职高数学教案2

§6.1数列的概念

【教学目标】

知识目标：

(1)了解数列的有关概念；

(2)掌握数列的通项(一般项)和通项公式.

能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力.

【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.

【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式.

【教学设计】

通过儿个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列.讲解数

列的通项(一般项)和通项公式.

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往不

易理解什么是“一定次序”.实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次

序”，比如我们随便写出的两列数：2,1,15,3,243,23与1,15,23,2,243,3,就

都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，

因此是不同的数列.

【教学过程】

*揭示课题6.1数列的概念.

*创设情境兴趣导入

将正整数从小到大排成一列数为1,2,3,4,5,….(1)

将2的正整数指数器从小到大排成一列数为2,22,23,2—25,….(2)

当"从小到大依次取正整数时，cos”兀的值排成一列数为T,1,T,1,….(3)

取无理数兀的近似值(四舍五入法)，依照有效数字的个数，排成一列数为

3,3.1,3.14,3.141,3.1416,….(4)

*动脑思考探索新知

【新知识】按照一定的次序排成的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起，按

照自左至右的排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第3项，…，第〃

项，…，其中反映各项在数列中位置的数字1,2,3,…，小分别叫做对应的项的项数.

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做无穷数列.

【小提示】数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念.如数列（2）中，第3项为23,这一项

的项数为3.

【想一想】上面的4个数列中，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？

【新知识】

由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对应，所以无穷数列的一般形式可以写作

q,生,生，（〃eN）

简记作｛/｝.其中，下角码中的数为项数，q表示第1项，a2表示第2项，….当”由小至大依次取正

整数值时，。“依次可以表示数列中的各项，因此，通常把第“项。“叫做数列｛%｝的通项或一般项.

*运用知识强化练习

1.说出生活中的一个数列实例.

2.数列“1,2,3,4,5”与数列“5,4,3,2,1”是否为同一个数列？

3.设数列｛%｝为“-5,-3,-1,1,3,5,…”，指出其中田、/各是什么数？

*创设情境兴趣导入

【观察】

6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的正整数.4=1,“2=2，%=3，…，

可以看到，每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用%=〃（〃eN*）表示.

利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如卬=11,“20=20.

6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的2的正整数指数基.

=2,=2,“3=2，,,,,

可以看到，各项的底都是2,每一项的指数恰好是这项的项数.这个规律可以用%=2"（〃eN*）

表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如%=2","20=22°.

*动脑思考探索新知

【新知识】一个数列的第"项a“，如果能够用关于项数小的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数

列的通项公式.

数列（1）的通项公式为““=〃，可以将数列（1）记为数列仇｝;数列（2）的通项公式为a“=2",

可以将数列(2)记为数列｛2"｝.

*巩固知识典型例题

例1设数列｛%｝的通项公式为%=*，写出数列的前5项.

分析知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需将通项公式中的〃换成该项的项数，并计算

出结果.

例2根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式.

(1)5,10,15,20,•••；⑵▲,-,一,—,•••；(3)-1,1,-1,1,

2468

分析分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式子表示这种关系.

【注意】由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一的.例如，4,=(-1)"与q=£；05〃兀都是例2

(3)中数列"-1,1,T,1,….”的通项公式.

【知识巩固】

例3判断16和45是否为数列｛3〃+1｝中的项，如果是，请指出是第几项.

分析如果数。是数列中的第2项，那么人必须是正整数，并且o=3k+l.

*运用知识强化练习

1.根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：

(1)a.=3"—2；(2)=(―1)”,〃.

2.根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公式：

(1)-1,1,3,5,…；(2)—,一,—,—，…；(3)—,_»_,一，

369122468

3.判断12和56是否为数列｛〃2一力中的项，如果是，请指出是第几项.

*理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：数列、项、项数分别是如何定义的？

*归纳小结强化思想

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项.

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6.1A组(必做)；6.1B组(选做)

(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例

教学后记：例1和例3是基本题目，前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项

公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用.

例2是巩固性题目，指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,

采用对应表的方法比较直观，降低/难度,学生容易接受.

§6.2等差数列(一)

【教学目标】

知识目标：

(1)理解等差数列的定义：

(2)理解等差数列通项公式.

能力目标：

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等差数列的通项公式.

【教学难点】等差数列通项公式的推导.

【教学过程】

*揭示课题6.2等差数列.

*创设情境兴趣导入

【观察】

将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：

5,10,15,20,….(1)

将正奇数从小到大列出，组成数列：

1,3,5,7,9,(2)

请观察数列中相邻两项之间的关系

*动脑思考探索新知

如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等

差数列.这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示.

由定义知，若数列｛4,｝为等差数列，d为公差，则%即

(6.1)

*巩固知识典型例题

例1已知等差数列的首项为12,公差为-5,试写出这个数列的第2项到第5项.

*运用知识强化练习

1.已知｛%｝为等差数列，%=-8,公差d=2,试写出这个数列的第8项a.

2.写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.

*创设情境兴趣导入

你能很快地写出例I中数列的第101项吗？

*动脑思考探索新知

设等差数列｛”“｝的公差为“，则

%=%,

a2=at+d,

a3-a2+d-+d)+d-ai+2d,

a4—a3+d-+2d)+d=a1+3d,

依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式

an=%+(n-I)d.(6.2)

【想一想】

等差数列的通项公式中,共有四个量：a,、%、及和d,只要知道了其中的任意三个量，就可以

求出另外的一个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

*巩固知识典型例题

例2求等差数列一1,5,11,17,...的第50项.

例3在等差数列｛a,J中，％0G=48,公差4=提求首项&

分析：本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：“=100,4=48,4=g.

例4小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好构成一个等差数列,他们三人的年龄之和

为120岁，爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多5岁，求他们祖孙三人的年龄.

分析知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的和,可以将这三个数设为a-d,a,〃+d,

这样可以方便地求出a,从而解决问题.

【注意】将构成等差数列的三个数设为a-d,a,是经常使用的方法.

*运用知识强化练习练习6.2.2

*归纳小结强化思想

等差数列的通项公式

an=%+(n-1)J.

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6.2(必做)；学习指导6.3(选做)

(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例

教学后记

本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等

差数列的通项公式；难点是通项公式的推导.等差数列的定义中，应特别强调“等差”的特

点：-氏=d(常数).例1是基础题目，有助于学生进一步理解等差数列的定义.

教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方

法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的

通项公式及其中任一项的巩固性题目，注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个

量：q,d,〃，凡，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.

§6.2等差数列

【教学目标】

知识目标：

理解等差数列通项公式及前〃项和公式.

能力目标：

通过学习前〃项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等差数列的前〃项和的公式.

【教学难点】等差数列前〃项和公式的推导.

【教学设计】

本节的主要内容是等差数列的前〃项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前

〃项和公式；难点是前〃项和公式的推导以及知识的简单实际应用.

等差数列前〃项和公式的推导方法很重要，所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并

学会应用.等差数列中的五个量.、d、〃、a,、S,中，知道其中三个,可以求出其余两个，

例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法.

例7将末项看作是首项的思想是非常重要的，以这类习题作为载体，对培养学生的创新

精神是十分重要的.

【教学过程】

*揭示课题

6.2等差数列.

*创设情境兴趣导入

【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候的故事。

*动脑思考探索新知

从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1,第100项为100,公差为1的等差数列.小

高斯的计算表明，这个数列的前100项和为

(1+100)x100

2-

现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和.

将等差数列｛对｝前〃项的和记作S,,.即

S”=4+“2+%+…+«„-2+%+««•(1)

也可以写作

Sn=a,,+a„_1+an_2+■■■+a3+a2+.(2)

由于

4+%=4+an,

%+%i=("i+d)+—)="i+%，

a

“3+4-2=(i+2d)+(%—2d)=4+an,

(1)式与(2)式两边分别相加，得

2S”="(q+%)，

由此得出等差数列｛",｝的前〃项和公式为

(6.3)c”(，4+卬)

即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半.

知道了等差数列｛%｝中的囚、〃和。“，利用公式(6.3)可以直接计算S”.

将等差数列的通项公式%=%+(〃-l)d代入公式(6.3),得

1=叫+与L(6.4)

知道了等差数列｛/｝中的％、〃和"，利用公式(6.4)可以直接计算S“.

【想一想】

在等差数列｛/｝中，知道了q、d、〃、%、S.五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量.针

对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

*巩固知识典型例题

例5已知等差数列｛%｝中，q=-8,出0=106,求&()•

例6等差数列-13,-9,-5,-1,3,…的前多少项的和等于50?

【想一想】例6中为什么将负数舍去？

*运用知识强化练习练习6.2.3

*巩固知识典型例题

例7某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共

有多少个座位？

【想一想】比较本例题的两种解法，从中受到什么启发？

例8小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款.从元月份开始,每月第1天存入银行1000

元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和(简称本利和)总额是多少(精确

至IJ0.01元)?

【说明】年利率1.71%,折合月利率为0.1425%.计算公式为月利率=年利率+12.

练习6.2.4

*归纳小结强化思想

结论：鼠=82,

2

71(/7—1)

s〃=叫+---d.

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6.2(必做)；学习指导6.2(选做)

(3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题

§6.3等比数列

【教学目标】

知识目标：

(1)理解等比数列的定义：

(2)理解等比数列通项公式.

能力目标：

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等比数列的通项公式.

【教学难点】等比数列通项公式的推导.

【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等

比数列的通项公式；难点是通项公式的推导.

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清

楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重

视.同时要强调“等比”的特点：区包=4(常数).

册

【教学过程】

*揭示课题6.3等比数列.

*创设情境兴趣导入

【观察】某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在今后的5年内，每年的产值都比

上一年增加10%,那么今年及以后5年的产值构成下面的一个数列(单位：万元)：

1000,1000x1,1,1000x1.12,1000x1.P,1000x1.14,1000x1.15.

不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的11倍，即从第2项开始，每一项

与它的前一项的比都等于1.1.

*动脑思考探索新知

【新知识】如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数

列叫做等比数列.这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示.

由定义知，若｛外,｝为等比数列，q为公比，则q与q均不为零，且有理=«,即

(6.5)

巩固知识典型例题

例1在等比数列｛4“｝中，。1=5,4=3,求“2、。3、“4、a5•

【试一试】你能很快地写出这个数列的第9项吗？

*运用知识强化练习练习6.3.1

*创设情境兴趣导入如何写出一个等比数列的通项公式呢？

*动脑思考探索新知

与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律.

设等比数列｛%｝的公比为q,则

a2=«,q,

2

a3=a2q=｛a,q')q=a,q,

【说明】q=q4=q

依此类推，得到等比数列的通项公式：少刃(6.6)

知道了等比数列｛%｝中的■和q,利用公式(6.6),可以直接计算出数列的任意一项.

【想一想】

等比数列的通项公式中，共有四个量：％、卬、〃和q,只要知道了其中的任意三个量，就

可以求出另外的一个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

*巩固知识典型例题

例2求等比数列一1一,一…的第10项.

248

例3在等比数列｛。“｝中，a5=-1,«8=--＞求牝.

8

【注意】本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【想一想】在等比数列｛外,｝中，a7=~,q=；.求的时，你有没有比较简单的方法？

【知识巩固】

例4小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列.已知他

们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64.并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的

鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？

分析知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为2,。,这

q

样可以方便地求出m从而解决问题.

【注意】将构成等比数列的三个数设为是经常使用的方法.

q

*运用知识强化练习

1.求等比数列2,6,….的通项公式与第7项.

2.在等比数列｛4｝中，”2=-±，%=-5,判断一125是否为数列中的项，如果是，请指出是

第几项.

*理论升华整体建构

等比数列的通项公式是什么

-l

结论：an=%-q".

*归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6.3A组(必做)；教材习题6.3B组(选做)

(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题

【教师教学后记】

例1是基础题目，有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比

数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加

以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：％,(7，n,an,只

有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例3都是这类问题.注意：

例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.

从例4可以看到,若三个数成等比数列，则将这三个数设成是a,。夕比较好,因为这

q

样设了以后,这三个数的积正好等于很容易将a求出.

§6.3等比数列

【教学目标】

知识目标：

理解等比数列前〃项和公式.

能力目标：

通过学习等比数列前〃项和公式,培养学生处理数据的能力.

【教学重点】等比数列的前〃项和的公式.

【教学难点】等比数列前〃项和公式的推导.

【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的前〃项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前

〃项和公式；难点是前〃项和公式的推导、求等比数列的项数〃的问题及知识的简单实际

应用.

等比数列前〃项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并

学会应用.等比数列的通项公式与前〃项和公式中共涉及五个量：q、q、〃、%、S„,只

要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.

教材中例6是已知％、％、S“求q、〃的例子.将等号两边化成同底数靠的形式，利用

指数相等来求解〃的方法是研究等比数列问题的常用方法.

【教学过程】

揭示课题6.3等比数列.

创设情境兴趣导入

【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人和国王的故事。

动脑思考探索新知

下面来研究求等比数列前n项和的方法.

等比数列｛。,,｝的前w项和为

=6+生+%+…+%.(1)

由于a”•4=《+],故将(1)式的两边同时乘以q,得

qSn=a2+a3+a4+---+an+an+v⑵

用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得

(1-4电=4-4+i=4-q=%(3)

当qH1时，由(3)式得等到数列｛%｝的前〃项和公式

.J*%"(6.7)

"q

知道了等比数列｛/｝中的,、，?和q(q#l),,利用公式(6.7)可以直接计算S“.

n

由于axq=an+l=anq,

因此公式(6.7)还可以写成S“=%二也(g。1).(6.8)

i-q

当q=l时，等比数列的各项都相等，此时它的前〃项和为回三司(6.9)

【想一想】在等比数列｛4｝中，知道了6、q、n、册、S“五个量中的三个量，就可以求出其

余的两个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

【注意】在求等比数列的前〃项和时，一定要判断公比q是否为1.

*巩固知识典型例题

例5写出等比数列1,-3,9,-27,…的前"项和公式并求出数列的前8项的和.

94211

例6一个等比数列的首项为‘，末项为上，各项的和为上」，求数列的公比并判断数列是

4936

由几项组成.

【注意】例6中求项数〃时，将等号两边化成同底数哥的形式，利用指数相等来求解.这种方

法是研究等比数列问题的常用方法.

现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？

国王承诺奖赏的麦粒数为

.264-1=1.84X1019,

64-1J-2)=

据测量，一般麦子的千粒重约为40g,则这些麦子的总质量约为7.36x1。"g,约合7360多

亿吨.我国2000年小麦的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！

*运用知识强化练习练习6.3.3

巩固知识典型例题

【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50

次，为什么？

【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和(简称本利和)作为后一期的本金来计算利

息的方法.俗称“利滚利”.

例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息.小王从银行贷款20万元，贷款期限为

5年，年利率为5.76%,如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱？(精确到0.000001

万元)

*运用知识强化练习

张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%,5年后应

偿还银行多少钱？

*归纳小结强化思想

等比数列的前n项和公式是什么？

结论：卜，1一吸"]卜

\-q\-q

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题6.3组(必做)；

(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题.

【教师教学后记】

第六章小结与复习

§7.1平面向量的概念及线性运算

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念.

能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力.

【教学重点】向量的线性运算.

【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件.

【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念.

通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算.向量的加法有三角形法则与平行四

边形法则.

向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a"=a+（T＞）,它可以通

过儿何作图的方法得到，即可表示为从向量》的终点指向向量a的终点的向量.作向量

减法时，必须将两个向量平移至同一起点.

实数2乘以非零向量a,是数乘运算，其结果记作7a,它是一个向量，其方向与向量a

相同,其模为同的2倍。

【教学过程】

*揭示课题7.1平面向量的概念及线性运算

*创设情境兴趣导入

如图7—1所万Q.，效果一样吗？

图7—1

【新知识】

在数学与物理学中，有两种量.只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、

时间、温度、面积、密度等.既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位

移等.

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，以A为起点,8为终点的向量记作通.也

可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作①手写时应在字母上面加箭头，记作Z.

向量的大小叫做向量的模.向量。，丽的模依次记作同，河.

模为零的向量叫做零向量.记作0，零向量的方向是不确定的.

模为1的向量叫做单位向量.

*巩固知识典型例题

例1一架飞机从4处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行

200km,两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移.

*运用知识强化练习练习7.1.1

*创设情境兴趣导入

观察图7-4中的向量而与疏?，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量C方与

而所在的直线平行，两个向量的方向相反.

*动脑思考探索新知

【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量.向量“与向量〃平行记

作a//b.

规定：零向量与任何一个向量平行.

由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量.

【想一想】图7-4中，哪些向量是共线向量？

*动脑思考探索新知

【新知识】图7-4中的平行向量而与丽，方向相同，模相等：平行向量而与正，方

向相反，模相等.

我们所研究的向量只有大小与方向两个要素.当向量a与向量力的模相等并且方向相同时，

称向量。与向量人相等，记作a=b.也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质

的向量叫做自由向量.

与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作-a.

规定：零向量的负向量仍为零向量.

*巩固知识典型例题

例2在平行四边形4BC。中（图7—5）,。为对角线交点.

（1）找出与向量而相等的向量；?£

（2）找出向量皮的负向量；

AB

（3）找出与向量而平行的向量.图7—5

分析要结合平行四边形的性质进行分析.两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；

两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反.

*运用知识强化练习练习7.1.1

*创设情境兴趣导入

王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500〃?到达超市（3处），买了文具后，又

沿着北偏东60°角方向行走200,"到达学校（C处）（如图7—6）.王涛同学这两次位移的总效

果是从家（A处）到达了学校（C处）.

*动脑思考探索新知位移近叫做位移而与位移》的和，记作衣=丽+元.

一般地，设向量a与向量分不共线，在平面

上任取一点A（如图7—6）,依次作而="，胫=》,则向量恁叫做向量a与向量8的和，记作

a+b,即a+b=AB+BC=AC(7.1)

求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则.

观察图7-7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量分的加法运算，运算的结果仍然

是向量，叫做a与》的和向量.其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量分的终点.

【做一做】给出两个不共线的向量a和。，画出它们的和向量.

【想一想】（1）“+力与B+a相等吗？请画出图来说明.

（2）如果向量a和向量分共线，如何画出它们的和向量?

*动脑思考探索新知

如图7—9所示，ABCZ）为平行四边形，由于而=前，根据三角形法则得

AB+AD=AB+BC=AC

图7—9

这说明，在平行四边形ABCD中，衣所表示的向量就

是而与标的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质:

（1）a+0=0+a=a；a+（-a）=0；

（2）a+b=b+a；

(3)(a+b)+c=a+(Z>+c).

*巩固知识典型例题

例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h,求该船的

实际航行速度.

*例4用两条同样的绳子挂一个物体（图7—11）.设物体的重力为鼠两条绳子与垂线的

夹角为。，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力R与F2的大小.

分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是所以闺|=|户解决问题不考虑

其它因素，只考虑受力的平衡，所以尸i+B=-h

所以

【想一想】根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时（如图7—12）,两臂成什么角度时，

双臂受力最小？

*运用知识强化练习练习7.1.2

*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数.

*动脑思考探索新知

与数的运算相类似，可以将向量0与向量8的负向量的和定义为向量a与向量〃的差.即

a~b=a+(-b).

i^a=OA,b=OB,则

OA-OB^OA+(-OB)=OA+BO^BO+OA^BA.

OA-OB=BA(7.2)

观察图7-13可以得到：起点相同的两个向量a、b,其差a-。仍然是一个向量，叫做a

与力的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点.

图7—13

*巩固知识典型例题

例5已知如图7—14(1)所示向量a、b,请画出向量Q—6.

图7-14

【想一想】当a与6共线时，如何画出a—b.

*运用知识强化练习

1.填空：(1)AB-AD=,(2)BC-BA=

(3)OD-0A=

2.如图，在平行四边形ABC。中，设AB=a,AQ=b,

试用a,b表示向量恁、BD、

第2题图

*创设情境兴趣导入

观察图7—15可以看出，向量玩与向量Q共线，并且反=3a.

oABC

图7-15

*动脑思考探索新知

一般地，实数4与向量。的积是一个向量，记作/U,它的模为||解|=|九|旧|一

若则当4>0时，4a的方向与a的方向相同，当丸<0时，/U的方向与a的

方向相反.

由上面定义可以得到，对于非零向量a、b,当4x0时，有aHb0a=助

一般地，有0a=0,/l0=0.

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证,对于任意向量a"及任意实数入〃，

向量数乘运算满足如下的法则：

(1)la=a>(-l)a=-a；(2)

(3)(，+〃)a=4a+〃a；(4)A[a+b^)=Aa+Ab.

【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则.

向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、

移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中.但是，要注意向量的运算与数的运算

的意义是不同的.

*巩固知识典型例题

例6在平行四边形48co中，O为两对角线交点如图7—16,而=a,AD=b,试用a,

》表不向量A。、OD.

分析因为痛」恁，丽」丽，所以需要首先分别

22

求出向量就与丽.

图7-16例6中，,。+'〃和-L级+,力都叫做向量。，b的线性

2222

组合，或者说，AO.而可以用向量。，〃线性表示.

一般地，叫做a,力的一个线性组合(其中均为系数).如果/=/la+〃b,

则称/可以用a,8线性表示.

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.

*运用知识强化练习

1.计算：(1)3(a—2h)—2(2

(2)3a-2(3a-4b)+3(a-〃).

2.设a,b不共线，求作有向线段方，使方=1(a+b).

2

*理论升华整体建构

思考并回答下面的问题：

向量、向量的模、向量相等是如何定义的？

结论：

当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量(矢量)

向量的大小叫做向量的模.向量a,而的模依次记作|M，画.

a与向量B的模相等并且方向相同时，称向量a与向量6相等，记作a=b.

*归纳小结强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

计算：

(1)AB+BC+CD；(2)OB+BC+CA.

*继续探索活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题7.1A组(必做)；7.1B组(选做)

(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题

【教师教学后记】

§7.2平面向量的坐标表示

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；

（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.

能力目标：

培养学生应用向量知识解决问题的能力.

【教学重点】向量线性运算的坐标表示及运算法则.

【教学难点】向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.

【教学设计】

向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐

标原点（一般称为位置向量）.设x轴的单位向量为i,轴的单位向量为如果点1的坐标

为（x,y）,则

OA=xi+yj,

将有序实数对（x,>'）叫做向量方的坐标.记作况=（x,y）.

【教学过程】

*揭示课题

7.2平面向量的坐标表示

*创设情境兴趣导入

【观察】设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i,y轴的单位向量为方方为从原点出发的向

量，点A的坐标为（2,3）（图7—17）.则

OM^2iON=3j由平行四边形法则知

OA=OM+0N=2i+3j

图7—17,

【说明】可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的坐标是相同的.

*动脑思考探索新知

【新知识】

设i,/分别为x轴、y轴的单位向量，(1)设点M(x,y),则而'=xi+W(如图7—18(1))；

(2)设点A(M，M),8(超,乃)(2口图7T8(2)),则

AB=OB-OA=(x2i+乃力TM+yj)由此看到，对任一个平面向量”，都

=(x2-xl)i+(y2-yi)j.

存在着一对有序实数(x,y),使得a=+

有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y).

如图7—18(1)所示，起点为原点，终点为M(x,y)的向量的坐标为丽=(x,y).

如图7—18(2)所示，起点为A(X］，M),终点为8(马,力)的向量坐标为48=02-西，为-凹).

巩固知识典型例题

例1如图7—19所示，用x轴与y轴上的单位向量八j表示向量心"并写出它们的坐标.

图7—19

【想一想】观察图7—19,方与两的坐标之间存在什么关系？

例2已知点P(2,—l),0(3,2),求用炉的坐标.

运用知识强化练习

1.点A的坐标为(-2,3),写出向量方的坐标，并用i与/的线性组合表示向量次.

2.设向量a=3i-4j,写出向量Q的坐标.

3.已知A,B两点的坐标，求而1区4的坐标.

(1)A(5,3),B(3,-1);(2)A(1,2),B(2,1);(3)A(4,0),B(0-3).

*创设情境兴趣导入

【观察】

观察图7—20,向量

次=(5,3),赤=(3,0),而=厉+而=(8,3).可以看到，两个向量和的坐标恰好是这两个向

量对应坐标的和.

图7-20

*动脑思考探索新知

【新知识】

设平面直角坐标系中，。=(工］,乂)，)则

b=(X2O'2)

a+b=(xli+yj)+(x2i+y2j)=(*+x2)i+(%+%)1/•

所以(7.6)

a+b=(xl+x2,y1+y2).

类似可以得到(7.7)

a-b^(xl-x2,yi-y2)■

Aa=(尢％4%)•(7.8)

*巩固知识典型例题

例3设a=(l,-2),b=(-2,3),求下列向量的坐标:

(1)a~\-b9(2)—3at(3)3a-2b.

*运用知识强化练习

已知向量0,力的坐标，求。+氏a-b>-20+3方的坐标.

(1)4=(-2,3),*=(1,1)；

(2)a=(l,0),5=(-4,—3)；

(3)a=(T,2),6=(3,0).

*创设情境兴趣导入

【问题】前面我们学习了公式(7.4),知道对于非零向量a、b,当4/0时，^a//b^a=Ab

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？

*动脑思考探索新知

【新知识】

设。=(%，％),。=(*2，%)，由a=&，有X]=4*2，>'1=%为，于是国力乃=〃2»，即