导数专题之切割线放缩法VIP

关注微信公众号：高斯课堂获取更多精品资料导数专题之切割线放缩切线放缩若函数在区间上有凹凸性，可以利用切线进行放缩．（1）若函数的图象在区间下凸（），则有：；（2）若函数的图象在区间上凸（），则有：.割线放缩若函数在区间上有凹凸性，可以利用割线进行放缩．（1）若函数的图象在区间下凸（），则有：；（2）若函数的图象在区间上凸（），则有：.附函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是上凹/下凸的，函数为上凹/下凸函数；二阶导数2、凸函数定义：设函数在区间上连续，对，若恒有，则称的图象是下凹/上凸的，函数为下凹/上凸函数.二阶导数1.已知，求证：解：原式等价于令，即证：取在处的切线，有当时，有，得证.2.求证：解：①当时用切线放缩②当时用割线放缩练习：；；3.已知且，求证：解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：加和即得证.4.已知且，求证：.法一

均值不等式，，法二

切线法如图，利用切线构造函数不等式：，当时取等.，取等条件：.5.已知，，已知数列满足，，且，则的最大值为______．(6030)构造上的函数不等式：.6.求函数的值域．解：定义域：，为上凸函数，于是，当且仅当时取等.当且仅当，即时取等.于是函数值域为.7.已知且，求的最小值.解：设函数，，取这两个函数平行的切线，有，即与联立，解得8.已知，，则的最大值是______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.，等号当时取得．于是有考虑到，于是当时右边取得最大值．因此所求的最大值为．切线放缩处理最小值．，等号当时取得．令等号当时取得．因此所求的最小值为．法二令9.已知满足，求的最值.解：设函数，，作出函数的图象，函数的图象在处的切线：，以及函数的图象过点和的割线：，如图．于是可得：左侧等号当或时取得；右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当，时取得．10.已知，，求证：.解：设函数，取其在和处的切线，分别为和，如图．直线与直线，函数的图象和直线分别交于，则有：注1类似的，我们还可以用割线和来估计的下界，如图．注2我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用和，如图．11.设为非负实数，满足，则的取值范围是______．设函数，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当时，有：且左边不等式等号当时取得；右边不等式等号当时取得．左边不等式为：，右边不等式为：，容易得证.所以左侧等号当时可以取得；右侧等号当时可以取得．因此所求的取值范围是．12.已知，求证：．解：先证于是当时，有当时，利用在和之间的割线，有利用在处的展开，有于是当时，有右侧对应的，得证.13.已知，，则的最小值是_______．根据切割线放缩，有，于是进而等号当且仅当时取得．因此所求的最小值为4．14.已知，求的最小值．解切线放缩当时取到等号，从而得到所求的最小值为2n．注切比雪夫不等式亦可解.例1、，已知数列满足，且满足，则=6030解析：，当时，=6030对于函数,,在处的切线方程为即，则成立，所以当时，有例2、已知函数．（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．解析：（1），令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．（2）设切点为，则由，有，化简得，即或，…①由，有，…②由①、②解得或．（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线在线下方．下面给出证明：当时，．，当时，，即．，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．例3、若，且，则++≤证明：设，则，，由得，得或，故在是上凸的，在区间，是下凸的.由，则平衡值，由导数知识易求得在处的切线为，因，在是上凸的，故恒成立.即，，，三式相加并结合即得++≤.若将该题条件改为：若，且时，解法同理.此时平衡值，而在处的切线为,因，在是下凸的，故恒成立.即，，，三式相加并结合即得++≥.即得一个新的不等式：若，且，则++≥.所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1.例4、若实数，证明：.提示：不妨设，则平衡点是.在处的切线，有.5、若非负，且，证明：提示：平衡点是.在的切线，有练习1：已知函数，⑴求函数在定义域上的单调区间.⑵若关于的方程恰有两个不等的实根，求实数的范围；⑶已知实数，，若不等式在上恒成立，求实数的最小值.（可以利用切线求的最大值）练习2：若非负，且，证明：提示：平衡点是.在的切线，有切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好.也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数.其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式.15.已知函数（1）求函数