圆的对称性垂径定理

关于圆的对称性垂径定理第一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日圆的对称性（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。圆的基本性质

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.第二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日几个重要概念圆弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.ABCD弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）.直径经过圆心的弦叫做直径（diameter）.注

弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.例如优弧ACD（记作）劣弧ABD（记作）ACDAD第三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日CD想想做做

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.MOABBAABABAB第四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCD

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。MO③AM=BM,小明发现图中有:由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.(HL)第六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCD想想做做

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.MO垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.第七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日垂径定理三种语言定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.

想一想P906●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日想想做做看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?EEE不可以不可以可以可以第九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCD

如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.MO（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。②CD⊥AB,小明发现图中有:由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCD想想做做

如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.MO逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.第十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCDMO垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日●OABCDM└垂径定理及逆定理条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.第十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日

课时P61-62第十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日2.圆对称性(2)

垂径定理的应用第十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日ABCDMO垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.逆定理

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.第十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日●OABCDM└垂径定理及逆定理条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和它所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.第十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日●OABCDM└按图填空:(1)若CD⊥AB，CD为直径，则______，________，_______；(2)若AM=BM，CD为直径，则______，________，_______；(3)若CD⊥AB，AM=BM，则______，________，_______；(4)若AC=BC，CD为直径，则______，________，_______；第二十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）×√××√第二十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日挑战自我垂径定理的推论

如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论

圆的两条平行弦所夹的弧相等.第二十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.ABMO垂径定理的应用第二十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。弓形高：弧的中点到弦的距离叫做弓形的高。第二十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日垂径定理三角形已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E.⑴若半径r=2，AB=,求OE、DE的长.⑵若半径r=2，OE=1，求AB、DE的长.drh第二十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日drh垂径定理三角形弦长a，弦心距d，半径r，及弓形高h四者之间的关系知2求2（1）已知r,d（2）已知r,h（3）已知r,a（4）已知d,h（5）已知a,d（6）已知a,h在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.⑴d+h=r⑵第二十六页，共四十一页，编辑于2023年，星期日垂径定理的应用(测公路的弯道的半径

)解：连接OC.

设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.

∵OE⊥CD，

∴CF=1/2CD=1/2×600=300（m）.

根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002+（R-90）2

解这个方程，得R=545.

所以，这段弯路的半径为545m.RmF0CDE例2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心），其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.CDCDCD第二十七页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).第二十八页，共四十一页，编辑于2023年，星期日解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2第二十九页，共四十一页，编辑于2023年，星期日例：在半径为5的圆内，有两条互相平行的弦，长度分别为6和8，求这两条平行弦之间的距离。练：在半径为5的圆内，有一个等腰梯形，它的两底长度分别为6和8，求这个等腰梯形的面积。第三十页，共四十一页，编辑于2023年，星期日垂径定理的应用2、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600BAO600ø650DC第三十一页，共四十一页，编辑于2023年，星期日2.如图，某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？第三十二页，共四十一页，编辑于2023年，星期日∴此货船能顺利通过这座拱桥.解:如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O,半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C。根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R=3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得第三十三页，共四十一页，编辑于2023年，星期日3、已知：如图，⊙O

中，AB为弦，C

为的中点，OC交AB

于D

，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O

的半径OA.第三十四页，共四十一页，编辑于2023年，星期日如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.●O●M第三十五页，共四十一页，编辑于2023年，星期日4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.·ABCD0EFGH第三十六页，共四十一页，