量子力学基础知识

结构化学试题集

一、量子力学基础知识(211题)

一、选择题(共28题)

1.2分(1001)

首先提出能量量子化假定的科学家是：..............()

(A)Einstein(B)Bohr

(C)Schrodinger(D)Planck

22分(1009)

任一自由的实物粒子，其波长为人，今欲求其能量，须用下列哪个公式.....I

h2

(A)E-h~(B)E=

22/M22

1225

(C)E=e(——)2(D)A,B,C都可以

A.

3.2分(1016)

“波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。对否.)

42分(1020)

任何波函数"(X,/z,。都能变量分离成“(x,y,z)与〃⑺的乘积，对否？

()

5.5分(1021)

下列哪些算符是线性算符--------------------------------------------()

(A)—(B)V2(C)用常数乘(D)『(E)积分

dx

6.5分(1022)

下列算符哪些可以对易----------------------------------------------()

(A)x和y(B)二和二(C)p^Wx(D)/x和》

dxdy

7.10分(1023)

下列函数中

-bx-ikx人2

(A)coskx(B)e(C)e(D)e&

(1)哪些是且的本征函数：-------------------------------------------()

dx

(2)哪些是的工亏本征函数；..........................................()

dx~

d2d

(3)哪些是一7和——的共同本征函数。--------------------------------()

dx-dx

8.5分(1025)

线性算符无具有下列性质

R(U+V)=RU+RVR(cV)=cRV

式中C为复函数，下列算符中哪些是线性算符？--------------------------()

(A)AU=\U,X=常数(B)BU=U*

dUR

(C)CU®(D)DAU=—(E)EU=\/U

dx

9.2分(1031)

下列说法对否:"“=cosx,以有确定值，p)没有确定值，只有平均值。"------()

10.2分(1036)

电子自旋存在的实验根据是：...........................................()

(A)斯登-盖拉赫(Stem-Gerlach)实验(B)光电效应

(C)红外光谱(D)光电子能谱

11.2分(1037)

在长/=1nm的一维势箱中运动的He原子，其deBroglie波长的最大值是：----()

(A)0.5nm(B)1nm(C)1.5nm(D)2.0nm(E)2.5nm

12.2分(1038)

在长/=lnm的一维势箱中运动的He原子，其零点能约为：------------------()

(A)16.5X10-24J(B)9.5X10-7J(C)1.9X10、

50

(D)8.3X1024j(E)1.75X1O-J

13.2分(1039)

一个在一维势箱中运动的粒子，

(1)其能量随着量子数〃的增大：----------------()

(A)越来越小(B)越来越大(C)不变

(2)其能级差随着势箱长度的增大：------------()

(A)越来越小(B)越来越大(C)不变

14.2分(1041)

⑵2

立方势箱中的粒子，具有E=±二的状态的量子数。“外也是-.....()

Sma

(A)211(B)231(C)222(D)213

15.2分(1042)

处于状态〃(x)=sin^x的一维势箱中的粒子，出现在x=@处的概率为

a4

-----------------------------------------()

a.兀.KV2

(A)P=/(­)=sin(­>—)=sin—=---

4a442

2a1

(B)P=W(-)]2=-©p"l/z小

42

(D)-^(7)12=-

a4a

(E)题目提法不妥，所以以上四个答案都不对

16.5分(1043)

Jh1

在一立方势箱中，E＜上，的能级数和状态数分别是(势箱宽度为I,粒子质量为m)：

4ml~

()

(A)5,11(B)6,17(C)6,6(D)5,14(E)6,14

17.2分(1049)

“一维势箱中的粒子，势箱长度为/，基态时粒子出现在x=//2处的概率密度最小。”是

否正确？

18.2分(1080)

1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产

生的衍射环纹与Cu的Ka线(波长为154pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同，电

子的能量应为Jo

19.1分(1086)

q和哪个是自朝算符------------------------()

drdx

20.1分(1088)

测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准，对吗？----------()

21.2分(1100)

已经适应黑暗的人眼感觉510nm的光的绝对阈值在眼角膜表面处为1I003.5X

10一叼。它对应的光子数是：-----------------------------------()

(A)9X104(B)90(C)270(D)27X108

22.2分(1101)

关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选)----------------------()

(A)光电流大小与入射光子能量成正比

(B)光电流大小与入射光子频率成正比

(C)光电流大小与入射光强度成正比

(D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大

23.2分(1102)

提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------()

(A)deBroglie(B)A.Einstein

(C)W.Heisenberg(D)E.Schrodinger

24.2分(1108)

微粒在间隔为leV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数。应为：------()

(A)4032cm-1(B)8065cm-1

(C)16130cm-1(D)2016cm」

(leV=1.602X10l9J)

25.2分(1114)

普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：----------------()

(A)6.02XI0-23尔格(B)6.625X10-30尔格•秒

©6.626X10-34焦耳.秒①)I.38X10」6尔格.秒

26.2分(1116)

首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------()

(A)薛定谓(B)狄拉克

(C)海森堡(D)波恩

27.2分(1118)

下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：-----------------()

(A)电子自旋(保里原理)

(B)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征

(C)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的

(D)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理

28.2分(1119)

描述微观粒子体系运动的薛定谡方程是：--------------------------()

(A)由经典的驻波方程推得

(B)由光的电磁波方程推得

(C)由经典的弦振动方程导出

(D)量子力学的一个基本假设

二、填空题(共14题43分)

1.2分(1002)

光波粒二象性的关系式为。

2.5分(1003)

德布罗意关系式为:宏观物体的人值比微观物体的X值

3.2分(1004)

在电子衍射实验中，I,I2对一个电子来说，代表。

4.2分(1011)

测不准关系是，它说明了。

5.2分(1017)

一组正交、归一的波函数5,“3,…。正交性的数学表达式为(a),归一

性的表达式为(b)。

6.2分(1018)

|“(Xi，%,z”x2,y2,Z2)|2代表。

7.2分(1026)

物理量xpy-ypx的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是。

8.5分(1045)

(1)一电子处于长4=2/,/»=/的二维势箱中运动，其轨道能量表示式为

E”,/,=---------------------------:

(2)若以上千为单位，粗略画出最低五个能级，并标出对应的能量及量子数。

32ml2

,

)=2r

z是〃a为

为标7>m

6。2一e能

;;集坐=势

;，E度

;(x处其长

数”是，,

2大的

为长是子箱

为为函^最

波数度度振势

量度。

谱征函并谐维

集率密。一

光波率并简维

能本一为算

数收。概的估

概其的是。

低吸动简方2试

函o运1'—即，

时则巴a2m。

的中时+为峰

最迁，其上m「程量

，征箱4个

.动态丘能云

动间跃方，一

运=的率第

运本2/态状二级口方

/中立a向

中为发箱的上m能为子

于4概方

箱的—势为其量

激a丹的波

势谱0形处量，质

向为电现长

维符在方子能子是

一现态长出是

值长的粒作定

的算出边粒的则点也

/基的系。看，

子1在动，一

为征从2当体似同峰

顿粒限运云

长子为；若近薛间收:

中是子式

在本，宽局;可空吸

子密电I、箱指鬼形

时被在：强

粒其长体度，的是义列

态为子定子下一

个哈的基，在方动能下

谱粒正来电如有有

一于长子振点处

值的的并它个构具

)的系系处粒)))的)零)夕)))

6越78。5,450两7结m6】

4该征4m47子8的8数22n4

0m系箱0002001的1的21符

1本11为简1分/1系1函1131

(J体体体势若(为((2(((同(A3(算

长kx体波

担XJZ\J/XI/\JXV),子相

*TaQe45分量分边分=观分用分素在分知

分((的原V分分旋

5质2在21微1若15生它2已

01双自

..维.

.0.12.3.4.567

9.11111111

d2d

⑴F⑵区+、

试求Z2算符的具体表达式。

18.5分(1156)

若户和©为两个线性算符，已知方©一©户=1,证明:

人人人人人,

FGn-G"F=nG'"'

三、计算题(共128题)

1.5分(1005)

求德布罗意波长为0」nm的电子的动量和动能。

2.5分(1006)

波长入=400nm的光照射到金属钠上，计算金属钠所放出的光电子的速率。己知钠的临

阈波长为600nm。

3.5分(1007)

光电池阴极钾表面的功函数是2.26eV。当波长为350nm的光照到电池时，发射的电子

最大速率是多少？

l931

(1eV=1.602X10J,电子质量we=9.109X10-kg)

4.2分(1008)

计算电子在10kV电压加速下运动的波长。

55分(1106)

已知Ni的功函数为5.0?eVo

(1)计算Ni的临阈频率和波长；

(2)波长为400?nm的紫外光能否使金属Ni产生光电效应？

6.10分(1013)

测不准原理的另一种形式为AE•n。当一个电子从高能级向低能级跃迁时,

发射一个能量子〃丫，若激发态的寿命为IO-9?s,试问M的偏差是多少？由此引起谱线

宽度是多少(单位cm")?

7.10分(1029)

设体系处在状态"=C|"2U+C2夕210中，角动量后和混有无定值。其值为多少？若无,

则求其平均值。

8.5分(1030)

试求动量算符/产/h•的d本征函数(不需归一化)。

i2兀dx

9.10分(1034)

限制在一个平面中运动的两个质量分别为g和m2的质点，用长为R的、没有质量

的棒连接着，构成一个刚性转子。

(1)建立此转子的Schrodinger方程，并求能量的本征值和归一化的本征函数；

(2)求该转子基态的角动量平均值。

已知角动量算符M=M:=-i——.

27t%

10.10分(1035)

对一个质量为相、围绕半径为火运行的粒子，转动惯量/=加胪，动能为M/2/,

卜2淬为2o2

M2=JJ。Schrodinger方程HW=E,变成——j=E夕。解此方程,

4兀2即288兀力废沛2

并确定允许的能级。

II.5分(1044)

一个在边长为。的立方势箱中的氢原子，动能为七左兀求对应于每个能量的

22

波函数中能量量子数〃值的表达式。

12.5分(1050)

15/?2

对于立方势箱中的粒子，考虑出E<的能量范围，求在此范围内有几个能级？

在此范围内有多少个状态？

13.10分(1051)

一维线性谐振子的基态波函数是3=Zexp[-&2],式中A为归一化常数，B=n(必严/〃，势

能是匕业将上式“代入薛定丹方程求其能量及

14.10分(1052)

分子CH2cHeHCHCHCHCHCHb中的兀电子可视为在长为8/?c-c的一维势箱中运动的自

由粒子。分子的最低激发能是多少？它从白色光中吸收什么颜色的光；它在白光中显示什么

颜色？(已知7?c-c=140pm)

15.5分(1053)

被束缚在0<x<a区间运动的粒子，当处于基态时，出现在0.25aWxW0.7a区间内的概率

是多少？

16.5分(1054)

一个电子处于宽度为10」4m的一维势箱中，试求其最低能级。当一个电子处于一个

大小为10」4m的质子核内时，求其静电势能。对比上述两个数据，能得到什么结论？

(已知电子质量/ne=9.109X10-kg,4TOO=1H3X1O10?J-1C2m,电荷e=1.602XIO*

C)

17.10分(1056)

作为近似，苯可以视为边长为0.28nm的二维方势阱，若把苯中兀电子看作在此二维

势阱中运动的粒子，试计算苯中成键电子从基态跃迁到第一激发态的波长。

18.10分(1062)

函数,(x)={2sin+2J?sin巴是否是一维势箱中的一个可能状态？试讨论

Vaa

其能量值。

19.10分(1059)

函数,(x)=2j2sin至-3J-sin^是不是一维势箱中粒子的一种可能状态？如

Vaavaa

果是，其能量有没有确定值(本征值)？如有，其值是多少？如果没有确定值，其

平均值是多少？

20.10分(1060)

在长为/的一维势箱中运动的粒子，处于量子数为〃的状态，求：

(1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率；

(2)〃为何值时，上述概率最大？

(3)当〃一8时，此概率的极限是多少？

(4)(3)中说明了什么？

21.10分(1061)

状态〃iu(x,y>z)=—sin生sin咛概率密度最大处的坐标是什么？

abc

状态332l(X，y，Z)概率密度最大处的坐标又是什么？

22.5分(1063)

根据驻波的条件，导出一维势箱中粒子的能量。

23.10分(1064)

求下列体系基态的多重性(2S+1)。

(1)二维方势箱中的9个电子；

(2)lx=2a,/,二维势箱中的10个电子；

(3)三维方势箱中的11个电子。

24.5分(1065)

试计算长度为a的一维势箱中的粒子从〃=2跃迁到m3的能级时，德布罗意长的变化。

25.10分(1066)

在长度为100pm的一维势箱中有一个电子，问其从基态跃迁到第一激发态吸收的辐射

波长是多少？在同样情况下”粒子吸收的波长是多少？

(已知We=9.109X10-31kg,%*6.68X102？kg)

26.5分(1067)

试问一个处于二维势箱中的粒子第四个能级的简并度为多少？

27.10分(1068)

(1)写出一维简谐振子的薛定谓方程；

(2)处于最低能量状态的简谐振子的波函数是

2

or

%=(一)1/4exp[-a2x2/2]

71

此处，二=(4君如麻)叫试计算振子处在它的最低能级时的能量。

(3)波函数,在x取什么值时有最大值？计算最大值处厅的数值。

28.5分(1069)

假定一个电子在长度为300pm的维势阱中运动的基态能量为4?eV。作为近似把氢

原子的电子看作是在一个边长为100pm的立方箱中运动。估计氢原子基态电子能量。

29.10分(1070)

•个质量为机的自由粒子，被局限在4-R2至廉=R2之间的直线上运动，求其相应的

波函数和能量(在-H2WxWa/2范围内，-=0)。

30.5分(1071)

已知一维势箱的长度为0.1nm,求：

(1)〃=1时箱中电子的deBroglie波长；

(2)电子从n=2向〃=1跃迁时辐射电磁波的波长；

(3)〃=3时箱中电子的动能。

31.10分(1072)

(1)写出一维势箱中粒子的能量表示式；

(2)由上述能量表示式出发，求出pj的本征值谱(写出过程)；

(3)写出一维势箱中运动粒子的波函数。

(4)由上述波函数求力学量区的平均值、p」的本征值谱。

32.10分(1073)

在0-a间运动的一维势箱中粒子，证明它在al4WxWal2区域内出现的概率

P=-[1+2sm(〃兀/2)b当时，概率p怎样变？

4nit

33.10分(1078)

试证明三维势箱中粒子的平均位置为(a/2,b/2,c/2)。

34.10分(1079)

以“=exp[-af]为变分函数，式中a为变分参数，试用变分法求一维谐振子的基态能量和

波函数。

35.10分(1081)

把苯分子看成边长为350pm的二维四方势箱，将6个岫子分配到最低可进入的能级，

计算能使电子上升到第一激发态的辐射的波长，把此结果和HM0法得到的值加以比较(力

实验值为-75XI()3?j.mol」)。

36.10分(1082)

写出一个被束缚在半径为。的圆周上运动的、质量为用的粒子的薛定谓方程，求其解。

37.2分(1083)

一个以1.5X106?m-s“速率运动的电子，其相应的波长是多少？(电子质量为9.1X

10-31kg)

38.1分(1089)

求函数「e""°对算符i-t的本征值。

d(P

39.2分(1091)

一个100W的钠蒸气灯发射波长为590?nm的黄光，计算每秒钟所发射的光子数目。

40.5分(1092)

一个在一维势箱中运动的电子，其最低跃迁频率是2.0X10"?s'1,求一维势箱的长度。

41.5分(1093)

一电子在长为600?pm的一维势箱中由能级〃=5跃迁到〃=4,所发射光子的波长是多少？

42.5分(1094)

求证:xe-"2/是否是算符(_9+/)的本征函数？若是，本征值是多少？

dx

43.5分(1095)

求波函数,=e人所描述的粒子的动量平均值，运动区域为-8<xW8。

44.5分(1096)

求波函数％coskx所描述的粒子的动量平均值，运动区间为-8WxW8。

45.5分(1097)

将原子轨道仁e-"。。归一化。

已知「x"eSdx=2

」)4

46.5分(1098)

用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为200kV,计算电子加

速后运动时的波长。

47.5分(1099)

金属锌的临阈频率为8.065X10“用波长为300nm的紫外光照射锌板，计算该锌

板发射出的光电子的最大速率。

48.5分(1103)

计算下列各种情况下的deBroglie波长。

(1)在电子显微镜中，被加速到1000kV的电子；

(2)在300K时，从核反应堆发射的热中子(取平均能量为切72)

(3)以速率为1.0m•s1运动的氮原子(摩尔质量39.948g•mol-1)

(4)以速率为IO-10m•5运动的质量为1g的蜗牛。

(leV=1.60X10l9J,1.38XIO_23J•K1)

49.5分(1104)

计算能量为100eV的光子、自由电子、质量为300g小球的波长。

19；il

(leV=1.60X10-J,we=9.109X10kg)

50.5分(1105)

钠D线(波长为589.0nm和589.6nm)和60co的丫射线(能量分别为1.17MeV和

1.34MeV)的光子质量各为多少？

51.5分(1107)

已知K的功函数是2.2?eV,

(1)计算K的临阈频率和波长；

(2)波长为400nm的紫外光能否使金属K产生光电效应？

(3)若能产生光电效应，计算发射电子的最大动能。

52.5分(1109)

欲使中子的德布罗意波长达到154?pm,则它们的动能和动量各应是多少？

53.5分(1110)

计算下列粒子的德布罗意波长，并说明这些粒子是否能被观察到波动性。

(1)弹丸的质量为10?g,直径为1?cm,运动速率为106?m•s-1

(2)电子质量为9.10X10-28?g,直径为2.8OX10-13?cm,运动速率为106?m•s-1

(3)氢原子质量为1.6义10一24?g,直径约为7X子-9?cm,运动速率为1037m•s',若

加速到106?m•s'1,结果如何？

54.5分(1111)

金属钠的逸出功为2.3eV,波长为589.0?nm的黄光能否从金属钠上打出电子？在金属

钠上发生光电效应的临阈频率是多少？临阈波长是多少？

55.5分(1112)

试计算具有下列波长的光子能量和动量：

⑴0.1m(微波)(2)500?nm(可见光)⑶20pn(红外线)

(4)500?pm(X射线)(5)300?nm(紫外光)

56.5分(1113)

计算氢原子在其平均速率运动的德布罗意波长，温度分别为300K,1K和10*＜。

57.5分(1117)

根据测不准关系，说明束缚在0到。范围内活动的一维势箱粒子的零点能效应。

58.10分(1121)

试求“No?/兀严exp(-a2f/2)在a等于什么值时是线性谐振子的本征函数，其本征值是多

少？

59.5分(1122)

对于一个在特定的一维箱中的电子，观察到的最低跃迁频率为4.0X1014sL求箱子的

长度。

60.10分(1123)

氢分子在一维势箱中运动，势箱长度/=100?nm,计算量子数为”时的deBroglie波长

以及〃=1和"=2时氢分子在箱中49?nm到51?nm之间出现的概率，确定这两个状态的节

面数、节面位置和概率密度最大处的位置。

61.10分(1124)

求解一维势箱中粒子的薛定丹方程

2

-h42;dy"(x)=E〃(x)

8兀一加dx-

62.10分(1125)

质量为m的粒子在边长为/的立方势箱中运动，计算其第四个能级和第六个能级的能量

和简并度。

63.5分(1126)

在共枕体系中将兀电子运动

HHHH

——

——

I——

C

HcCCC

3//Q/二/

\/<>\\

NccN

——

——III

HHHH

CH3

简化为一维势箱模型，势箱长度约为L30nm,估算兀电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值

510nm比较。

1127维生素A的结构如下：

CH,CH,CH,CH,

CH,OH

它在332nm处有一强吸收峰，也是长波方向第一个峰，试估算一维势箱的长度I.

64.10分(1128)

一维势箱中一粒子的波函数幺(x)=(2//)"2sin(〃口〃)是下列哪些算符的本征函数，并求出

相应的本征值。

(A)瓦(B)办(C)x(D)方匕总

2mdx~

65.5分(1129)

试证明实函数02(。)=(1/兀产COS2。和6'(碘=(2/兀严sin2Qos。都是。方程

d2

--+4]0(^)=0的解。

d0

66.5分(1130)

证明函数x+iy,x-iy和z都是角动量算符//的本征函数，相应的本征值是多少？

67.5分(1131)

波函数具有节面正是微粒运动的波动性的表现。若把一维势箱粒子的运动看作是在直线

上的驻波，请由驻波条件导出一维箱中粒子的能级公式，并解释为什么波函数的节面愈多其

对应的能级愈高。

68.5分(1132)

设氢分子振动振幅为lX10"'cm,速率为转动范围约1X10、cm,其动量约

为振动的1/10左右，试由测不准关系估计分子的振动和转动能量是否量子化。

69.10分(1133)

①丁二烯和②维生素A分别为无色和橘黄色，如何用自由电子模型定性解释。

①〜

已知「二烯碳碳键长为1.35XIO”nm(平均值)，维生素A中共筑体系的总长度为

1.05nm(实验值)。

70.5分(1135)

照射到In?地球表面的太阳光子数很少超过每小时ImoL如果吸收光的波长九=400nm,

试问太阳能发电机每小时每平方米从太阳获得最大能量是多少？如转化率为20%,试问对

一个1000MW的电站需要多大的采光面积？

71.5分(1136)

根据测不准关系，试说明具有动能为50eV的电子通过周期为106m的光栅能否产生衍

射现象？

72.5分(1137)

COz激光器给出一功率为IkW、波长为10.6Rm的红外光束，它每秒发射的光子是多

少？若输出的光子全被Idn?水所吸收，它将水温从20°C升高到沸点需多少时间？

73.5分(1138)

欲使电子射线与中子束产生的衍射环纹与Cua线(波长154pm的单色X射线)产生的

衍射环纹相同，电子与中子的动能应各为多少？

74.5分(1139)

氯化钠晶体中有一些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，可将这些电子看成是束缚于

边长为0.1nm的方箱中。试计算室温下被这些电子吸收的电磁波的最大波长，并指出它在什

么样的电磁波范围。

75.10分(1140)

已知有2〃个碳原子相互共朝的直链共筑烯烧的份子轨道能量可近似用一维势阱的能

级公式表示为

k2h2

Ek=----；-------7k=l,2,2n

8加厂(2〃+1)-

其中，机是电子质量，/•是相邻碳原子之间的距离，4是能级序号。试证明它的电子光谱第

一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长2与n成线性关系。假定一个粒子在台

阶式势阱中运动，势阱宽度为/,而此台阶位于〃2〜/之间，

76.10分(1142)

“0和“I是线性谐振子的基态和第一激发态正交归一化的能量本征函数，令

/〃o(x)+B/G)是某瞬时振子波函数，A,B是实数，证明波函数的平均值一般不为零。A

和8