初三几何问题之中点题型优质文档

7.7.倍长中线。二.与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。一、基础回顾1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2.若点C是线段AB的中点，则：①从线段来看：12ACBCAB；②从点与点的相对位置来看：点C在点AB、之间，且点AB、关于点C对称。3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。①一个三角形有三条中线；②每条中线平分三角形的面积；③三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1.延长1倍的中线：如图，线段AD是ABC的中线，延长线段AD至E，使DEAD（即延长1倍的中线），再连接BECE、。①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABDECD、ACDEBD，且每对全等三角形都关于点D中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BADCED，CADBED，ABDECD，ACDEBD，ADBECD，ADCEDB；可以移边：ABEC，ACEB；可以构造平行线：AB∥EC，AC∥EB；可以构造边长与AB、AC、AD有关的三角形：ABE、ACE。（1）延k长倍的中线：（0k且1k）如左（右）下图，点E为ABC中线AD（DA延长线）上的点，延长AD至F，使EDFD，连接BE、CE、BF、CF.在平行四边形BFCE中就可以得到类似（1）中的结论。注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种辅助线.整体做题思路：全等三角形中线倍长利用性质解决问题平行四边形.如图，ABC中，ABAC，AD是中线.求证：DACDAB。例题1AABCED【证明】：延长AD到点E使得ADDE，联结CE∵AD是ABC中线∴BDCD在ADB和EDC中:∵ADDEADBEDCBDCD；∴ADB≌EDC∴ABCE，DABE又∵ABAC∴CEAC∴DACE∴DACDAB►点评：1.比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F.求证：AFEF。例题2AABCHDEF【证明】：延长ED到点H使得EDDH，联结CH∵AD是ABC中线∴BDCD在EDB和CDH中:∵DEDHEDBCDHBDCD；∴EDB≌CDH∴CHBE，BEDH又∵BEAC∴CHAC∴CADH∴AEFDEBHCAD∴AEFCAD∴AFEF.已知ABC中，12AB，30AC，求BC边上的中线AD的范围。例题3DACDACACD，ADCD.90ACB，90BACABC，又90ACDBCD，BCDABC，BDCD，BDCDAD，2.发现线段CD为斜边AB上的中线，且等于斜边的一半。3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4.通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。二、出现三角形边上的中点，作中位线1.中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.2.中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3.中位线辅助线能起到的作用：①在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能.②在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能.4.通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：①有两个（或两个以上）的中点时；②有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。熟悉以下两个图形：.已知如图，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。求证：2FCAF。【证明】：如图1，过点D做DGBF∥，交AC于G∵D是BC边的中点，DGBF∥∴FGGC。同理，AFFG∴22AFFGFGGCFC即2FCAF图5FABCENDFABCEDKM图6ABCEDFHI图7例题6例7.如图1-1，已知RtABC中，ABAC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1，求证：BMDM且BMDM；（2）将图1-1中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。【分析】：图1-1中由于点M为直角三角形斜边EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管ADE绕点A进行了旋转，但M为EC的中点的条件依然未变，于是仍然可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。【证明】:（1）如图2，在RtABC和RtADE中，∵M为公共斜边EC的中点,54231NFMEBACD图3图2例题7图1-1图1-2∴∴90GMDBMGMBFBMG∴BMDM且BMDM5.如图，ABC中，D是BC边的中点，BEAC于点E，若30DAC，求证：ABDE【提示】：证法一：如图1，取CE的中点G,连结DG，所以，DG为中位线，得DG12BE,由BEAC得90AGD,在ADG中，30DAC，得12DGAD,于是ADBE。（证法二：如图2，取BE的中点M,连结DM，类似法一可证ADBE。（其余方法略））图2ABCEDMABCEDG图130EDBCA图46.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB的中点。求证：AGAD【提示】：证法一，如图1，延长CF、DA交于H，易证AHFBCF≌，得AHBCAD，A为线段HD的中点，由CBFDCE≌能证明DECF，因此AG为直角三角形HGD斜边中线，所以12AGHDAD。(证法二：如图2，取CD中点H，连结AH，用中位线的性质证明。)BCDEGFA图1BCDHGFEA图2BCDGFEAH【横向拓展】【横向拓展】7.如图，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一直线上（CGBC＞），连结AE，取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。【解答】猜想：MDMF并且MDMF证明：如图1，延长DM交EF于点N，M是线段AE的中点，∴MAME。由题意可知：EADFEM，AMDEMG，得MADMEG≌∴MDMN，ADNE