一轮全国数学听课手册(一)

第1讲集合

考试说明1.了解集合的含义、体会元素与集合的从属关系.

2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运

课前双基巩固巩知识为本拓结论为根

/知识聚焦不简单罗列/

1.集合的含义与表示方法

(1)集合的含义：研究对象叫作，一些元素组成的总体叫作.集合中元素的

性质：确定性、无序性、.

(2)元素与集合的关系：①属于，记为；②不属于，记为.

(3)集合的表示方法：列举法、和.

(4)常用数集的记法：自然数集，正整数第，整数集,有理数集,

实数集，复数集.

2.集合间的基本关系

表示关系文字语言符号语言记法

基本关系

集合力中______都是集AQB或

子集xGAnxCB

合8中的元素

集合/是集合5的子

A____B

真子集集，但集合8中______AQB,3xeS,x^-A

0或5A

有一个元素不属于N

集合48的元素完全

之

相等AB,B£4=A=B—

_____任何元素的集

空集合.空集是任何集合的Vx,依0,0£40

子集

3.集合的基本运算

表示

文字语言符号语言图形语言记法

运算

属于/—

{x\x^A,

交集属于B的元素组

x^B}—

成的集合€£)

属于

A

{x\x^.A,

并集

—x^B}—

属于麻沅素组

成的集合

全集U中______期之暮辽7连

{小£U,

补集属于4的元素组3

xA}—

成的集合

4.集合问题中的几个基本结论

(1)集合/是它本身的子集，即;

(2)子集关系的传递性，即NU8,BGCa；

(3)AUA=Anj=,AU0=,AD<2>=,［JJU=,［卢=

/正本清源不单纯记忆/

■链接教材

L［教材改编］设全集U={小于9的正整数}，/={1,2,3},8={3,4,5,6},贝川江/口5)

2.［教材改编］已知集合/={〃},若/U8={〃，b},则满足条件的集合8有

个.

3.［教材改编］设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(必叫={1,3},40(。酒)

={2,4},则集合8=.

■易错问题

4.集合概念的易错点：忽视集合元素的互异性.

设集合/={1,2,3},8={4,5},M={x|x=a+6,aGA,b®B},则M中元素的个数

为.

5.集合间关系的易错点：忽视空集是任何集合的子集.

集合/={1,4,7,10,13,16,19,21},则集合/有个子集、个真

子集、个非空子集、个非空真子集.

6.集合运算的易错点:忽视补第的相对性;求解补集时忽视端点值.

设集合S={x|x>-2},7={x*+3x—4W0},则(］R5)UT=.

■通性通法

7.解决集合问题的两个基本方法：列举元素法；图形表示法.

(1)若集合/={1，2,3},8={1,3,4},则NAB的子集个数为.

(2)已知集合/={x|0<log4xvl},8={x|xW2},贝.

8.集合中部分常见的结论：交、并运算的补集；运算关系与包含关系的转化.

(1)4G3=4=；4UB=4=；4cB=4UBo.

(2)CMZU8)=；UA

课堂考点探究用知识为面

/典例探究师生互动型/

€)探究点一集合的含义与表示画1(1)［2015・太原二模］已知集合/={中=币=

xGZ},B^{p-q\p^A,qGA},则集合8中元素的个数为()

A.1B.3

C.5D.7

(2)已知集合/={x—2,2X2+5X,12},若一3G4则x的值为.

［总结反思］(1)研究集合问题时，一定要抓住元素这一要素，看元素应满足的属性.对于

含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

(2)对于集合相等的问题，首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种

情况列出方程(组)进行求解，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

圜式题(1)集合/={xGN&GN：的所有元素是()

A.1,2,3,4B.-2,2

C.-2,2,4,5D.2,4,5

(2)已知4={a+2,3+1)2,/+3a+3},若1J,则实数a=.

O探究点二集合间的基本关系糜(1)已知全集。=1(,则正确表示集合加={-1,0,

1}和N={》,2+》=0}关系的不意图是()

图1-1-1

(2)已知集合「=*归<-1或x>4},0={x|a+lWxW2a-1}.若。P,则。的取值范围

是________

[总结反思](1)要确定非空集合力的子集的个数，需先确定集合力中的元素的个数，再求

解.不要忽略任何非空集合是它自身的子集.

(2)当集合48满足4U8时，不要忽略集合力为空集的情况.

(3)根据集合间的关系求参数的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化

为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题.

圜式题(1)设mbGR,集合{o,b,§={1，a,a+b},则a+26=()

A.1B.0C.-1D.不确定

(2)设集合/={邓？+2》一。=0},若。M,则实数a的取值范围是()

A.(—8,—1]B.[—1,+00)

C.(-OO,1]D.[1,+8)

o探究点三集合的基本运算

雕⑴[2015•沈阳三模]已知全集U={1,2,3,4,5},A={\,2,5},B={2,3,5},

则(C〃)n5=()

A.{3}B.{2,5}C.{2,3}D.{2,3,5}

(2)[2015•陕西卷]设集合M={XM=X},N={x|lgx<0},则MU，=()

A.[0,1]B.(0,1]

C.[0,1)D.(-8,1]

[总结反思](1)集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、

并、补的定义进行运算.

(2)在进行集合的运算时要注意运算的顺序.

(3)在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，则用图示法表示；若集合中的元素

是连续的，则用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.

圜式题(1)[2015•郑州一模]已知集合/={x|f-x-2W0},B={x[y=ln(l-x)},则4n8

=()

A.(1,2)B.(1,2]

C.[-1,1)D.(-1,1)

⑵[2015•唐山一模]已知全集。={1,2,3,4,5},A={1,2,4},B={2,5},则(M)U8

=()

A.{3,4,5}B.{2,3,5}

C.{5}D.{3}

/学科能力自主阅读型/

思想方法1.数形结合思想在集合问题中的应用

【典例】设集合z={x[(x—a)2〈l,XCR},8={x[l<

x<5,xGR},若力08=0,则实数。的取值范围是()

A.{a|0WaW6}

B.{a|aW2或心4}

C.{a|aWO或心6}

D.{a|2WaW4}

思路先求出集合4在数轴上标出集合4B,再根据其交集为空集确定实数。满足的

不等式即得.

解析CA={x|-1+a<x<\+a},

4(18=0,；.aWO或。26.____________

」JJ!»」！—1!—>

a-1a+1i$x15a-1a+1x

①②

图1-1-2

i

在由实数集组成的集合问题中，可以先把所涉及的集合标注在数轴上，再根据题目

的要求确定解题方向，这是运用数形结合思想解决集合问题的一种重要方法.

【跟踪练习】(1)已知集合/={j亚=x+l},8={(x,y),2+y2=]},则ZC8中元素的个

数为()

A.0B.1C.2D.4

(2)已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若NC(。阳)=0,则MUN=()

A."B.NC./D.。

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

考试说明1.理解命题的概念.

2.了解“若p,则形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的

相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.

课刖双基巩固明知识为本招结论关

/知识聚焦不简单罗列/

1.命题

概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断___的陈述句

特点(1)能判断真假；(2)陈述句

分类______命题、______命题

2.四种命题及其相互关系

⑴四种命题间的相互关系:

(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于,原命题的否命题等价于

,在四种形式的命题中真命题的个数只能是.

3.充要条件

若q，则P是q的充分条P成立的对象的集合为A,

件，q是0的必要条件g成立的对象的集合为B

P是q的充分不必A是B是的

P»q且qAp

要条件真子集

P是q的必要不充B是A的

pa且q—P

分条件真子集集合与

.是4的充要充要条件

i>0qA=B

条件

P是q的既不充分A,B互不

且qAp

也不必要条件包含

/正本清源不单纯记忆/

■链接教材

1.［教材改编］命题“若整数«不能被2整除，则。是奇数”的逆否命题是

2.［教材改编］圆(x-〃尸+什-6)2=/过坐标原点的充要条件是.

3.［教材改编］已知/={冲;满足条件p},8={xlr满足条件q}.若4UB,则p是g的

条件；若则p是夕的

条件；若4=B,则p是4的条件.

■易错问题

4.命题中的易错点：对条件、结论的否定不当.

命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是.

5.充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性.

“x(x-l)=O"是“x=l”的条件.

6.充要条件的易错点：否定形式给出的充分条件、必要条件判断错误.

“aWb”是“/彳好”的条件.

■通性通法

7.命题的等价关系：原命题与其逆否命题等价：逆命题与否命题等价.

1JI

若原命题为“若COS则。=?"，则其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个

数为.

8.充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法.

(1)［2014•浙江卷改编］设四边形/8CD的两条对角线分别为/C,BD,则“四边形/8CD

为菱形”是的条件.

(2)［2015•安徽卷改编］设p：x<3,q：-l<x<3,则0是4成立的条件.

课堂考点探究用知识为面学方法为旨

/典例探究师生互动型/

O探究点一命题及其相互关系醐1［2015•广州一模］命题“若x=2,则一-3X+2=

0”的逆否命题是()

A.若xW2,则一―3x+2W0

B.若x?—3x+2=0,则x=2

C.若f-3x+2W0,则xW2

D.若x¥2,贝ljf—3x+2=0

［总结反思］根据原命题写出其余三种形式的命题，只要根据这三种命题的定义写出即可,

但要注意一些常用词语的否定：

词语是都是都不是等于大于

否定不是不都是至少一个是不等于不大于

固式题命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是

O探究点二充分必要条件的判定画2(1)［2015,合肥一中月考］已知数列{斯}为等比

数列，则是“{斯}为递增数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)已知甲：xW2或y#3,乙：x+y#5,则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

［总结反思］判断充分条件、必要条件有两个基本方法：定义法和集合法.以否定形式给

出的充分条件、必要条件的判断可以根据原命题与其逆否命题的等价性，将问题转化后再进

行判断.

圜式题(1)设p：/={x［y=lg(x—1)},q：B—{x\2Tx<\},则p是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(2)［2015・武汉・中月考］命题''对任意实数xG［l,2］,关于x的不等式f—“W0恒成立”

为真命题的一个必要不充分条件是()

A.B.QW4C.D.aW3

O探究点三充要条件的应用糜(1)若“加一〈用+1”是~2—2丫-3>0”的充分

不必要条件，则实数m的取值范围是.

(2)若ax<m—\或是“—―2%—3>0”的必要不充分条件,则实数m的取值范

围是.

［总结反思］根据充分条件、必要条件求参数范围时，把问题转化为集合之间的包含关系，

通过集合之间的包含关系确定参数范围，但要注意转化的准确性.

圜式题设p：实数x满足4GX+3Q2V0（4<0）,q：实数x满足l一6<0或f+Z》一

8>0,且㈱〃是的必要不充分条件，则。的取值范围是.

/学科能力自主阅读型/

I>误区警示1.命题中否定不当致误

【典例】命题“若人X）是奇函数，则X—x）是奇函数”的否命题是（）

A.若大x）是偶函数，则大—x）是偶函数

B.若«v）不是奇函数，则负一力不是奇函数

C.若八-x）是奇函数，则"）是奇函数

D.若/（一X）不是奇函数，则/（x）不是奇函数

解析B由于一个命题的否命题就是命题的条件与结论分别否定，故原命题的否命题

是①若/•（x）不是奇函数|,则|②/（-x）不是奇函数

Bla

①②中均可能出现否定不当的错误，对“/（X）是奇函数”的否定只能是“/（X）不是奇

函数”，而不能是“/（X）是偶函数”，因为除了奇函数和偶函数之外，还有非奇非偶

函数，所以在否定时要特别注意细微的差异.

【跟踪练习】⑴命题“若函数/）=1。g"（90,。之1）在其定义域内是减函数,则1。&2<0”

的逆否命题是（）

A.若log“220（4>0,aWl）,则函数./（x）=k>g1A在其定义域内不是减函数

B.若log“2<0（a>0,aWl）,则函数/（x）=lo&x在其定义域内不是减函数

C.若log„220（a>0,。#1）,则函数八》）=10室在其定义域内是增函数

D.若log“2<0（a>0,21）,则函数段）=log„x在其定义域内是增函数

（2）［2015♦宜昌期末］命题“若/+/=（）,则。=匕=0”的否命题是（）

A.若则〃金。月"wo

B.若屋+*wo,则qWO或6W0

C.若屋+层=0,则吊0且后0

D.若『+62=0,贝ijqwo或6#o

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考试说明1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.

2.理解全称量词与存在量词的意义.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

课目ii双基巩固明知识为本拓结论为根

/知识聚焦不简单罗列/

1.命题pA%p7q,㈱p的真假关系表

Pqp'qp7qP

真真真

真假真

假真真

假假假

2.量词与含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词和存在量词

量词名称常见量词表示符号

所有、一切、任意、全部、每一个、

全称量词

任给等—

存在一个、至少一个、有些、某些

存在量词

等—

(2)全称命题和特称命题

命题名称命题结构命题简记

全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立

特称命题存在”中的一个刈，使p(xo)成立

⑶全称命题和特称命题的否定

命题命题的否定

YxRM,p(x)

3x0eM,p(xo)

/正本清源不单纯记忆/

■链接教材

1.［教材改编］“函数y=sinx是奇函数且是周期函数”的否定是

2.［教材改编］“末位是0的整数，可以被5整除”的否定是

3.［教材改编］“有些三角形不是等腰三角形”的否定是

■易错问题

4.命题真假判断错误：

给出下列说法：

①若命题p!\q为假命题,则命题p,q中至少有一个为假命题;②若命题p'q为假命题，

则命题p,q中至少有一个为假命题；③命题p,p中至少有一个是真命题；④命题pAq

的否定是^N㈱q,命题的否定是解pA^/其中正确说法的序号是.

5.含量词的命题的否定错误：对结论的否定出错.

命题“VxeR,f20”的否定是

命题'勺xoeRlgx0<0的否定是

6.命题的否定与否命题相混

命题”任意末位数字是5的整数都能被5整除”，该命题的否定是

该命题的否命题是

■通性通法

7.含逻辑联结词的命题真假判断方法：p,q中至少有一个为真，则p\q为真(简称：

或命题一真即真)；p,q中至少有一个为假，则pAg为假(简称：且命题一假即假)；p,痴

一真一假.

命题P：函数y=sin2r的最小正周期为“，命题q：不等式Inx>l的解集为(1,+~),

则命题pVq,p\q,㈱4中真命题的个数是.

8.特称命题为真的判断方法：只要找到一个对象使结论成立即可.

命题p：3x0CR,2xo<xo2为命题（填“真”或者"假”）

■■■.■,­.■■■

课堂考点探究用知识为面学方法为旨

/典例探究师生互动型/

O探究点一含有逻辑联结词的命题画h（1）［2015・汕头一模］已知命题P：3X0eR,X。

-2>lgx0,命题4：VxSR,e*>l,贝i」（）

A.命题pVq是假命题

B.命题p八夕是真命题

C.命题'八^夕是真命题

D.命题是假命题

（2）已知命题p：函数f=2—a"】（心0,且。#1）的图像恒过定点（1,2）,命题夕：若函数y

=/（x—1）为偶函数,则函数y=/（x）的图像关于直线x=\对称，则下列命题为真命题的是（）

A.p\JqB.p/\q

C.糠p/\qD.p\!懒q

［总结反思］判断由逻辑联结词组成的命题的真假时，首先判断简单命题的真假，再根据

含有逻辑联结词的命题的

真假规律进行判断.注意下列等价关系的应用：（1）〃V夕为真Op,q中至少有•个为真

=>㈱p八^夕为假；（2）pV夕为假=p，q均为假㈱夕为真；（3）〃/\q为真=p,q均为

真今㈱"V㈱夕为假；（4）p八q为假=p,q中至少有一个为假㈱夕为真；（5）^§p为真

=p为假，㈱p为假=p为真.

圜式题（1）［2015•北京海淀区期末］已知命题p,q,那么"p/\q为真命题”是“p7q为

真命题”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）已知命题p：在A48C中,4>B=sinN>sinB,命题《：tn,n,厂成等比数列的充要条

件是〃2=加八则命题pVq,p!\q,糠p\Jq,夕中真命题的个数是.

O探究点二全称命题与特称命题醐2给出下列命题：

①VxGR,在sinx+cosx》一2；②VxGR,e"ex+l；

（3）Bx0GR»lnxo，x（）—1；@3XQG0,sinx0^xn.

其中真命题的序号是.

［总结反思］全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

全称命题

真所有对象命题真否定为假

假存在一个对象命题假否定为真

特称命题

真存在一个对象命题真否定为假

假所有对象命题假否定为真

圜式题给出下列四个命题：

①Va£R,sina+cos^>—1；

3

（2）3GR,sina+cosa=-；

@VaeR,sin4coso

s

©3CR,sinacos=4-

其中真命题的序号是.

O探究点三含有一个量词的命题的否定雕设命题P-.任意平面向量a和4la—

b\<\a\+\b\,则^夕为（）

A.任意平面向量a和5,\a-b\^\a\+\b\

B,存在平面向量。和土|。一方|<|。|+网

C.存在平面向量a和b,|a—b|>|a|+步|

D.存在平面向量。和4\a-b\^\a\+\b\

[总结反思]常见命题及其否定形式

命题否定

P糠p

p'qpVq

YxRM,p（x）Bx（）SM,Sp（x（））

现WM,p（x。）YxGM,㈱p（x）

圜式题[2015,厦门质检]已知命题p：Sxo^R,sinxo^^则㈱〃是（）

A.3x0^R,sinx（）W；

B.SXQ^R,sinxoV,

C.Vx^R,sinxwg

D.Vx£R,sin

/学科能力自主阅读型/

思想方法2.化归转化思想在逻辑问题中的应用

【典例】已知p：关于x的方程f—ax+4=0有实根，q：关于x的函数y=2f+ax+4

在[3,+8）上是增函数.若p或q是真命题，p且夕是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.（-12,-4]U[4,+8）

B.[-12,-4]U[4,+8）

C.（一8,-12）U（-4,4）

D.[-12,+8）

思路等价于p,夕一真一假，分类求解即得.

解析C若p为真，则/=『-1620,解得“W-4或"24;若夕为真，则-*W3,

-12.

若p或4是真命题，P且4是假命题，则命题p和4一真一假.当p真（7假时，a<-12;

当g真p假时，-4<a<4.故所求。的取值范围是（-8,-12）U（-4,4）.

1

（1）解题中首先把不明显的问题明显化，再寻找解决问题的方法，是等价转化的一种

形式.本题中把“p或q是真命题，p且q是假命题”化为“p,q-真一假”，就

是把不明显的问题明显化.

（2）解题中如果根据问题的发展需要从不同方面分别解决，那么就要分类处理，然后

再整合不同方面的解题结果，从而得出问题的最后答案.

【跟踪练习】（1）若p：3x0eR,aro2+2xo+l<O为真命题，则实数a的取值范围是（）

A.[0,1）

B.（一8,1）

C.[1,+°°）

D.（-8,1]

（2）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，

q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）

A.糠pVq

B.p\!轴q

C.p/\^q

D.pVq

第二,单元）函数、导数及其应用

第4讲函数的概念及其表示

考试说明1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

2.在实际情境中，会根据不同的需求选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示

函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三

段）.

课前双基巩固明知识为本拓结论为根

/知识聚焦不简单罗列/

1.函数与映射的概念

函数映射

设48是两个

两集合

设“，8是两个________

力，B

按照某种确定的对应关系了,按某一个确定的对应关系/

对应

使对于集合A中的_______使对于集合/中的_______

关系

一个数x,在集合8中都有一个元素x,在集合B中都有

./：4fB

__的数火X）与之对应__的元素y与之对应

称_______为从集合4到集称对应________为从集合A

名称

合B的一个函数到集合B的一个映射

记法y=Xr),x&A对应/：4fB

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=/(x),xe/中，x叫作自变量，x的取值范围/叫作函数的，与x的

值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合｛/(x)ke/｝叫作函数的.

(2)函数的三要素：、和.

(3)函数的基本表示方法：、、.

3分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的,这样的函

数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是••个函数.

4.常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母.

(2)偶次根式函数的被开方式.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R

(4»="(0>0且。#1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.

(5»=tanx的定义域为.

5.基本初等函数的值域

(1»=丘+/)伏#0)的值域是.

(2»=0?+以+&。*0)的值域：当a>0时,值域为________；当。<0时,值域为________.

(3)y=3&WO)的值域是.

(4)j=a'(a>0且a/1)的值域是.

(5»=k>g仙(tf>0且aW1)的值域是.

/正本清源不单纯记忆/

■链接教材

1.［教材改编］如图24-1所示，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩

形的一边长为xcm,面积为yen?,则y关于x的函数关系式是.

("""

_____图2-4-1

2.［教材改编］函数兀0=>^的定义域是.

3.［教材改编］从集合/=｛〃，b,c｝到集合8=｛1,2,3｝可以建立的不同映射的个数是

■易错问题

4.函数概念的易错点

给出下列三种说法：

①只要对应关系和定义域确定下来，函数就是确定的;

［x,xWO,

②函数/(x)=12c是两个函数；

U,x>0

③函数y=lnl+［+qD的定义域为(0,1］.

其中正确说法的序号是.

5.两函数相同的易错点

给出下列各组函数：

2

①/(x)=x,危尸?：额¥)=#,如)=6

③/(x)=|x|,y(x)=q?；④/(x)=21nx,y(x)=lnx2.

其中表示同一个函数的序号是.

■通性通法

6.函数解析式的求法：换元法；配凑法；待定系数法.

⑴已知./(正+l)=x+2而，则./)的解析式为.

(2)已知/(x)是反比例函数，且满足火3)=-6,则./)的解析式为.

课堂考点探究

/典例探究师生互动型/

O探究点-函数与映射的概念醐1(1)下列各组中两个函数相同的是()

A./(x)=lnx4,g(x)=41nx

B.{x)=x,g(x)=(正)2

C.J(x)=cosx,tanx,g(x)=sinx

D./(x)=x2,g(x)=q7

(2)下列从集合A到集合B的对应中是映射的是()

A.4=B=N1对应关系/x-^y=\x—3\

(1(x20),

B.N=R,B={0,1},对应关系f尸?口。(yo)

C.4=Z,B=Q,对应关系f

D.4={0,1,2,9},8={0,1,4,9,16},对应关系力x^y=(x~\^

［总结反思］(1)函数是非空数集到非空数集的特殊映射，两个函数相等的充要条件是它们

的定义域和对应关系完全相同(值域是由定义域和对应关系确定的).(2)判断从集合力到集合

B的对应是否是映射要抓住两点：一是集合4中的每一个元素是否对应集合8中唯一确定的

元素；二是集合力中的元素是否有剩余.

HI式题下列平面直角坐标系中的图形可以作为函数图像的序号是________.

€)探究点二函数的定义域和值域考向1求给定函数解析式的定义域

股［2015・湖北卷］函数兀0=，二百+11三产的定义域为()

A.(2,3)B.(2,4］

C.(2,3)U(3,4］D.(-1,3)U(3,6］

［总结反思］根据函数的解析式求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值

范围，要注意偶次被开方式不小于零、分式中分母不等于零、对数的真数大于零等条件的应

用，解题时要全面考虑，壬可忽视任何一个方面.

圜式题函数人才)=/岩■的定义域是()

A.｛尤网｝

C.｛x卜不一；Kx灯)

考向2由大x)的定义域求的定义域

ft已知函数次x)的定义域是［0,1］,则函数Hlgx)的定义域是.

［总结反思］如果/)的定义域为口，b］,则加力)］的定义域是aWg(x)W6的解集；如果函

数/［鼠.钥的定义域为口，b］,则/(x)的定义域是y=g(x)在口，切卜.的值域.

图式题已知函数4炉)的定义域是(-8,1］,则函数兀0的定义域是.

考向3已知定义域确定参数问题

颐已知函数/(x)=lg(x2+x—°)的定义域为R,则实数a的取值范围是.

［总结反思］根据所给函数的定义域，将问题转化为含参数的不等式(组)，进而求解参数

范围.

圜式题函数外)=2_J上的定义域为R，则实数4的取值范围是

ax-\-x-ra------------

考向4函数的值域

糜(1)函数工的值域是.

［—x+6,xW2,

(2)［2015・福建卷］若函数危)=、，，3>0,且a¥l)的值域是［4,+°°),则

［3+logo%,x>2

实数a的取值范围是.

［总结反思］求函数值域的基本方法：

(1)观察法：一些简单函数可通过观察法求值域.

(2)配方法：”二次函数类”用配方法求值域.

(3)换元法：形如y=ax+b^\］cx+d(a,b,c,d均为常数，且acWO)的函数常用换元法

求值域，形如y=ax+yja-bx)的函数用三角函数代换求值域.

CY+d

(4)分离常数法：形如夕=”工(aWO)的函数可用分离常数法求值域.

(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增

减性进而求最值和值域.

(6)数形结合法：画出函数的图像，通过函数定义域在图上确定函数值的变化范围.

(7)若函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解.

圜式题(1)已知函数的值域为{0,1,2},则满足这样条件的函数的个数为

()

A.8

B.9

C.26

D.27

2工2—x2

(2)函数.=；+(+］的值域是.

0探究点三函数的解析式初6(1)已知(1—3=2"—,则.

(2)已知/(x)是一次函数，且满足2/(X+1)-/(A—l)=2x+1,则Hx)=.

(3)已知则负x)=.

(4)已知函数./(X)的定义域为R,且/(x)+4(—x)=f--则/)=.

［总结反思］函数解析式的求法：

(1)换元法：已知复合函数./［以0］的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法.

(3)配凑法：已知/［g(x)］=网工)，可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),

便得.危)的解析式.

(4)消去法：已知.危)与yQ)或次-x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等

式，两等式组成方程组，通过解方程组求出/(x).

蛆题(1)图24-3中的图像所表示的函数解析式为()

3

A.尸声一l|(0WxW2)

B.y=|—||x—1|(0^x^2)

3

C.y=1一|x—l|(0WxW2)

D.y=l—|x—l|(0WxW2)

(2)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人