高三数学函数的单调性奇偶性及函数的周期性知识精讲

高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】【知识点精析】1.函数的单调性：设函数yf(x)的定义域为I，D是I的一个区间，如果对于任意的x,xD，其xx，都有f(x)f(x)则称f(x)在区间D上是增函数，同时D是函1 2 1 2 1 2数f(x)的增区间；如果对于任意的x,xD，且xx都有f(x)f(x)，则称f(x)1 2 1 2 1 2在区间D上是减函数，同时，D是函数f(x)的减区间。并统称具有上述情况的函数具有单调性。注：单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数yx3在（0，）同时在（,0），偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。如f(x)(x1)22求f(x2)的单调增区间令zx21，则f(z)关于z是增函数又zx2当x(0,)时，z关于x是增函数∴(1,)是函数f(x2)的增区间令zx21，则f(z)关于z是减函数又zx2当x(,0)时，z关于x是减函数∴(1,0)是函数f(x2)的增区间综上所述，函数f(x2)的增区间为(1,0)和(1,)对于可导函数yf(x)，若在独立区间D上，f(x)0，则f(x)是D上的增函数，f(x)0，则为减函数。函数的奇偶性：对于函数yf(x)，D是其定义域，若任取xD，都有f(x)f(x)，则称yf(x)是偶函数，若任取xD，都有f(x)f(x)，则称yf(x)是奇函数，函数的奇偶性是函数的整体性质，无论是奇函数，还是偶函数，都称它们具有奇偶性，这点不同于单调性。注：由定义可知，函数定义域在x轴上反映出具有关于原点对称的特征，这是函数具有奇偶性的必要条件，也即不是这一特征，不说函数的奇偶性。当然，既然有奇函数，偶函数，也就有非奇非偶函数，那么是否有既是奇函数又是偶函数呢？有，如f(x)0，xD是常函数，则只要D关于原点对称即是既奇又偶函数。函数的奇偶性，从其图象上反映出来的特征其实是它的对称性，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，且条件具有充要性。这一图象特征，又可延伸到《解析几何》的研究方法上。对于奇函数yf(x)，若0D，则必有f(0)0。在初等函数中，一次函数ykxb只可能是奇函数，但要求b0，二次函数yax2bxc只可能是偶函数，但也要b0（对称轴是y轴），指数、对数函数是不具有奇偶性的，三角函数具有奇偶性。在公共定义域内，两个同奇偶的函数之和、差、积、商不改变其奇偶性，一奇一偶的积、商为奇函数，这一点类似符号法则（视奇为“－”偶为“+”）。判断函数yf(x)的奇偶性的方法关系式：f(x)与f(x)关系f(x)计算式：f(x)f(x)0或是1（奇函数）f(x)f(x)f(x)f(x)0或是1（偶函数）f(x)任意一个函数yf(x)都可以构造出具有奇偶性的函数如F(x)f(x)f(x)（偶函数）G(x)f(x)f(x)（奇函数）函数的周期性：对于函数yf(x)，若存在一个常数T（T0）使得对于定义域中的任意x值，都有f(Tx)f(x)成立，则称T是f(x)的周期。周期性也是函数的一个整体性质，这点在三角函数中有充分的表现，在高数中常以抽象函数的形式出现，其图象特征便是规律性再现。注：抽象函数的周期表现，对于函数yf(x)，若f(xa)f(xb)(ab)f(x)是周期函数，且Tab，若f(xa)f(xb)(ab)f(x)是周期函数，且T2(ab)从函数图象上分析，定义在R的一个函数，如果图象有两条对称轴，xm与xn（mn），则它必有无数对称轴，且它是周期函数，T2(mn)，如果其图象有一个对称中心，一条对称轴，则它必有无数的对称中心与对称轴，且它是周期函数，T4(mn)。若T是f(x)的周期，则kT（k0,kZ）亦为f(x)的周期，一般我们尽可能选择正数，较小的数作其周期（即最小正周期）。【解题方法指导】[例1]判断下列函数的奇偶性 x1 1x（1）f(x) （2）f(x)logx1 a1xaxax（3）f(x)log(xx21)（4）f(x)aaxax解：x1时函数有意义，但x1，故定义域不是对称性∴f(x)是非奇非偶函数 1x 1xf(x)loglogf(x)a1x a1x∴f(x)是奇函数（这里要注意对数的运算法则）1f(x)log(xx21)logaaxx21log(xx21)f(x)a∴f(x)是奇函数（判断奇偶性不应仅从形式上观察，以x代x可能使得函数表达式不具可判断的形式，要依赖函数本身的运算性质进行变形比较，方可得结论。） axax axaxf(x)f(x) axax axax∴f(x)是奇函数g(x)g(x)g(x)g(x)本函数也可分解令g(x)ax，则f(x)，而分子是奇函数，分母是偶函数，故其商为奇函数。[例2]已知f(x)asin2xbtanx1，且f(2)4，求f(2)的值。分析：已知条件中含有2个参数，仅由f(2)的值求f(2)的值，就要建立f(2)与f(2)的相关联，整体求解，而非确定a,b再求解，这种关联便是通过函数的奇偶性来确定。解：设g(x)f(x)1asin2xbtanx则g(x)f(x)1asin(2x)btan(x)asin2xbtanxg(x)g(x)f(x)1asin(22x)btan(x)asin2xbtanxg(x)∴g(x)是周期为的奇函数f(2)g(2)1g(2)1g(2)1[f(2)1]12f(2)242即f(2)21[例3]函数yf(x)是以4为周期的函数，且当x[2,2)时，f(x)x1，则当2x[2n,2n4),n2时，试求f(x)的解析式。分析：区间[2n,2n4)呈现两种情形n2k1(kZ)图象如x[2,2)时，n2k(kZ)图象如x[0,4)解：当n2k1(kZ)，则[2n,2n4)[4k2,4k2)x[4k2,4k2)x4k[2,2)k而T4xn当n2k(k2)，则[2n,2n4)[4k,4k4) 1 1x1x[0,2) x[0,2)时，f(x)x1 2∵21f(x)12x1x[2,4)x[2,4)时，f(x)x121x[4k,4k2)x4k[0,2)f(x4k)(x4k)12n1x[4k2,4k4)x4k[2,4)f(x4k)(x4k)12n1综上所述，当n为奇数时，f(x)xn，x[2n,2n4)21n为偶数时，f(x)2x1nx[2n,2n2)当12x1nx[2n2,2n4)注：函数周期性不是高考的重点，但对于可结合图象变换，求具周期性的函数解析式等问题是要考查的。a2xa2[例4]设aR，f(x)（xR）是奇函数。2x1求a的值；判断函数的单调性，并证明你的结论。解：f(x)是奇函数，则必要条件为f(0)02a2即0a122x1将a1代入得f(x)是奇函数，即a1为所求2x1 2x12 2f(x)1观察分析f(x)是R上增函数。 2x1 2x1证明：方法一：x,x(,)且xx2 1 22 2(2x12x2) f(x)f(x) （*） 1 2 2x212x11(2x11)(2x21)∵指数函数2x是R上的增函数∵xx∴2x12x21 2即2x12x20(*)0即f(x)f(x) 1 2∴f(x)是R上增函数2ln22x方法二：f(x)0∴f(x)是R上的增函数(2x1)2注：对于可导函数，以导数为工具判断单调性经常是快捷的方法，要注意正确使用。【考点突破】【考点指要】高考历来将函数的性质，特别是围绕函数的奇偶、单调、周期性展开，其题目综合性强，角度易变，联系其它章节诸如不等式，解析几何，、三角函数，导数等较多，一定要全面把握，注重联系，其中方程思想、函数思想、数形结构思想，化归构造等方法，都是要充分考虑与应用的。【综合测试】选择题：1.（05年重庆）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x取值范围是（）A.(,2)B.(2,)C.(,2)(2,)D.(2,2)2.（06年山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（）A.1B.0C.1D.213.（05年天津）设f1(x)是函数f(x)(axax)(a1)的反函数，则使f1(x)12成立的x的范围是（） a21 a21 a21A.(,)B.(, )C.(,a)D.[a,) 2a 2a 2a4.（06年全国II）函数yf(x)的图象与函数g(x)logx(x0)的图象关于原点对2称，则f(x)的表达式为（） 1 1A.f(x)(x0)B.f(x)(x0)logx log(x) 2 2C.f(x)logx(x0)D.f(x)log(x)(x0) 2 25.（02年上海）函数yxsinx，x[,]的大致图象是（）(3a1)x4ax16.（06年北京）已知f(x) 是(,)上的减函数，则a的取logx x1a值范围是（） 1 11 1A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1) 3 73 7填空题7.（03年北京）函数f(x)lg(1x2),g(x)2x，h(x)tan2x中，是偶函数。18.（05年天津）设f(x)的定义在R上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x对称，2则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)。9.（05年全国）若正整数m满足10m1251210m，则m（lg20.3010）10.（05年辽宁）w是正实数，设S{|f(x)cos[w(x)]是奇函数}，若对每个w实数a，S(a,a1)的元素不超过2个，且有a使S(a,a1)含2个元素，则w的w w取值范围是。解答题11.（05年广东）设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)f(3)0试判断函数yf(x)的奇偶性；试求方程f(x)0在闭区间[2005,2005]上根的个数，并证明你的结论。12.（06年福建）已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm求f(x)在[t,t1]上的最大值h(t)；是否存在实数m，使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

【综合测试答案】一.D提示：偶函数在对称区间上的单调性相反B提示：f(x)的周期为4∴f(6)f(2)而f(2)f(2)f(2)0A提示：f(x)是增函数，满足条件f1(x)1的x值，即满足x1时f(x)的值，即求f(x)的值域，也可利用f1(x)与f(x)单调性相同来解。D提示：可利用解析几何中求轨迹的方法解决，也可分析出两个函数图象可构成一个奇函数设为F(x)的图象，设x0x0F(x)g(x)log