固体物理竞赛题目

1V000m8nn间的hcnaaa221V000m8nn间的hcnaaa221.设体中的每个振子的零点振动能试用拜模求晶的点振能.明:根据子力零能是谐振子固有，与度关，故T=0K时动能就是振0动模点能和。023分有

代入积VE48

9，由于得ENkmDBD一股晶体德拜温度102，可见零振动能相大的，量可与温数度所需热相比．试出二维长方格子的第一、第二布里渊区.证：在磁场中运动的布洛赫电子，在K空间中轨积和在r空的轨迹面积qB之)Sddr解：cdrdt两边对t,即k=r

)Ar))qBn

24.证的倒格子为体心立方解：面立方晶格的基为a2则面立原体积V=a]

a4面立方倒格矢a

bV

a34

=a同：

2a

a然面立晶倒体立方5.证：根据倒格子的定义证明简单立方格子体积与其倒体反比解设简立方晶格常数为，则基矢为ai,aj,体积V=3文档23n223n2其倒矢b1

a223Va

i

a，31V

j

a2，Va

则倒格体积]3

V.是与库伦晶型，？答不在库仑力无的型因为共价结中电子虽不能离电负原但近个各一电形成电共的状位两子之通库力两原结起来离子晶体中正负离子的吸引力是库仑力金属晶中原子实与电云之间的作用力为仑力分结中电偶极矩原分的原结起，电偶极就库力氢键合，与负大原子价结，键电中不重，使通库仑力与电负大的原结..如有单晶的振动写成如下驻波形证格的色关系行的相d2解一维单原子列的运动方程为：mdt2

nnn将

题

设

中

驻

波

解

带

入

得：

sin

taq

nsin

Asinsin

naqin

naq2sin)

2m

42(aq)m即驻波散关系与行波样.证二正格于第布渊的隅的个自子动能该侧中心处动能的二。再对维简单立方格,其相应的倍数是多少？（a二维简格的晶格为，倒格基矢,B第布里渊区如图所文档中矢ˆ矢ˆ222x2m2aa2aˆˆaaaˆ量;2222中矢ˆ矢ˆ222x2m2aa2aˆˆaaaˆ量;2222222222aaa2maa

a

0

区边波Ai,角顶点波

j自电能量

yz

A点能量K222

2

B点量y

2m

所以2Bb)单立方晶的晶格常为，倒格子基矢为第一里渊如7—所．A点能

B点能量2K2xy

,所以B设证应紧缚方法于维原链。果计近邻原子间相作用其S态能带为论述霍系数测量原理及在化合物研究中应用。将导体放在平面里，加上z方向磁场通以方向流，导体内沿y向将产电场当电场达到定时qvxz文档六的数DDxxxyxz六的数DDxxxyxzyxyyyz故六的数0因电流密度为为穴密度,则xx

1

jz

1中子导电情况类似在合半体究，尔数测可接得流密而从符可判是子电还是穴电。0证明体常为0解：设电常数为二阶量，D,E分别位量场，则D

E

，（中αβ示轴分量z轴与角体重轴行与基平行设沿z轴方，则y

zxzy

0xz

，Dyz

，Ezzzz如体和电场同时绕zπ使x轴转到-x轴，轴y则后

'

x

D

由于上述转动是六角晶体的一个对称操D

，D'D'xy故

zx

，zyzy

，同理取场x轴向并x轴π，可得，从而因二张本性

，常为有体平时积为原间作μ.如相距为的原子作势能为明体积弹性模为以格林艾森状态近似公式发说明晶格膨胀产生的原画出一紧束缚近似状下（（k数形电定场作用下的动以说明设电F=-eE,则空间，由电子能在一能，用化表示电子一移同时另一移，电子在间，电时电子度的电子在间的。文档E(kJpE(kJp)esa试以能带结解释半导体、导体、绝缘体导体中仅有未被电子占据的空带和被电占满的满带，还有部分被电子占的导带。本征半导虽只满带空带但和空之间禁带窄热发很容使子入，使原的成为空成为带。电性源价中的穴带中电。质半导体禁带中有质级，提供子接电形空参电。绝体只满和空，禁带宽难导电以金属热电子发射现象出发说明热电偶测温原如图，、为不的金，根量子论，电子射的射电为由j与度关金A在M和发射电流不同，将A的两端生电势，理B的端也将生势u2。虽然和u2两j与Ef有，AB的Ef不同因u1不于这样便在AB构成的回路产电流，此电流与MN的度有关。测量回中的电便可到M和N的温度关系，这就是热电偶测温原理。解释自由电和近自由电子能态密度函数自由电能态密度函数为g(w)=cE^1/2近由电只里区界产生较畸。离里区界，态度数与自电接近，量接边界处，随着的加，面一比一更烈的，的体来的，，能态密在近时，比由电子大。EEa，由等面不到Ec时，面将，由Ea到Ec,g(w)将0.的两个为，。出面的体理原出。

体的体性量K使原子，加的大。出一原子的分布函数。热，为的度T的子数说明在温为一原原子间为a为Na近出原子S态能级的函数，出态密度数。解(1),E)

(e)s0s

cosJcoska0010s

LdkN()2dE

NJakasin11(3),

2Nak2)0FkF

2(k0)EJcosNE)FFssina文档

N

2E格0介电02E格0介电0.设有一维晶体的电子能带可写成)

a

(

78

ka)

，a为晶格常，是电子质量。试求（）带宽；（）电波矢状的速度；（）顶和底的有效。解：（1）

a

(

78

ka)=

2

7－+(288

ka－＝4a当＝(2n+1),n=0,E

(k)

22当=2nE()能带度＝Emin

2a21()1（2）dk

sinka)(3)

*

2ka)

当时,带，*当时,带顶，*a00明晶常证：设电常数为二阶张，别位量场，

E

，文档DDxxxyxzyxyyyzDDDDxxxyxzyxyyyzDDzz3x'Dzzz（中αβ示轴分量z轴与方体重轴行与基平行设沿z轴方向，

=

zxzy

0xz

，

Dyz

，

Ezzzz如体和电场同时绕zπ使x轴转到-x轴，轴y则后

'

x

D

由于上述转动是立方晶体的一个对称操D

，

D''xy故

zx

，

zyzy

，

同理取场x轴向并x轴π，可电场111]向则=

，而

2绕111]动π,使z轴动到原x，轴到y，y轴原z轴;电位移量转动后应写成y

=

由于上述操作对称操，故D即

0命题证图并出方晶（）面与（）面交线向金刚石晶胞常数为。求最邻原子的距离和平均每立方厘米原子数有晶格一格点上一原基其中k为yz单量1）这种格属哪布拉菲格子（）原胞体积和胞体积各是多少试出自由电子在稳定磁场中的回转频率如何通过实验测定载子电子还空？根霍尔效应，将半导体放在平面，上方向的磁场通以方向电流，定霍尔系，霍尔系数为，是空穴；为负，是电子文档26F3326F33晶体膨胀时费米能级如何变化？解：体电数目)Q"()(K)FB

2

,

下量子总数(E)F

N(EdE

,以自电子例，(E)(

2m

)

E2

,

82()()2FF

,晶体膨时，变，E不变V上则晶体膨胀时，费米能级降低。F33.倒格子矢Ghbb112233

垂直密勒数为(h的晶面系。123证：aaa因为3,hhh132

，Gb1利

ijij

容易明

hhhhhh

所以倒格矢量Gb112233电子周期场中的能．

垂于密指数为hh的面123V)

m

x)2

当x,，x其中，常数．画此曲线求其均值及此晶的一个和第二个禁度解题势能曲线如下图所示文档V(xVxdx2x2V(xVxdx2x2g(bg势的平均值：由图可，(x)个以a为周期的期函数，所以V(x)

111aLLab

V(x)dx题设故分上应为，但在(x，故在，，是V

x)2

(2)dx

1

m

。（3能区间是个偶数，可以展开成傅立叶级数(x

cos,Vx)cosxdx0

x

2b

xdx第一个禁带宽度E,以m入式,

b

(b

2

dx利用积公

cos

u22m

sinmu

得16E1

第二禁带宽

以m式代入上gE

m2b0b

2再次用分式E2

求种一价子组成的一维晶格的马德常数和库仑相互作用能设离子数为。解设一个由正负种离子相间列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德常中正号以样取即正子正，负子取号r表示相邻离间的距离，于是文档2[252d33kTkT3332[252d33kTkT333D011rrr2rr4rjij前的因子是因为存在着两个相距离的离子，一个在参考离左面，一个在其右面，i故一边求和后要乘马常为111...]23434(1)341当时有122

n

2有个同子成积为的二维晶格在德拜近似下计算比热论在低温极限下比热比于证明：在到间的独立振动模式对应于平面中半径到间圆环的面积2ndn

，且kdk即2

2

则E

BBB222DkT22

dxex，时，T3)

237.为什晶格子…除有吸力还有斥力并说吸引和斥力来源。晶格粒子于衡置能最，离衡位置时会平位移。粒小于平衡位置时需要斥力使距离变得，反之要有吸引使之变小。吸力来自正离子和负离子以及正离子和负电子云之间的库仑排斥来临离或子的电云显重时于泡利不相容原理而产生的重排斥。半属的带为：E(k)(0)1

M

,0.18

EE2

M

(k0.062式中带带，k10

为的带交分为(0)E(12

.文档(E(E(E(E由能带交叠，能带中分转带而带形空，论时费米能级数解：于k)和

)只的绝对值

k

关，此空等面为面能带中的能密N()

V

dsk

VdsEkkVMM(k

能中能态密()

V

V)EEk

VMM)(k)

能带中电移带构费面，能带中以的子与带中E以F下的子相。

(0EF()F

，M

kFF

，M

()