2022年高考艺术生专用数学讲义-第38讲椭圆（教师版）

第38讲椭圆

1、椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点片、工的距离之和等于常数（归耳|+|「玛|=2a>阳可），这个动点

P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若|尸耳则动点尸的轨迹为线段环尸

\+\PF2|=|F,F2|,2；

若|P£|+|p居|<|F,F2|,则动点P的轨迹无图形.

2、椭圆的简单几何性质

2222

椭圆：0+==1（。>方>0）与4+J=1（a>b>0）的简单几何性质

a2b2a2b2

2222

二十二=1(a>b>0)

标准方程十一11"/>。>0)

crb~a~b-

______Il_______

y\

8,

<7

图形

X

居J

C

焦点F1(-c,0),F2(,O)片(0,—c),F2(0,C)

焦距1K居|=2cIK居|=2c

范围|x\<a,|y\<b1*1",|y

对称性关于x轴、y轴和原点对称

性质顶点(±«,0),(0,±b)(0,±a),(地0)

轴长长轴长=2a,短轴长=2万长半轴长=。，短半轴长=》（注意看清题目）

离心率e=—(0<e<1)

a

AX|=|A2K\=a-c-从外|=2G|=〃+C；Q_C4|PF}|WQ+c；

（P是椭圆上一点）（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范1围)

3、椭圆相关计算

（1）椭圆标准方程中的三个量a,4c的几何意义=人2+。2

2

（2）通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其2长b竺焦点弦：椭圆过焦点的弦。

a

2b2

最短的焦点弦为通经丝，最长为2a。

a

（3）最大角：P是椭圆上一点，当P是椭圆的短轴端点时，/耳尸尼为最大角。

（4）椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

,0

焦点三角形的面积S.F/2=btan2,其中。=（注意公式的推导）

题型一：椭圆定义

1.（2021•乌苏市第一中学高二月考）若椭圆1+y2=l上一点A到焦点耳的距离为2,则点A到焦点K的

距离为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】

由椭圆方程知:。=3,又|A耳+|A8|=2a,|然|=2,

AIAF21=2a-\AFt|=6-2=4.

故选：I）

r22

2.（2021•全国高二课时练习）设尸是椭圆二+二v=1上的点，尸到该椭圆左焦点的距离为2,则P到右

259

焦点的距离为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】

设该椭圆左焦点为6,右焦点为心，由题可知a=5,所以|P£|+|P周=2a=10,而|P4|=2,所以忸闾=8.

故选：C.

3.（2021•福建省连城县第一中学高二月考）已知AABC的顶点8,C在椭圆上+丁=1上，顶点A是椭圆

3

的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（）

A.2A/3B.6C.4D.4G

【答案】D

【详解】

\AC]+\CF2\+\F2B\+\BFl\=2a+2a=4a=4yf3.

故选：D.

4.（2021•吉林长春十一高高二月考）若椭圆＜+V=1上一点A到焦点K的距离为2,8为Ag的中点,

。是坐标原点，则I1的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】

因为椭圆总+丁=1，所以。=3,设椭圆的另一个焦点为鸟，则座|=%一2=6-2=4,

而08是aAK鸟的中位线，所以|0用=用=2.

故选：B.

5.（2021•广东光明•高三月考）已知直线/：y=*+l与曲线C：V+ltf相交于两点，尸（0,-1）,

2

则AABE的周长是（）

A.2B.2近C.4D.4」

【答案】D

【详解】

v2

依题意椭圆X2+*1—=1，a=\l2yb=l,c=1♦

2

椭圆的焦点为（0,1）,（O,T）,

所以厂是椭圆的焦点，且直线/过椭圆的另一个焦点（。,1）.

所以AAM的周长为4a=4及.

故选：D

6.（2021•渝中•重庆巴蜀中学高二开学考试）若椭圆1+4=1上一点尸到椭圆一个焦点的距离为4,则

2516

产到另一个焦点的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【详解】

设点P到另一个焦点的距离为d，

由椭圆方程可知/=25,为=10,

则4+d=10,所以d=6.

故选：D

7.（2021•全国高三专题练习（理））已知定点6,招，且|大61=8,动点P满足IP"|+|「工|=8,则

动点P的轨迹是（）

A.椭圆B.圆C.直线D.线段

【答案】D

【详解】

因为"1+%1=1E川，所以动点〃的轨迹是线段ER.

故选：D

8.（2021•全国高三专题练习（理））已知“ABC的顶点8,C在椭圆三+/=1上，顶点A是椭圆的一个

3

焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则AABC的周长是（）

A.2>/3B.40C.4D.6

【答案】B

【详解】

_丫2

柚M—Fy2=1>则〃=,

3

由题意可得AABC的周长为|AC|+|C闾+后回+|防|=2«+2a=4«=4G.

故选：B

9.（2021•六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））已知P椭圆W+£=l上的动点，则P到该椭圆

164

两焦点的距离之和为（）

A.2#>B.4C.4GD.8

【答案】D

【详解】

根据椭圆方程崂+}=1可得。=4,

164

所以户到该椭圆两焦点的距离之和为2a=8.

故选：D.

10.（2021•山西省长治市第二中学校高二期末（文））已知椭圆二+f=l上一点尸到椭圆一个焦点的距

3616

离是3,则点P到另一个焦点的距离为（）

A.9B.7C.5D.3

【答案】A

【详解】

由椭圆定义知，点〃到另一个焦点的距离为2X6-3=9.

故选：A

题型二：椭圆标准方程

1.（2021•全国）以双曲线1-4=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）

109

【答案】C

【详解】

双曲线1-4=1的焦点为（―5,0）,（5,0）,顶点为（T,o）,（4,0）,

169

所以椭圆的焦点坐标为（7,0）,（4,0）,顶点为（-5,0）,（5,0）,

所以从—a2—c2=25—16=9,

所依椭圆的方程为E+片=1.

259

故选：C

22

2.（2021•沙坪坝•重庆八中高二月考）已知曲线」一+工=1表示椭圆，则山的取值范围为（）

3-mm-\

A.（1,+8）B.（y，3）c.（1,3）D.（1,2）U（2,3）

【答案】D

【详解】

3-/H>0

由题意可得,解得1<〃7<3且相。2,

3一mw机一1

所以0的取值范围为（1，2）U（2,3）.

故选：1）

22

3.（2021•全国高二课时练习）已知方程」L+上.=1表示椭圆，则实数上的取值范围是（）

3+k2—女

A./B.13T卜卜；,2）

C.（2次）D.（一》,一3）

【答案】B

【详解】

由于方程上+上=1表示椭圆，

3+k2-k

3+k>0

所以<2-上>0

3+k*2-k

故选：B

2

4.（2021•全国高二课时练习）椭圆工+工-=1的焦距是2,则加的值为（）

m、

A.5B.3C.5或3D.20

【答案】C

【详解】

因为焦距是2,所以c=l,

当焦点在工轴时，cr=m,tr=4,.*.c2=a2-b2=m-4=\

解得，m=5,

2222

当焦点在。轴时,a=4,〃2=m,:.c=a-b=4一加=I

解得，加二3,

故选：C.

5.（2021•全国高二课时练习）焦点坐标为（0,-4）,（0,4）,且长半轴。=6的椭圆方程为（)

【答案】B

【详解】

V-2V2

因为C=4,〃=6,所以〃=〃2一Q2=2（）,而焦点在y轴上，所以椭圆方程为一+^-=1.

2036

故选：B.

2222

6.（2021•全国）椭圆工+与=1与双曲线二-^=1有相同的焦点，则实数。等于（）

4a-a-2

A.1B.-1C.1D.一1或1

【答案】D

【详解】

22

因为双曲线鼻-匕=1的焦点在横轴上，

a22

所以山题意可得：4—<72=<72+2=>672=1=>«=±1.

故选：D

7.（2021•江苏广陵•扬州中学高二月考）椭圆V+2y2=4的焦点坐标为（）

A.（V2.0）,（-72,0）B.（0,72）,（0,-72）

C.（V6,o）,（-76,0）D.（0,76）,（0,-76）

【答案】A

【详解】

由题得方程可化为，—+^=1

42

所以/=4,6=2,c?=4-2=2

所以焦点为（土灰,0）

故选：A.

8.（2021•全国）已知椭圆冷+?=1的一个焦点坐标为（0,2）,则我的值为（）

A.1B.3C.9D.81

【答案】A

【详解】

22

由椭圆矗+=1的一个焦点坐标为（°，2），则半焦距U2,

于是得（2+2）+2?=7,解得2=1,

所以A的值为1.

故选：A

题型三：离心率

1.（2021•毕节市实验高级中学高二月考（文））若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形

的四个顶点，则椭圆的离心率为（)

A./D.男

B.—U.--

2233

【答案】B

【详解】

由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，

所以b=c.

则a=y/b2+c2=~j2c，

所以离心率e=£

a2

故选：B

22

2.（2021•泉州鲤城北大培文学校高二期中）椭圆上+上=1的离心率为（）

168

A.-B.1C.BD.—

3222

【答案】D

【详解】

22

解：因为椭圆方程为：工+工=1,所以/=16,〃=8,所以。=4,又c2=/-b2,所以c=2&，所以

168

离心率6=工=也=也

。42

故选：D

3.（2021•全国高二课时练习）已知椭圆。:£+a=1（">方>0）的离心率为遮，则（）

A.a=2h~B.a=2bC.3a2=4b2D.3a=46

【答案】B

【详解】

e=&,得e=Jl-《=①,得。2=4〃，即

2\a22

故选：B

22

4.（2021•贵溪市实验中学高三模拟预测）椭圆土V-+匕V=1的离心率为2；（）

943

A.对B.错

【答案】B

【详解】

对丁棉I圜万+、■=1,6?=3,c=\la2—b2=\j9—4=V5>

所以离心率为e=£=好.

a3

故选：B

22

5.（2021•全国高三专题练习（文））设椭圆a=+4=l（a>"0）的左、右焦点分别为K，K，过人的

a-b

直线与C交于A5两点，若AAB片为等边三角形，则。的离心率为（）

A.BB.—C.—D.7

3232

【答案】A

【详解】

由于AABK为等边三角形，根据椭圆的对称性可知AB1Ff2,

在RtZiA片苞中，ZAFtF2=片名=1:2:百，

2c百_6

所以e=

2a-1+2-3

故选：A

6.（2021•林芝市第二高级中学高二期末（文））椭圆工+二=1的离心率为（）

49

A.—B.-C.更D.—

3333

【答案】C

【详解】

由椭圆方程可知储=9,从=4,所以＜?=半-62=5,

椭圆的离心率e=£=些.

a3

故选：C

22

7.（2021•黑龙江实验中学高三模拟预测（文））已知抛物线G：丁=-软的焦点与椭圆C,:「+汇=1（。＞0）

a3

的一个焦点重合，则G的离心率为（）

A.-B.；C.-D.正

4242

【答案】B

【详解】

02

抛物线C:y2=-4x的焦点为（T0）,则椭圆C2：5+E=l（a＞0）的一个焦点为（—1,0）,则储=3+1=4,

a3

解得a=2,所以G的离心率为e=；.

故选:B.

8.（2021•吉林（文））已知，”是1和9的等比中项，则圆锥曲线£+反=1的离心率为（）

m

A.见B.逅或2C.2叵D."或2叵

33333

【答案】B

【详解】

山，"是1和9的等比中项，可得m=±3,

当机=3时，曲线方程为/+?=1,该曲线为焦点在＞轴上的椭圆，离心率6=后=当，

当〃?=-3时，，曲线方程为V=1,该曲线为焦点在X轴上的双曲线，离心率e=VTd=2,

3

故选：B.

9.（2021•贵州高三模拟预测（理））已知椭圆C:《+片=l（，〃＞4）的离心率为立，则椭圆C的长轴长

m43

为（)

A.nB.6C.2瓜D.12

【答案】C

【详解】

由题意可知：、但m=4,解得m=6,所以椭圆长轴长为：2限.

Vm3

故选：C.

10.（2021•宁夏吴忠中学高二月考（文））椭圆/+±=1的离心率为（）

4

A.&B.3C.45D.由

22

【答案】B

【详解】

解：因为/+汇=1,所以/=4,廿=1,即a=2,b=l,又因为02=/_廿=3,所以c=G

4

所以离心率e=£=——

a2

故选：B

题型四：焦点三角形

1.（2021•广东光明•高三月考）已知直线/：y=x+l与曲线GY+2_=1相交于A5两点，尸（0,-1）,

2

则AAB尸的周长是（）

A.2B.2A/2C.4D.4及

【答案】1）

【详解】

依题意椭圆/+匕=1，a=\/2,b=\,c=\，

2

椭圆的焦点为（0,1）,（0,-1），

所以F是椭圆的焦点，且直线/过椭圆的另一个焦点（0,1）.

所以“ABF的周长为4〃=40.

故选：D

2.（2021•全国高三专题练习（理））已知A4BC的顶点8,C在椭圆工+尸=［上，顶点A是椭圆的一

3

个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则A4BC的周长是（）

A.B.4A/3C.4D.6

【答案】B

【详解】

山题意可得A43C的周长为|AC|+|Cg|+优却+怛用=2a+%=4a=4g.

故选：B

2

3.（2021•全国）已知△A8C的顶点8、C在椭圆工+丁=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外

3

一个焦点在8c边上，则A4BC的周长为（）

A.2B.2&

C.4D.4yli

【答案】D

【详解】

由椭圆方程知：2a=2石，又IA8I+IB且|=|AC|+|CFJ=2a,|BF|=|BF2\+\CF2\,

/.△ABC的周长为4a=4y/3,

故选：D.

4.（2021•林芝市第二高级中学高三月考（文））已知片，尸2是椭圆C：《+y2=i的两个焦点，若点尸是

4

椭圆C上的一个动点，则AP耳鸟的周长是（）

A.4+273B.4+26C.8D.10

【答案】A

【详解】

丫2

由椭圆C：—+V=1知，

4

a=1，b=l,°=y/a2—tr=A/3（

所以出闾=2后,

由椭圆的定义知,\PF}\+\PF2\=2a=4,

则△/岑玛的周长为：|「制+|P闾+忸阊=4+2石.

故选：A.

5.（2021•怀仁市第一中学校云东校区（文））椭圆1+1=1与y轴的交点为尸，两个焦点为尸I，尸2,则

2516

△P冗行的面积为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【详解】

I!1利同全+言=1可得a=5,〃=4,所以=,25-16=3,

令x=0可得y=±4,所以尸（0,±4）,

所以△尸耳苞的面积为gx|y/x比用=gx4x6=12,

故选：D

6.（2021•北京市育英学校高二期末）己知点耳,写分别是椭圆《+亡=1的左、右焦点，点尸在此椭圆上,

259

“PF]=60,贝I]△/华工的面积等于

A.6B.36C.6石D.95/3

【答案】B

【详解】

H:ll1«1——+—=1

259

则〃=25,加=9,所以1=16,

则|「用+|P周=2«=10,|叫|=2c=8

2

^+\PF2-\FF2[=1

由余弦定理可知cos/耳尸用

2\PFt\-PF2\2

代入化简可得|p6|忖用=12,

则以印2=3阀HP闾-sinNKP耳=gxl2x*=3』,

故选：B.

7.（2021•深州长江中学）设M是椭圆卷+]=1上的一点，6,鸟为焦点，且N不明=9,则AMF内的

25166

面积为

A.B.16（2+73）C.16（2-6）D.16

3

【答案】C

【详解】

试题分析：设初耳=4用用=々,则为+々=1°，

所以山余弦定理得：cosZ/^MF,二汇芋”402='即迎涮,

2玉/217

所以人杵内=；演々sin/-河鸟=16（2-6）.

8.（2021•黑龙江鹤岗一中高二月考）已知椭圆]+£=1（。>匕>0）的左、右焦点分别为耳，F2,A为椭

圆上一动点（异于左、右顶点），若“片E的周长为6,且面积的最大值为6,则椭圆的标准方程为（）

r222222

A.1=1B.F--=1C.Fy2=1D.Fy2=1

433224

【答案】A

【详解】

由椭圆的定义可得2（〃+c）=6,

/.Q+C=3①，

当点A为上顶点或下顶点时，△人月工的面积取得最大值为税,

•**he=②.又/=/+A?③，

由①②③，得a=2,b=VJ,c=1,

・・・椭圆的标准方程为兰+反=1.

43

故选：A

22

9.（2021•全国）椭圆二+与=1（〃>8>0）的左、右焦点分别为K，K，A（0,8）,△然鸟的面积为g,

ab

且鸟=乙4耳玛，则椭圆方程为（）

丫2丫22

A.—+/=1B.二+匕=1

334

【答案】D

由题意可得3-2c力=6，且b=Gc,a2=b2+c2,

解得a=2,b=y/3,c=l,所以椭圆的方程为三+炉=1,

43

故选：D.

22

10.（2021•全国高二课时练习）椭圆三+二=1的焦点为K，6，点P在椭圆上，如果线段尸片的中点在

123

y轴上，那么|「制：|尸闾的值为（）

98

A.7B.5C.-D.-

23

【答案】A

【详解】

由二+乙=1可知/=12,〃=3,

123

所以c2=a2_/?2=]2-3=9，

所以E（—3,0）,4（3,0）,

•••线段用的中点初在y轴上，且原点。为线段耳马的中点，

所以户乙//M。，所以尸乙，x轴，

.,•可设〃（3,6）,

把。（3,6）代入椭圆工+汇=1,得从

1234

二,期|=小6+；=苧,“|=6!=今

.四=H=7

,.IPKI@'

~2

故选：A.

11.（2021•全国高三专题练习（文））已知椭圆。:5+/=1（。>6>0）的左、右焦点分别是耳，外,直

线>与椭圆C交于A,8两点，|A耳|=3忸用，且/耳A乙=60。，则椭圆C的离心率是（）

【答案】B

【详解】

由椭圆的对称性，得|A闻=|町|.设|A闾=m，则|A用=3".由椭圆的定义，^\AFt\+\AF2\=2a,即

m+3>m=2a,解得相=微，故|A月|=¥，周=:

在中，由余弦定理，得⑶入「=|A4『+|Ag「-2|A4|A周cos/4A£,即

29/a23aa\la2c21V7

4c=---4-----2x—x-x-=,m则ile2=~=—，成e=—.

442224a2164

故选：B.

/2

12.（2021•全国）己知人,尸2是椭圆上+v二=1的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则