x|＜2，B={x|2x1}，则∩（）A．{x|0＜x＜2}B．x|＜2}C．{x|＞0}D{|x＜【解答】解：∵{x|2x＞={x|x＞0，∴A∩B={|0x＜2}，故选A2分）已知单位，∈R，则（）A．﹣1B．．2D．﹣【解】解：由，得2=1i+i=a+（1a）i，∴．故选：B．（5分列{a递增数是项a=4，则=（）A．31．32．D．64【解为递增的＞﹣因为+a=a+aq2

=5，，，

=4，所以得a，a=2a=4，，则=（1q6）=q﹣1=64﹣．故选4分）如图所示三时代数学赵在周髀算经》中用图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影直角三形有一内为，若向弦图内随机抛掷颗粒（大忽略不计落在正方形（阴）的米粒数约为（）A．BC．D．500【解】解：设大正方的边为则小正方边长为，向弦内随抛掷颗米粒大小忽略不计，设落在小正形（阴影）内的米粒数大约为，则，解得（．故选：．5分）知x）是定义在上奇函．当0时，（x）2﹣x，则不等式（）＞的集用区间表示为（）A11））∪（+∞），）（，）D10∪（1+∞）【解】：根据题意，当0时，fx）2﹣x，若x）＞，有﹣＞0，可得1，即在1，∞）上，（）＞，反之在（0，1），（＜0，又由函数为奇函数，则在（，﹣，（x＞0，（∞，﹣1）（x）＜0，则不等式x）＞0的（﹣0∪（+∞故选：D．【解】解x﹣x2=[1+（【解】解x﹣x2=[1+（）展通为（开项x=x102对于）公【棱柱的得柱是一放的﹣11116分x﹣2）10展开中的系数为（）A．10．30．D．210）﹣的的式﹣x）r．（﹣为=•xrmx2）m，+令，根据≤≤r，rm为然，得或．∴（1+x﹣x2）10展式中项系数为

=﹣+．故选：．7某三棱三图如粗线每个单格长为则三棱柱外接表积（）A．4B．8C．12D16解答】三图该棱直三棱ABC，其eq\o\ac(△,中)ABC是等直角角形AB=AC=2，AB⊥AC，⊥面ABC，=2，如图，∴该棱外球半径==∴三棱柱外接球的表面积：S=42=4=12．故选：．

，8分）已知[x]表示不超过的最大整，[][1=1，]=2执行图示程框，输出的为（）A．450BC．D【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=[]+[]+[]+]的值，S=[]+[]++[]+[]×0+10×+×10×9++2030+90+10=460．故选：．9分）已知函数m，为整数）的图象如图所示，则n的值可能为（）A．m=2﹣B．，n=1．，n=1Dm=1，﹣1解：根据图象可得1）∈（，﹣1时不满足，故排除A，D；当时，（x）=，故函数fx）无极值故不合意，故选：B10分已知（）ωx＞）的图象关于点

恒成，对称，且（x）在区间

上单调，则ω的值为（）A．1B．．．【解】解fx）的关于（，∴cos，∴ω=

+π，k∈Z，解得+，∈Z令kπ≤≤+kπ，解得+，k∈；∴fx）在[0，，∵fx）在（0，，∴≤得；又∵ω0，∴．Bx，（，）其Cx，（Bx，（，）其Cx，（四Dx，（中1】点）由：A同理：AD12．已棱柱ABC﹣5分直11111故选：D．11分）知抛线

和圆，直线（﹣）与，2依相交于x1，，（y，）x＜x＜xx|AB|CD|的值为（）A．1B．．【解答2，焦，准线：﹣1．定得+1，又∵|AF|=|+1∴|AB|=x，|CD|=x，由题可直线的斜率存且等于，则线的方程：（x﹣代入物方程得：2x2﹣（2k2+4）x+2，∴xx=1则|||CD|=1．综上述，||CD|=1，故：．（知ABC的侧长为且面边长为的正三角形，一面此柱与棱AABBCC，分别于三点NQ，若△角该角最（）A．．【解】解：如不妨设N在B处，，CQ=m，则有MB2=h2

+4，BQ=m+4MQ2=（m）+由2=，2+MQ2

⇒2

﹣+2=0．eq\o\ac(△,8)﹣h2≥8该角角斜边故：．

．题，满分案填）13分）是边长为的等边三形，E为边的点，则3

．【解答】：E为边三角形中，∠BAE=30°，AE=，∴|cos30°=2××cos30°=3，故答案为：．14）已实数，y满足则+y的最值为．【答】解：作出不等式组应平面域如图影．由+得y=﹣+，平移线﹣2x+z，由图象当线2x+z经点时直线y=﹣2x+z的截最大，此时z最．由）将20的坐标入目函数z=2x+，121122112121122112得2+0=4．即z=2x+的最值为．故答为：15分）已双曲线经过正方形的四个顶点且双线的距等该正方形的长，双曲线E的离心率为．【解解根据意如图设双曲线E经过的方形四个点为ABC、D其A在第一象限，双曲的两焦点为F、F，连接AF，若双曲线的焦距等于正方形边长，有FF|=2c，|AF|=c，则有|AF|=c，则2a=||﹣|AF|（﹣1c，则双曲线的离心率e==故答为

；5分“等5分“等中数阵数数ij16（表出个其每差表位于第行第j列的数则112在这“差数阵现的次为7．47a71217a101724a

jj

a

i1

a

i2

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i3

a

ij

【答】解：根据图象和每行、每列都是等数列，该差数首为4，公差为3的等差+3（j﹣第二是首为7，公为5的差=7+j﹣1）第i行是首项为+3（﹣1为+1的等数列，因此a=43（i﹣1）+（+1﹣1=2ij+i+j，要找在该等差数阵中的位置，也就是要找整数j，使得2iji+j=112，所以j=

，当i=1时，j=37，当时，，当i=4时，j=12，当i=7时，当i=12时，当i=22时，当时，．∴这差数阵现的为．故答：．三解答题（本大题共小，共分.解答写出文说明、明过程或演算步.）17分，点在边，∠BCD为锐角，CD=2eq\o\ac(△,，)的面积为．求cos∠的值；求边的．【解答解）∵，则：，∴．∴；2）中，，由余定理得DB2=CD2+BC﹣2CD•BC•cos∠，即，∵DB2

+CD

=BC2

，∴∠，eq\o\ac(△,即)ACD为角角形，∵，∴AC=2CD=4．18分如图，在几何体中四边形为矩形，边形ABCD为梯形AB∥，平面CBE与平面垂直且⊥BE．求证ED⊥平面；若AB⊥BCE与平ADEF所成锐二余为，求的．【解答】证明）因为平面与平面垂直，且⊥BE，平面与面的交线为，所以⊥面，又⊂面BDE，所，CB⊥，在形中，ED⊥，又四边形为梯形，AB∥所以与相，故平面．解）（1）知，垂直，垂直，又垂直，AB平行，所以直，如图，以为坐标点、、DE为，，z系又⊥，∠，所以，设则（11，（0，2，0（0，a，=﹣1，﹣a，10）设面的向量为，则令x=1，则面法向量为，平面的法向量为，因平面与平面所成锐二面角余弦值为，则，即得，即．19分）某协对B两服务机构进行满意调查，在B两家服机构提供过服务市民中随机抽取了人，每人分别这两家服务构进行评分，满分均为．整理评分数据，将分数以组距成组[0，102030，[30，40，5050，，得到服务机构数的频数分表，服务机构分数的率分布直方：A服务机构数的频数分表分数区间数[0，）[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60]定义对服构评价的满意度指数如下：分数））满意数

012（1）在抽样的人，求对服务机构评价“满意度指数”为的人数；（2）从在B两服务机构提供过服务的市中机抽取人进行调查，务价指12务价指01”务价指12务价指01”为12率率01ij=PBA+BA+BA），试估计其对务机构评价的意指数对服务构评价的意度指数高的概率；（3）如从B服务构中选择一家服务机构，你会选择哪一家说明理由．【解答】）由对服务机的频率分布直方图，得：对服务构“满意指数”为的频率为（0.003+0.0050.012）×，所以对服机构“满意度”为的人数为×0.2=200人．（2）设对服务构评‘满意指’比对服机构‘满意度指’高”为事件．记“对服评度事件B对服务构评价满指数’为为件B；“对服评度为事件对A服务机构评价满度指数’为．所以P（B）=（0.02+）×10=0.4，（B），由用频概（A），A）=0.55，因为事件与B相互独立，其中2，j=0，1．所以P（）201所以该生对服机构价的意度指数对服务机评价的意度指数”的概为．（3）果从学对B两服务机构评价的满度指数的望角度看：B服务机“满意度数”X的布列为：X012（：为（）211（：为（）2111212斜率为MAMAMBMAMBP0.20.40.4A服务机构“满意度指的分布：Y012P0.10.55因为X）×0.2+1×0.420.4=1.2；（Y）=0×0.1+1×0.55+2×所以E（X）＜EY选择A服务机构．分）已知圆

与直线：﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且椭圆交于B两点，线，MB与x轴别于，F两求圆C方证eq\o\ac(△,：)MEF为等腰角形．【解】）由直线：﹣ay=0都经过点，则a=2b将

代入椭圆方：b2=4，2=16，∴椭圆C方程为2证设直：x，y，B（x，y）联立：x∴x+x=﹣xx=2t2﹣

++2t

2

﹣，设直线，的要eq\o\ac(△,证)eq\o\ac(△,)MEF为等三形只需k+k=0由，k+k=所以△为等腰角形．

，

=001212001212021）已数（）=lnx+（x﹣1）（a＞0．讨论x）单调性；若x）区间0，1）内有唯一的零点，证明：．【解答解），①当a≤2时，（≥（x）（，+∞上单递，②当时设2ax﹣2ax+的两个